寒假作业04 等腰三角形与直角三角形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 等腰三角形与直角三角形 知识点1：等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【点拨】等边三角形是等腰三角形的特例。 2.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 3.等腰三角形的性质定理： 性质名称 文字语言 几何语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4.等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 【点拨】 “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别？ （1）等边对等角是等腰三角形的性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； （2）等角对等边是等腰三角形的判定方法，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点2：等边三角形 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点3：直角三角形的性质 1.直角三角形性质1： 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 2.直角三角形性质2： 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 根据等腰三角形概念求周长或边长（分类讨论，检验） 1．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系；分腰长为3或6两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形两条边的长分别为3和6， ∴当腰长为3时，底边为6，则，不符合三角形三边关系（两边之和必须大于第三边），故不成立； 当腰长为6时，底边为3，则，，，符合三角形三边关系， ∴周长为． 故选：B． 2．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C． 3．周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元一次不等式， 设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，根据三角形三边关系和边长是整数求出或4，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，a、b为正整数，且满足三角形三边关系， ∵周长等于10， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即． ∴， ∵a为整数， ∴或4， 当时，，三边为3、3、4，，满足三角形三边关系； 当时，，三边为4、4、2，，满足三角形三边关系． 综上所述，共有2个满足条件的等腰三角形． 故选：B． 题型二 根据等腰三角形的概念求顶角或底角 4．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意； 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． 5．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 6．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分已知角是底角与不是底角两种情况，分别结合三角形内角和等于180°求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于70°， ∴①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°， ②当这个是70°是顶角，设等腰三角形的底角是x°， 则2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°； ∴该等腰三角形的底角为70°或55°． 故选D． 题型三 根据等腰三角形的性质求线段长 7．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 8．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 9．如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 题型四 根据等腰三角形的性质求角度 10．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键． 根据等腰三角形的性质设，由性质得，，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：设， ， ． ． ， ． ． ． ． 故选：D． 11．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接、、，设直线m交于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得到、，进而得到是线段的垂直平分线，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据和，得到，则，从而得出的度数． 【详解】解：连接、、，设直线m交于点D，如图： 设 直线m，n分别是、的垂直平分线 、 、 是线段的垂直平分线 解得 故答案为：． 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 13．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 15．如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 题型六 等腰三角形的性质与判定综合运用 16．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试判断是什么三角形？并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，即可得出结论； （2）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．如图在中，，为线段的中点，，，平分，交于点，交于点． (1)证明：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定； （1）根据已知可得，根据角平分线的定义可得 ，根据等角对等边可得，进而根据三线合一的性质，即可得证； （2）根据已知得出，，进而可得 ，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）， ， ， 平分 ， ， ， 是的中点， ， （2）是等边三角形， 理由如下：，， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型七 等边三角形的性质 19．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、等边三角形的性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 20．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、等边三角形的性质、三线合一 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 21．如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键在于利用等边三角形的性质和折叠的性质，结合全等三角形的判定定理，对每个结论逐一进行分析判断． 【详解】解：判断结论①： ∵是等边三角形，， 是的垂直平分线，， 由折叠可知，， ∴， 是的垂直平分线，即： ∴结论①正确 判断结论②： 由折叠可知，， ∴， ∵是等边三角形，， 是的垂直平分线，，， 又∵， ∴，则， ，， ∴，即， 在和中，， ， ∴结论②正确 判断结论③： 由翻折可知：， ∴， ， ， ， ∴结论③正确； 判断结论④： ， ， 又， ， 两个底相同，高相同， ， ， 结论④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：． 题型八 等边三角形的判定 22．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及等边三角形的判定是关键．根据等腰三角形的性质，求得，所以，可进一步求得，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形； 23．如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． (1)求证∶平分； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定 【分析】（1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． 【详解】（1）证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 24．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形对应边相等即可； （2）先证，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （3）利用有一个是的等腰三角形是等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， ， （3）由（2）知，， 为等边三角形． 题型九 等边三角形的性质与判定综合运用 25．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【知识点】全等三角形的性质、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 26．已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，是等边三角形，则可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形全等的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（1）已得：是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 27．已知：在中，，.点D在上且，连接. (1)如图1，求证：； (2)过点D作，使，.连接并延长至点G，使，连接，，.如图2，当点F在的延长线上时，求证：是等边三角形. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据已知条件得出是等边三角形，然后证明，即可得证； （2）分别延长，交于点．证明，得出，，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ． （2）证明：如图，分别延长，交于点． ， ， 由（1）知， ， ， ， 又， ，即 ， ， 又， ， 又，， ， ， ，， 是等边三角形． 题型十 含30度角的直角三角形的性质 28．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 29．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：，即的边长为32． 故选D． 30．如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 题型十一 直角三角形斜边中线的性质 31．在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 32．如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）连结，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一） 33．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)12 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立； （2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，，利用三角形的内角和定理求得，再利用等腰三角形的性质得到，最后利用含角的直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵，，E、F分别是的中点， ∴，， ∴， ∵F是中点， ∴； （2）解：∵，E、F分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十二 在网格中作等腰三角形问题 34．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 35．如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)①见解析（答案不唯一）；②6 【知识点】格点图中画等腰三角形、画轴对称图形、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了轴对称图形、等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的格点问题是解题关键． （1）根据轴对称图形的定义作图即可得； （2）①根据等腰三角形与网格特点作出，由此即可得； ②根据等腰三角形与网格特点画出，，的所有情况，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求（答案不唯一）． （2）解：①如图，等腰三角形即为所求（答案不唯一）． ②满足为等腰三角形的格点如下： 由图可知，满足为等腰三角形的格点共有6个． 故答案为：6． 36．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 【答案】见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 1．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 2．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 4．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，在其示意图中，，点，分别在钢架，上，，是钢筋支架，立柱于点．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键． 根据30度角所对的直角边等于斜边一半可得，即选项A正确，选项B错误；由于没有明确E、F的具体位置，可判断C、D错误． 【详解】解：∵，， ∴，即选项A正确，选项B错误； 由于没有明确E、F的具体位置，无法确定，故C、D错误． 故选A． 6．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 7．如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故选：C． 8．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 9．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 10．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 11．如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，由等腰直角三角形的性质得出，证明得出，证明得出垂直平分，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，于点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴ 故答案为：． 12．如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是 ． 【答案】13 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点C作于点F，构造出含有角的直角三角形，算出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：13． 13．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边，上一点，且，当的长为4时，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 14．如图，已知点为的边的中点，，且，于点，的延长线交的中点，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出正确的辅助线，是解题的关键．根据题意，连接，，过点作交的延长线于点，先判定，得到和，再进一步判定，得到和，最后倒边即可求值． 【详解】解：如图， 连接，，过点作交的延长线于点， ，点为的边的中点， 垂直平分，， ，， ， 与均为等腰直角三角形， ， ， ． ，， ，， ， ， ，． 点为的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 16．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 【答案】3.5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，根据三角形斜边中线的性质求得，，由C、M、N在同一直线上时，取最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 在中，，，， ∴， ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：． 故答案为：3.5． 17．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、垂线的定义理解、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 18．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由； (2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，由余角的性质可证，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由余角的性质可证，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，分别是，边上的高， ， ， ， 又，， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图， ，分别是，边上的高， ， ， ， 又，， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形． 20．如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 1．如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 2．定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，推出，进一步可得，，根据豫式三角形的定义即可得证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∵线段的垂直平分线与边交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵在中，顶角，， ∴是豫式三角形． 3．如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，的垂线即为所求． （2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，． 点是的中点， ．， ． ． ． ， ． ． ． 在和中， ． ． 4．如图，在中，，． (1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段的垂直平分线．也考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形三边的关系． （1）作的垂直平分线得到； （2）由得到，所以，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； （2）解：由作图可得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接，作且，取中点，即为藏宝地点． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， 　（2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 等腰三角形与直角三角形 知识点1：等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【点拨】等边三角形是等腰三角形的特例。 2.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 3.等腰三角形的性质定理： 性质名称 文字语言 几何语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4.等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 【点拨】 “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别？ （1）等边对等角是等腰三角形的性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； （2）等角对等边是等腰三角形的判定方法，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点2：等边三角形 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点3：直角三角形的性质 1.直角三角形性质1： 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 2.直角三角形性质2： 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 根据等腰三角形概念求周长或边长（分类讨论，检验） 1．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 2．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 3．周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 根据等腰三角形的概念求顶角或底角 4．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 5．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 6．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 题型三 根据等腰三角形的性质求线段长 7．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 题型四 根据等腰三角形的性质求角度 10．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为 ． 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 13．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 15．如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E． 求证： (1)为等腰三角形； (2)． 题型六 等腰三角形的性质与判定综合运用 16．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试判断是什么三角形？并说明理由； (2)若，求的长． 18．如图在中，，为线段的中点，，，平分，交于点，交于点． (1)证明：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型七 等边三角形的性质 19．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 20．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 题型八 等边三角形的判定 22．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 23．如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． (1)求证∶平分； (2)若，判断的形状． 24．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证；是等边三角形． 题型九 等边三角形的性质与判定综合运用 25．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 26．已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． (1)求证： (2)求证： 27．已知：在中，，.点D在上且，连接. (1)如图1，求证：； (2)过点D作，使，.连接并延长至点G，使，连接，，.如图2，当点F在的延长线上时，求证：是等边三角形. 题型十 含30度角的直角三角形的性质 28．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 29．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 30．如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 题型十一 直角三角形斜边中线的性质 31．在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 32．如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 33．如图，四边形中，，E、F分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十二 在网格中作等腰三角形问题 34．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 35．如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． (2)在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 36．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． 1．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 2．下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 4．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，在其示意图中，，点，分别在钢架，上，，是钢筋支架，立柱于点．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．14 8．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 9．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为 ． 10．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为 ． 11．如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 12．如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是 ． 13．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边，上一点，且，当的长为4时，则的最小值为 ． 14．如图，已知点为的边的中点，，且，于点，的延长线交的中点，，，则 ． 15．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 16．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 17．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 18．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 19．已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由； (2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 20．如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 1．如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 2．定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 3．如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 4．如图，在中，，． (1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 5．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $