吉林省长春市公主岭市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。全卷满分120分。 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2、答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内答题，在草稿纸、试卷 上答题无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.若a是二次根式，则a的值不能是 A月 B.3.14 C.-2 D.0 2.若V12+Vx=√27，则x的值是 A.2 B.3 C.8 D.15 3.方程x(x-2)=2-x的解是 A.x=-1 B.x=2 C.x1=-1,x2=2 D.x1=1,x2=2 4.做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是 A.随机事件 B.必然事件 C.确定事件 D.不可能事件 5.竖直向上发射的小球的高度h(米)关于运动时间t(秒)的函数表达式为h=at2+bt, 其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则小球达到最高点的 时间是 A.第2.5秒 B.第3秒 C.第3.5秒 D.第4秒 h米 D 0261秒 B (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2, △ADC的面积为3，则△ABC的面积为 A.12 B.9 C.6 D.3 九年级数学第1页（共6页） 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值 A.缩小2倍 B.扩大2倍 C.不变 D.无法确定 8.已知二次函数y=2+hx+c的最小值为-5，则一元二次方程x2+bx+c+7=0 的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.在平面直角坐标系中，若点P(3,a)和点Q(3,-4)关于x轴对称，则a= 10.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次 试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则可估计袋子里约有 个红球， 11.函数y=(x+1)2-4的图象如图所示，当-2≤x≤2时，函数的最大值为m,最小值 为n,则m-n的值是 (第11题) (第12题) 12.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，且CD=2AB,若点C的坐 标为(-4，-2)，则点A的坐标为 13.如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，点F是DE上一点，且 AF⊥BF.若AB=1 ,BC=16,则线段EF的长为 (第13题) (第14题) 14.如图，抛物线x2+bx+c(a味0)的对称轴是直线x=，. 给出下列四个结论： Da>0：②a=b+c>01®2a+36<0:④a+b<am2+bmm≠ 上述结论中，正确结论的序号有 九年级数学第2页（共6页） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.（6分》计算：24×日-26*48 16.（6分)解方程：2-4x+2=0. 17.(6分)如图，长尾夹的侧面是△ABC(点D与点A重合)，当AB与DC张开到互 相平行时，达到最大夹纸厚度（即BC的长度），已知AB=DC=15mm,∠ABC=70°， 求这个长尾夹最大夹纸厚度（结果精确到1mm,参考数据：sin70°≈0.94， c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75). (D) B (第17题) 18.(7分)如图，在△ABC中，AB=AC,过点C作CE⊥AC,交∠BAC的角平分线 AD于点E,连结BE,F是AE上的一点，且∠ABF=∠CBE. 求证：(1)∠CAE=∠BCE; (2)△ABF∽△CBE. (第18题) 九年级数学第3页共6页) 19.(7分)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形 的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中， 分别按下列要求画图 (I)在图①中的线段AC上找一点D,连结BD,使∠CBD=∠CDB: (2)在图②中的线段AB上找一点E,连结CE,使∠CAE=∠ACE: (3)在图③中的线段BC上找一点F,连结AP,使1an∠CAF=3 B B B A 图① 图② 图③ (第19题) 20.（7分)雪假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营.甲、乙两名同学需要通 过抽签从3个不同的体验项目中选择一个参加.抽签规则如下：在3张相同的卡片 上分别标注字母A、B、C对应三个项目(A:制作冰灯，B:雪地露营，C:冰雪摄 影)，甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取.请用画树状 图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率. 21.(8分)某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长.店 长统计，产品上线第一个月(3月)售出1500杯，第三个月(5月)售出2160杯， 且月增长率相同， (1)求该甜品销售量的月增长率； (2)该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上 涨1元，月销量减少200杯.设每杯售价为x元，月销量为y杯，月利润为w元. ①直接写出y关于x的函数关系式： ②直接写出w关于x的函数关系式，并求出当x为何值时w取最大值？并求出其 最大值。 九年级数学第4页共6页) 22.（9分)数学活动：探究三角形的角平分线性质. 【复习旧知】等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，所以不难得出如下结论. 如图O,在△1BC中，AB=AC,AD是△1BC的角平分线，则CD=HC BD-AB B D B D B D B C 图① 图② 图③ 图④ 【猜想证明】如果△ABC是一个非等腰的任意三角形呢？ 如图②，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，则D- 吗？为什么？ CD AC 下面是这道题的证明过程，请认真阅读，并在横线上填写推理依据。 证明：如图③，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ,CE∥DA,∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE. ,AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. ∠E=∠ACE,.AC=AE. :CE∥DA,cD=AE BD AB BD-AB CD AC 【类比探究】如果是三角形外角的角平分线呢？ 如图④，在△ABC中，如果AD是△ABC的外角平分线，且交BC的延长线于点D. BD AB 求证： 一三 CD AC 【结论应用】 (1)如图⑤，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,CE平分∠ACB交AB于点E, 则tan∠ACE=_一； (2)如图⑥，已知△ABC,D为BA的延长线上一点，且∠ACD=∠D+∠B. 若BC=3,AB=AC=2,则AD的长为 D 图⑥ 图⑧ (第22题) 九年级数学第5页（共6页） 23.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,sin1=点P为1B上的- 点（不与A、B重合），连结PC,将PC绕点P逆时针旋转90得到PQ,连结C2. (1)AC的长为 (2)当△APC是等腰三角形时，求△PC的面积： (3)作点Q关于BC边的对称点Q',连结PQ',当PQ'与△ABC的一边垂直时， 请直接写出AP的长 (第23题) 24.（12分)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=x2+bx-3(b是常 数)经过点(1，-4)，点P在抛物线上，横坐标为m,点Q的横坐标为m+2, 纵坐标与点P的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m.当点P和点A的纵坐标 不相等时，作点A关于点P的对称点B,作点A关于点Q的对称点C,连结AB、 AC、BC. (1)该抛物线对应的函数表达式为 (2)证明：PQ∥BC: (3)若点P在对称轴左侧，当直线BC与抛物线y=x2+bx-3(b是常数)有两 个交点时，设这两个交点分别为M、N(点M在点N左侧)， ①请直接写出点P、点B的坐标（用含m的代数式表示）； ②点M在线段BC上，当此抛物线在△ABC内部（包括边）的点的纵坐标最 大值与最小值的差为1时，求m的值 (第24题) 九年级数学第6页（共6页）