第08练 幂函数、函数的应用（一）-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第08练 幂函数、函数的应用（一） 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 特征：(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2.幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝ 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上 递增 在(－∞，0) 上递减， 在(0，＋∞) 上递增 在R上 递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 3.一般幂函数的图象与性质特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4.用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 5.常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 y＝＋b（k≠0） 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 【易错点拨】 1. 对幂函数的概念理解不清致错误. 2. 对幂函数的性质把握不清. 3. 函数的实际应用问题易忽视函数的定义域． 1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对A， 既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 对B，根据幂函数的性质可得 是偶函数又在 上单调递增，故B正确； 对C， 不是偶函数，故C错误； 对D，当 时， 单调递减，故D错误. 故选：B. 2．（2021·北京八十中高一期中）向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件； 由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓， ∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A、C不满足条件，而B满足条件. 故选：B． 3．（2021·福建宁德·高一期中）已知函数 是幂函数，且 时， 单调递增，则 的值为（ ） A．1 B．-1 C．2或-1 D．2 【答案】D 【解析】 由题意 是幂函数， 则 ，解得 或 ， 因为 在 上是增函数， 而当 时， 符合题意； 当 时， ，所以 在 上是减函数，不符合题意， . 故选：D 4．（2021·福建福州·高一期中）有四个幂函数：① ；② ；③ ；④ ；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数：（2）值域是 且 ；（3）在 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】 对① ，函数为奇函数，值域是 且 ，在 上是减函数，不符合； 对② ，函数为奇函数，值域为 ，在 上是增函数，不符合； 对③ ，函数为奇函数，值域为 ，在 上是增函数，不符合； 对④ ，函数为偶函