《12.7再探“边边角”——直角三角形全等的判定》教学设计 2025--2026学年北京版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形全等的判定定理（HL），通过回顾一般三角形中SSA不能判定全等，对比一般、钝角、直角三角形的画图实验，搭建从一般到特殊的知识支架，梳理HL定理的探究脉络。 以“画图-观察-猜想-证明”为主线，通过勾股定理转化HL为SSS培养推理能力，对比辨析SSA与HL强化条件意识发展几何直观，规范书写训练提升数学语言表达。助力学生理解定理本质，教师易操作，高效突破教学重难点。

《再探边边角》教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 初二 学期 （秋季） 课题 再探边边角——直角三角形全等的判定 教科书 书 名：义务教育教科书 出版社：北京出版集团公司北京出版社 出版日期：2024年8月 教学内容及解析 （1） 教学内容 本节课是学生在学习了一般三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形的基本性质之后，进一步探究直角三角形全等的特殊判定方法。主要内容包括： 回顾与质疑：边边角（SSA）在一般三角形中是否成立？ 实验探究：在直角三角形背景下，探究斜边与一直角边对应相等时三角形的唯一性。 定理形成：斜边、直角边定理（HL）的提出与证明。 定理应用：运用HL定理解决几何证明与计算问题。 综合运用：将HL定理与其它全等判定方法结合，解决复杂几何问题。 （二）内容解析 1.内容的本质 直角三角形全等的判定是三角形全等判定的特例，HL定理本质上是边边角在直角三角形中的特殊形式，体现了从一般到特殊的数学思想。 2. 蕴含的数学思想方法 特殊与一般的思想：从一般三角形的边边角不成立，到直角三角形的边边角成立，体现从一般到特殊的推理路径。 转化与化归思想：通过勾股定理将斜边与直角边相等转化为三边相等，从而将HL问题转化为已学的SSS问题。 数形结合思想：通过画图实验直观感知，再通过逻辑推理严格证明，实现几何直观与代数推理的统一。 分类讨论思想：在探究过程中自然涉及一般三角形与直角三角形的分类。 3. 育人价值 逻辑推理能力的培养：通过HL定理的探究与证明，训练学生严谨的逻辑推理与表达能力。 几何直观的发展：通过画图、观察、猜想，增强学生对图形性质的空间感知能力。 探究精神的激发：从边边角的争议出发，引导学生自主发现直角三角形中的特殊规律。 数学应用意识的提升：理解HL定理在实际测量、工程制图等领域中的应用价值。 4.教学重点 HL定理的理解与掌握：包括条件识别、语言表述、几何书写。 HL定理的证明思路：理解如何通过勾股定理实现两边一角到三边的转化。 HL定理的初步应用：在典型例题中运用HL进行证明。 教学目标及解析 （1） 教学目标 1. 探索并掌握判定直角三角形全等的斜边、直角边定理； 2. 能利用斜边、直角边定理及一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等，提升分析问题与解决问题的能力； 3. 培养几何直观和逻辑推理能力。 （2） 目标解析 目标1达成标志：学生能准确叙述HL定理内容，能在给定图形中识别斜边直角边，能规范书写HL全等的几何语言。 目标2达成标志：学生能独立完成HL定理的证明推导，能解决课本例题及类似难度的问题。 目标3达成标志：学生在课堂活动中积极参与画图、讨论、展示，能清晰表达自己的推理过程。 学情诊断及分析 （1） 学生已有认知基础 已系统学习三角形全等的四种判定方法，能熟练运用。 已掌握直角三角形的定义和性质（如勾股定理、两锐角互余）。 具备基本的尺规作图能力和几何语言表达能力。 （2） 达成目标所需要的认知基础 能准确区分斜边与直角边。 能理解对应相等在几何证明中的含义。 能运用勾股定理进行边的关系推导。 具备从实验现象中提出数学猜想的意识。 （3） 学习困难 概念混淆：容易将边边角（SSA）与HL混淆，忽略HL中直角与斜边的关键性。 图形识别困难：在复杂图形或非标准位置中，不易识别出可应用HL的条件。 证明书写不规范：在书写HL全等证明时，易遗漏在Rt△中或∠=90°的条件说明。 综合运用能力不足：当题目中同时存在多个全等条件时，学生难以选择最优判定方法。 （四）突破策略 具体教学策略：对比辨析，强化条件意识 设计对比例题：一组为一般三角形的边边角（不成立），一组为直角三角形的HL（成立）。 引导学生用表格对比两种情形的条件与结论。 图形变式，提升识别能力，设计不同方向的直角三角形（直角位置不同）。 设计重叠、嵌套的复合图形，训练学生在复杂情境中提取直角三角形。 分步引导，规范书写表达，板书示范HL证明的标准格式。 提供证明步骤模板，学生填空式练习。 开展同桌互评，强调条件齐全、逻辑清晰。 （五）教学难点 HL定理与边边角的本质区别，理解直角在此处的结构性作用。 教学重难点 一、教学重点：直角三角形全等的判定定理（HL）的理解、证明与应用。 二、教学难点：HL定理与边边角的本质区别，理解直角在此处的结构性作用。 教学过程 环节一：情境导入，激活旧知（5分钟） 活动1：快速问答（3分钟） 教师提问： 1. 到目前为止，我们学习了哪些三角形全等的判定方法？ 预期学生回答：SSS、SAS、ASA、AAS 2.这些判定方法中，都要求“对应相等”的元素中至少包含几个角？ 预期学生回答：至少一个角（SSS除外） 教师追问：如果只知道两条边和一个角对应相等，但这个角不是这两条边的夹角，而是其中一条边的对角，这两个三角形一定全等吗？ 活动2：展示课前任务（2分钟） 教师展示学生课前完成的三个画图结果： 1. 第一组画图（一般三角形）： 使∠A=30°，AB=5cm，BC=3cm 结果：不同学生画出的三角形形状、大小可能不同 结论：三角形不唯一确定 2. 第二组画图（钝角三角形）： 使∠A=120°，AB=2cm，BC=3cm 结果：三角形也不唯一确定 3. 第三组画图（直角三角形）： 使∠A=90°，AB=2cm，BC=3cm 结果：所有学生画出的三角形都相同 结论：三角形唯一确定 教师引导：从这三组画图结果中，你有什么发现？特别是当这个角是直角时，情况有什么不同？ 环节二：实验探究，提出猜想（10分钟） 活动1：一般情况探究（4分钟） 学生活动： 完成学案【学习任务一】第一部分 1. 画△ABC，使∠C＝α（α为任意锐角，如40°、60°等），BC＝a，AB＝c 教师给出具体数值：如a=4cm，c=6cm，α=50° 2. 学生两人一组，各自独立画图 3. 比较所画三角形：形状、大小是否相同？ 观察发现：当α不是90°时，给定两边一对角（非夹角），可以画出两个不同的三角形，说明：一般情况下，SSA不能判定三角形全等 活动2：特殊情况探究（4分钟） 学生活动： 完成学案【学习任务一】第二部分 1. 画△ABC，使∠C＝90°（直角），BC＝a，AB＝c 教师给出具体数值：如a=3cm，c=5cm 2. 学生独立画图 3. 小组内比较所画三角形 观察发现：所有同学画出的三角形都完全相同，说明：在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，三角形唯一确定 活动3：提出猜想（2分钟） 教师引导提问： 1. 通过刚才的实验，你认为直角三角形在什么条件下可以被唯一确定？ 2. 你能用准确的数学语言描述这个发现吗？ 学生尝试表述：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。 教师板书猜想： 猜想：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， 如果AB = A'B'（斜边相等） AC = A'C'（一条直角边相等） 那么Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C' 环节三：推理论证，验证猜想（8分钟） 活动1：分析证明思路（3分钟） 教师引导讨论： 我们现在要证明这个猜想，但我们手头只有SSS、SAS、ASA、AAS这四种判定方法。我们该如何证明呢？学生思考后，教师提示： 1.在直角三角形中，三边之间有什么特殊关系？（勾股定理） 2.如果知道斜边和一条直角边，能否求出另一条直角边？3.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么它们的另一条直角边有什么关系？ 活动2：师生共同完成证明（5分钟） 已知： 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' 求证： Rt△ABC≌Rt△A'B'C' 证明过程： 1. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 2. 在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得： 3. ∵ AB = A'B'，AC = A'C' ∴， 4. ∴ ∴ BC = B'C'（边长取正值） 5. 在△ABC和△A'B'C'中： AB = A'B'（已知） AC = A'C'（已知） BC = B'C'（已证） ∴ △ABC ≌ △A'B'C'（SSS） 教师强调： 1. HL定理的本质是通过勾股定理将两边一角转化为三边 2. 书写格式要规范，必须注明在Rt△中 活动3：定理命名与表述（1分钟） 教师： 这个定理叫做“斜边、直角边定理”，简称为“HL定理”（HypotenuseLeg Theorem）。板书定理： HL定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵ AB = A'B' AC = A'C' ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL） 环节四：例题讲解，初步应用（8分钟） 活动1：基础例题（例1，4分钟） 题目：已知∠ACB=∠BDA=90°，请添加一个条件，使△ACB≌△BDA，并写出证明过程。 教师引导分析： 1.观察图形，两个三角形都是什么三角形？（都是直角三角形） 2.它们有公共边吗？AB是这两个三角形的什么边？ 在Rt△ACB中，AB是斜边 在Rt△BDA中，AB也是斜边 3. 根据HL定理，要证明它们全等，还需要什么条件？ 还需要一组直角边对应相等 学生可能的添加条件： 1. AC = BD 2. BC = AD 教师选择一种情况板书完整证明： 已知：∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD 求证：△ACB≌△BDA 证明： 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ∵ AB = BA（公共边） AC = BD（已知） ∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL） 活动2：变式训练（4分钟） 变式：已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD，延长AC与BD相交于点E，你能得到什么结论？先补全图形再证明。 可能的结论及证明思路： 1. 结论1： AE = BE 证明：由△ACB≌△BDA得∠CAB=∠DBA 在△AEB中，等角对等边，所以AE=BE 2. 结论2： CE = DE 证明：由△ACB≌△BDA得BC=AD 又AC=BD，两式相减得CE=DE 3. 结论3： △AEB是等腰三角形 证明：由结论1直接可得 教师小结： 全等三角形是证明线段相等、角相等的有力工具。证明出全等后，我们可以得到很多有用的结论。 环节五：课堂练习，巩固提升（7分钟） 活动1：独立完成课堂小测（5分钟） 题目： 如图，点A、B、C、D在同一直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，垂足分别为A、D，且EC=FB，AB=DC。求证：∠E=∠F。 教师巡视指导，关注以下方面： 1. 学生是否能识别出直角三角形 2. 学生是否能找到对应的斜边和直角边 3. 学生证明过程的书写是否规范 关键点拨（对需要帮助的学生）： 1.图中哪些角是直角？（∠EAC和∠FDB是直角） 2.哪些三角形是直角三角形？（△EAC和△FDB） 3.EC和FB在两个三角形中是什么边？（斜边） 4.已知AB=DC，你能推出哪两条线段相等？（AC=DB） 活动2：展示与点评（2分钟） 选择一名学生板书证明过程： 证明： ∵ EA⊥AD，FD⊥AD ∴ ∠EAC = ∠FDB = 90° 在Rt△EAC和Rt△FDB中， ∵ EC = FB（已知） AC = DB（∵ AB = DC，∴ AB+BC = BC+DC，即AC=DB） ∴ Rt△EAC ≌ Rt△FDB（HL） ∴ ∠E = ∠F（全等三角形对应角相等） 师生共同点评： 1. 证明思路是否清晰 2. 条件是否写全（特别要注意写明在Rt△中） 3. 逻辑推理是否严谨 环节六：课堂小结，布置作业（5分钟） 活动1：知识梳理（2分钟） 教师引导学生从三个方面总结： 1. 知识点总结： 一般三角形中，SSA不能判定全等 直角三角形中，HL可以判定全等 HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 2. 方法总结： 探究方法：画图→观察→猜想→证明 证明方法：通过勾股定理将HL转化为SSS 应用方法：先识别直角三角形，再找斜边和直角边 3. 思想总结： 从特殊到一般的数学思想 转化思想（将未知转化为已知） 分类讨论思想（一般三角形与直角三角形的区别） 活动2：拓展思考（1分钟） 教师提出问题： 1.HL定理中，“斜边”这个条件能换成'直角边'吗？（不能，那是SAS） 2.如果两个三角形都是钝角三角形，且满足'边边角'，它们全等吗？（不一定） 3.HL定理在实际生活中有哪些应用？（如测量河宽、建筑测量等） 学科网（北京）股份有限公司 $