12.7直角三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.7直角三角形 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 直角三角形的定义 直角三角形的性质 新课探索 直角三角形的判定 直角三角形全等的判定(HL定理) 讲义内容 直角三角形的两个锐角互余 用HL证全等 题型练习 全等的性质和HL综合 新 课 探 索 一、直角三角形的定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。直角所对的边称为斜边，另外两条边称 为直角边。 二、直角三角形的性质 1.角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°。 三、直角三角形的判定 1.定义法：有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形：如果一个三角形中有两个角的和为90°，那 么这个三角形是直角三角形。 四、直角三角形全等的判定(HL定理) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。 题 型 练 习 直角三角形的两个锐角互余 1.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,AB=CD,若CE=7,BF=5,EF=3,则AD的长是 () B A.12 B.11 C.10 D.9 2.如图，在ABC中，∠ABC>90°，点D是边AC上一点，分别过点A,D作AE⊥BC于 点E,DF⊥BC于点F.点G是直线AB上一点，作LBEG=LC,则LAEG与LCDF的数 量关系是() A E B F A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.相等或互余 3.如图，在ABC与△CED中，∠ACB=90°，∠A=60°，∠E=45°，若AB∥DE,则 ∠BCE的大小是() D B A.10° B.15° C.20° D.25° 4.具备下列条件的ABC中，不为直角三角形的是() A.LA+∠B=∠C 1B.∠A=∠B=2<C C.∠A=90°-∠B D.∠A-∠B=90° 5.如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点C与墙角A的 距离等于右边竹竿底部F与墙角D的距离，则LABC+∠DFE=() C6工 B F 77777777777777 A.90° B.100° C.110° D.120° 用HL证全等 6.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和RtACDB全等，则需要添 加的条件是() D A.AD=CB B.∠A=∠C C.∠ADB=∠CBDD.AB=CD 7.如图，AC=BC,AC⊥OA,CB⊥OB,则△A0C≌△B0C的依据是() B A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 8.如图，ABC与aDEF是直角三角形，∠C=∠F=90°，下列各组条件中，可以直接用 “HL”来判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是() C E A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF 9.如图，能直接用“HL”判定RtAABC≌Rt△A'B'C的条件是() C A B A A.AB=A'B',AC=A'C' B.LA=∠A,AB=A'B C.AC=A'C,BC=B'C' D.∠B=∠B,BC=B'C' 1O.如图，已知AB⊥AC,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt ABC≌Rt DCB,还需补充一个 条件，可以是() A E A.AE=CE B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC 全等的性质和HL综合 11.如图，在ABC中，AC=BC,直线I经过顶点C,过A,B两点分别作I的垂线AE, BF,垂足分别为E,F,AE=CF,求证： C (I)ACE≌CBF; (2)当直线I不与底边AB相交时，试探索EF、AE、BF三条线段的大小关系，并说明理由. 12.如图，在ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，DF=BD,CF=BE. 求证： E C D (I)△CDF≌△EDB; (2)AB=AC+CF. 13.如图，AB=CD,DE=BF,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,求证：AB∥CD. A E B 14.如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E,∠CAB=45°，AD交BE于点F,AF=BC.求 证： C D B (1)ZCAD=ZEBC (2)AD⊥BC. 15.太阳能热水器（图1）环保节能，安全可靠，维护简单，备受人们的喜爱.它的支架我 们可以看作Rt△ABC(图2)，为增强其牢固性，增加了DC,DE两根支架，己知 DE⊥AB,且AC=AE,∠B=58°. B 图1 图2 (1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明： (2)求∠ADC的度数. 12.7直角三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直角三角形的定义 有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。 二、直角三角形的性质 1. 角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°。 三、直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形：如果一个三角形中有两个角的和为90°，那么这个三角形是直角三角形。 四、直角三角形全等的判定（HL定理） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 型 习 练 题 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，，若，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，证明是解题关键．首先证明，，进而利用“”证明，结合全等三角形的性质可得，，然后计算的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，点D是边上一点，分别过点A，D作于点E，于点点G是直线上一点，作，则与的数量关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义和直角三角形两锐角互余的性质．分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，根据垂直的性质得到直角，再结合已知角的关系，通过等量代换求出与的数量关系． 【详解】解：分两种情况： 当点G在线段上时，如图： ，， ． ，． ， ． 当点G在线段的延长线上时，如图： ，， ． ． ， ． 综上所述：与的数量关系是相等或互补， 故选：C． 3．如图，在与中，，，，若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．设交于点，由，，求得，由，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，设交于点，   在中，，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 4．具备下列条件的中，不为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理，判断三角形是否为直角三角形．通过代入内角和公式或设未知数求解各角度数，判断是否有度角即可． 【详解】解：∵ 在中，， 对于A：∵ ，∴ ，即，∴ ，是直角三角形． 对于B：∵ ，设，则，， ∴，即，，，是直角三角形． 对于C：∵ ，∴ ，∴ ，是直角三角形． 对于D：∵ ，∴ （因为），则为钝角，无度角，故不是直角三角形． 故选：D． 5．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 用HL证全等 6．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 8．如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法：，，，，． 根据全等三角形的判定定理求解判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项符合题意； D、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：依题意，在和中，， ∴ 故选：A． 10．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定全等，则还需一组直角边相等，即或，只有B选项符合． 故选：B． 全等的性质和HL综合 11．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足分别为，，．求证： (1)； (2)当直线不与底边相交时，试探索、、三条线段的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据证明即可； （2）由得到，那么． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵，， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ 12．如图，在中，，于点，点在上，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据即可证明，即得结论； （2）证明得到，结合；可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， ， ， ， ∵， ． 13．如图，，，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．证明，得到，即可得证． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 14．如图，在中， 于点，， 交 于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由 于点，可得，得，可证，即可得出； （2）由可得，由，代换得，即可得，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，直角三角形两锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 15．太阳能热水器（图1）环保节能，安全可靠，维护简单，备受人们的喜爱．它的支架我们可以看作（图2），为增强其牢固性，增加了，两根支架，已知，且，． (1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明； (2)求的度数． 【答案】(1)，证明见详解； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题意找出，利用证明即可； （2）根据得出，再根据直角三角形中两锐角互余，可得出的度数． 【详解】（1）解：， 证明：，是直角三角形， 在和中， ， ． （2）， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $