寒假作业03 线段垂直平分线与角平分线（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 线段垂直平分线与角平分线 知识点1：线段的垂直平分线的性质与判定 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点2：角平分线的性质与判定 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用线段垂直平分线性质求线段长 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是13cm，则的长为（    ） A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm 2．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 题型二 利用线段垂直平分线性质求三角形周长 4．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（    ） A．10.5 B．12 C．15 D．18 5．如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 6．如图，在中，垂直平分，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 题型三 利用线段垂直平分线性质求线段和最小值 7．如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 8．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，的面积为10，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，M为上任意一点，点D为的中点，连接，，则长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 题型四 线段垂直平分线的判定 10．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，与，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，取大于长为半径作弧，交于点； ③作射线，连接，，. 下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 12．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 题型五 线段垂直平分线的网格作图问题 13．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 14．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 15．如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 题型六 利用线段垂直平分线的性质与判定，结合全等证明与计算 16．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 17．如图，在中，，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 18．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，cm，求的长． 题型七 利用角平分线性质求线段长 19．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 21．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，的面积是，则的长为（） A．2 B．1 C．3 D．4 题型八 利用角平分线性质求三角形面积 22．如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 23．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 题型九 利用角平分线性质求角度 25．如图，，M是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 题型十 利用角平分线性质最值问题 28．如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为 ． 29．如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 30．如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为 ． 题型十一 角平分线的判定问题 31．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 32．如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 33．，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 题型十二 线段垂直平分线与角平分线综合证明与计算 34．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 35．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 1．如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 2．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 5．如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．15 6．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，，于，于，与交于点，则：①；②；③点在的平分线上，以上结论正确的是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．① 8．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 9．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，已知，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 12．如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ． 13．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为 ． 14．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 15．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 16．如图，在中，于点D，且，，于点F，若，，则 ． 17．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 20．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 21．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 22．已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)求证平分 (3)延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 1．如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 2．综合与实践 【情境】综合实践课上，老师和同学们利用长方形纸张折叠纸飞机，并利用其研究对称性和全等等相关问题． 【操作】嘉嘉按如图1所示的方式折叠得到一个纸飞机． 【模型】图2为成品展开后的折痕示意图，其中，E，F分别为和的中点，，分别平分和，和分别平分和． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)图1步骤一中左右两个长方形关于虚线所在的直线l成________．（填“轴对称”或“中心对称”） (2)如图2，求证：． (3)如图2，连接，若测得，请说明垂直平分． 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 4．某无人机训练场地沿南北方向竖立着两根标志杆，地面上标志杆正中间的位置记为点，训练项目包含垂直起飞、悬停（保持空中静止状态）、前飞等内容．训练过程有多个阶段，其中第一阶段（从到）；无人机从点沿垂直地面方向起飞一段距离后悬停在点处；第二阶段（从到）；再向正东方向飞行一段距离悬停在点处．已知无人机（看成一个点）与标志杆（看成一条线段）所确定的平面垂直于地面． (1)如图1，标志杆一样长． ①第一阶段：起飞时，由题意可证，全等的依据是________，则，说明了起飞点到两根标志杆顶端的距离相等． ②第二阶段：试说明最终悬停的位置到标志杆顶端的距离相等． (2)如图2，标志杆不一样长（），记，其中分别表示无人机（点）到两标志杆顶端（点）的距离，这两个阶段（从到，再到）的飞行过程中，下列关于的描述：（）一直为正；（）先正后0，再为负；（）先正后0，然后不变；（）先正后为0，再为正．其中，所有可能出现的序号是_________． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 线段垂直平分线与角平分线 知识点1：线段的垂直平分线的性质与判定 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点2：角平分线的性质与判定 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用线段垂直平分线性质求线段长 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是13cm，则的长为（    ） A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是13cm, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：B． 2．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴ ∵，则 ∴ 故选：A． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，．由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长为，结合的周长为，求出的长，进而可得到的长． 【详解】解：垂直平分线， ，， 的周长为， 的周长为， ， ． 故选：A． 题型二 利用线段垂直平分线性质求三角形周长 4．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的周长是（    ） A．10.5 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是问题求解的关键． 先利用垂直平分线的性质，可得到，再利用等量代换即可计算得到的周长． 【详解】解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5．如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，分别是的边、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 6．如图，在中，垂直平分，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，那么的周长，代入即可得到答案 【详解】解：垂直平分， ， 的周长是． ，， ， 的周长是19． 故选：C． 题型三 利用线段垂直平分线性质求线段和最小值 7．如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及两点之间线段最短的原理；连接，由垂直平分线的性质可得，将的周长进行转化，即可求解． 【详解】如图，连接， 由垂直平分线的性质可知：， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：． 8．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值． 由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接， 直线垂直平分， ， 当、、共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，，得，解得， 故的最小值为5． 故选：B． 9．如图，的面积为10，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，M为上任意一点，点D为的中点，连接，，则长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，轴对称最值问题，解题的关键是得到当点M与点N重合时，长度最小． 连接，交直线于点N，设交于点G，得到直线为线段的垂直平分线，判断出当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，然后利用三角形面积求解即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， 当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ，D为的中点， ， ，面积为10， ， 解得， 的最小值为． 故选：D． 题型四 线段垂直平分线的判定 10．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，与，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，取大于长为半径作弧，交于点； ③作射线，连接，，. 下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据已知条件不能判断，进而可以解决问题． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，故C选项正确，不合题意； 又，， ， ，故A正确，不合题意； ，， 垂直平分，则，故D选项正确，不合题意； 没有条件能得出，故B选项错误，符合题意； 故选：B． 11．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 12．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定可判定①和②；证明可判定③；由条件无法证明，可判定④和⑤；由可判定⑥，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线，故①正确； ②互相垂直，不一定平分，故②错误； ③在和中， ， ∴， ∴，, 即平分和，故③正确； ④题中条件无法证明， ∴不一定平分和，故④错误； ⑤题中条件无法得出，故⑤错误； ⑥∵是的垂直平分线， ∴，故⑥正确； 综上，结论正确的有①③⑥， 故选：． 题型五 线段垂直平分线的网格作图问题 13．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画线段的中点C； (2)在图2中，作，交于点E； (3)在图3中，O为角平分线的交点，作出点C； (4)在图4中，作三角形，使得它与全等且与共一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图所示，取格点E、F，连接交于C，可证明，则，故点C即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接并延长交于E，可证明，则，则可证明，故点E即为所求； （3）取格点E、F，延长交于点C，可证明，则，故点C即为所求； （4）设分别与格线交于G、H，连接，并延长分别交格线于D、E，根据网格的特点可知G、H分别为的中点，则可证明，则可证明，进而可证明，同理可证明；取格点M、N，连接并延长，交于R，连接交于K，连接并延长交于T，连接，由网格的特点可知点M为的中点，则可证明得到，由网格的特点可得点K为的中点，则可证明得到，则可证明，同理可证明，故． 【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：如图所示，点C即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 14．如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解； （2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； 由格点三角形得和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的高； （2）解：如图，线段和点为所求作； 取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是； 取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有． 【点睛】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键． 15．如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)4个，画图见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的判定，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）作线段的垂直平分线，所经过的格点均为满足题意的点，即可得出答案； （3）连接交直线于M，点M即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，则网格中满足条件的格点P共有4个； （3）解：如图所示，点M即为所求． 题型六 利用线段垂直平分线的性质与判定，结合全等证明与计算 16．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 17．如图，在中，，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定； （1）由得出，再加上和，即可得证； （2）由垂直平分线的定义可得垂直平分，进而得出，再由全等的性质可得，可得长度，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴. 18．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，cm，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 利用角平分线性质求线段长 19．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 20．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 21．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，的面积是，则的长为（） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作图复杂作图，熟知以上知识是解题的关键． 过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图， 由作图可知是的角平分线， ， ， ， 的面积是， ， ， ， ， 故选：D． 题型八 利用角平分线性质求三角形面积 22．如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 23．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 24．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型九 利用角平分线性质求角度 25．如图，，M是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键. 作于N，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，即可得到答案． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴，又， ∴， 故选：B． 26．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 题型十 利用角平分线性质最值问题 28．如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 29．如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】过C作于点E，交BD于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值． 本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图： 平分，，， ， 是最小值， 此时M与重合，N与重合， 三角形的面积为15，， ， 即的最小值为 故答案为： 30．如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，判断出点Q关于直线的对称点必在上是解本题的关键． 过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，时，连接，，进而判断出，得出，即可判断出垂直于时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ， 是的平分线， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接，， ， ∴， ， ，假设点Q是定点，点B，P，共线时，取最小， 点Q是动点， 当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为： 题型十一 角平分线的判定问题 31．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 32．如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行线的性质定理． （1）作于，根据角平分线的性质得到，再根据是的中点，可得，由此可得，再根据角平分线的判定定理即可判定平分； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质定理可得，由此可得，即可证明； （3）证明可得，同理可证，由此可证． 【详解】（1）证明：作于， ，，平分， ， 为中点， ， 又， ， 又，， 平分 （2）解：， 理由是：平分，平分， ，， ， ， ， ， 即； （3）解：， 理由是：，， ， 在和中 ， ， 同理， ， ． 33．，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 题型十二 线段垂直平分线与角平分线综合证明与计算 34．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 35．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 36．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，不是说垂直平分， ∴不一定平分，不一定等于，故ABC选项不符合题意； D、∵垂直平分， ∴，故D选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 3．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选B． 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、添条件为“”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误，符合题意； C、添条件为“”，在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； D、添条件为“平分”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．15 【答案】B 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 7．如图，，于，于，与交于点，则：①；②；③点在的平分线上，以上结论正确的是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及角平分线的性质，①先证明，再证明全等；②先证明，再证明全等；③连接，利用全等三角形的性质得到，再用角平分线的性质． 【详解】解：①， ， ，， ． 故①正确； ②由①得：， ， ，， ． 故②正确； ③由②得：， 连接， ， ， ， 所在的直线平分， 点在的平分线上． 故③正确． 故选：A． 8．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点O作于点M，于点N，连结，根据角平分线定理，可求得，，再根据，即可求得答案． 【详解】解：过点O作于点M，于点N，连结， 平分，， ， 同理可得， ． 故选：C． 9．如图，平分，于点A，Q是射线上一个动点．若，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，过P作于E，当Q和E重合时，的值最小，根据角平分线性质得出，即可求出答案． 【详解】解：过P作于E，当Q和E重合时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 即的最小值是8， 故选：C． 10．如图，已知，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；④由平分结合即可判定． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ，即，故②正确； 分别过作、，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 平分，无法证明平分．故③错误； 平分，， ，故④正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 11．如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 12．如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解． 连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵平分，， ∴， ∵且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 13．如图，在中，，延长至，使得，为外一点且，连接，，交于点，．点为上一动点，当的面积为，时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线判定，三角形中线性质，垂线段最短，当时，最小，由，，得垂直平分，则有，从而求得的面积为，所以，得，最后利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，， cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 15．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 16．如图，在中，于点D，且，，于点F，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，过点E作于点H，由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，过点E作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为9． 17．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 18．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 19．为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查垂直平分线的性质，两点之间最短距离，熟练掌握垂直平分线的性质和“将军饮马”模型是解题的关键， （1）连接，作的垂直平分线，交于点D，点D即为所求； （2）作A的对称点，连接交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D，如图所示： （2）解：作A的对称点，连接交于点E，如图所示： 20．为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 21．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)求证平分 (3)延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义及垂直平分线的定义． （1）利用“”证明得出； （2）利用“”证明得出，随即可得出平分； （3）由得出，再根据利用线段的等量关系得到，随即得出点A和点D都在的垂直平分线上，即可证明结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴ ∴平分． （3）证明：由（2）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点D在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 1．如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，过作交延长线于点，作，于点，连接，则，证明点在平分线上，所以，再证明，得，又，则当三点共线时有最小值，即有最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 2．综合与实践 【情境】综合实践课上，老师和同学们利用长方形纸张折叠纸飞机，并利用其研究对称性和全等等相关问题． 【操作】嘉嘉按如图1所示的方式折叠得到一个纸飞机． 【模型】图2为成品展开后的折痕示意图，其中，E，F分别为和的中点，，分别平分和，和分别平分和． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)图1步骤一中左右两个长方形关于虚线所在的直线l成________．（填“轴对称”或“中心对称”） (2)如图2，求证：． (3)如图2，连接，若测得，请说明垂直平分． 【答案】(1)轴对称 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据轴对称和中心对称的定义进行判断即可； （2）由折叠的性质和角平分线的性质易证得，根据全等三角形的性质得到，，由和分别平分和，可证得，根据全等三角形的判定方法证得； （3）连接和，根据为的中点得到，进而证得，根据全等三角形的性质可得，由（2）可知，从而得到结论． 【详解】（1）解：图1沿着直线l对称后，直线两旁能够完全重合，满足轴对称的定义， 因此图1步骤一中左右两个长方形关于虚线所在的直线l成轴对称， 故答案为：轴对称； （2）证明：由折叠可知，， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， 和分别平分和， ，， ， 在和中， ； （3）解：如图，连接和， 为的中点， ， ，， ， ， 由（2）知，则， 垂直平分． 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 (3)8 或 12 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 即平分； （2）解：小明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴小明的观点正确； （3）解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图， ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为8或12． 4．某无人机训练场地沿南北方向竖立着两根标志杆，地面上标志杆正中间的位置记为点，训练项目包含垂直起飞、悬停（保持空中静止状态）、前飞等内容．训练过程有多个阶段，其中第一阶段（从到）；无人机从点沿垂直地面方向起飞一段距离后悬停在点处；第二阶段（从到）；再向正东方向飞行一段距离悬停在点处．已知无人机（看成一个点）与标志杆（看成一条线段）所确定的平面垂直于地面． (1)如图1，标志杆一样长． ①第一阶段：起飞时，由题意可证，全等的依据是________，则，说明了起飞点到两根标志杆顶端的距离相等． ②第二阶段：试说明最终悬停的位置到标志杆顶端的距离相等． (2)如图2，标志杆不一样长（），记，其中分别表示无人机（点）到两标志杆顶端（点）的距离，这两个阶段（从到，再到）的飞行过程中，下列关于的描述：（）一直为正；（）先正后0，再为负；（）先正后0，然后不变；（）先正后为0，再为正．其中，所有可能出现的序号是_________． 【答案】(1)①②见解析 (2)（a）（b）（c） 【分析】本题考查空间想象能力，三角形全等的性质和判定，具有空间想象能力是解决问题的关键． （1）①由题意可根据证②连接，可证明，，，进而可证明最终悬停的位置到标志杆顶端的距离相等． （2）因为标志杆不一样长（），所以开始阶段，这时如果进入第二阶段，则后续始终；无人机继续升高到某个高度，时，这时如果进入第二阶段，则后续始终；如果无人机继续升高，则，这时如果进入第二阶段，则后续始终，据此解答即可． 【详解】（1）解：①∵标志杆正中间的位置记为点， ∴， ∵两根标志杆竖立， ∴ ∵标志杆一样长， ∴， ∴ 故答案为：； ②连接， 由①得 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ 由题意得， ∴ 在和中 ∵，，， ∴ ∴ （2）解：∵标志杆不一样长（）， ∴所以开始阶段，如果这时进入第二阶段，则后续始终故（a）可能出现； 无人机继续升高恰好落在的中垂线上时，，这时如果进入第二阶段，则由（1）②知后续一直，则（c）可能出现； 如果无人机继续升高，则，这时如果进入第二阶段，则后续一直，则（b）可能出现． 答案为：（a）（b）（c）． 2 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $