专题07 抛物线9大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题07 抛物线9大考点 考点01求抛物线的标准方程 考点02抛物线定义的判断及应用 考点03抛物线的筒单性质 考点04抛物线的轨迹方程 考点05直线与抛物线的位置关系 考点06抛物线的弦长问题 考点07抛物线的中点弦问题 考点08抛物线的最值范围问题 考点09直线与抛物线的综合问题 考点01求抛物线的标准方程 1．抛物线的焦点为，点在上，，则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为抛物线，点在上，所以， 因为，所以，即， 因为抛物线的焦点为，准线，， 根据抛物线定义可知，解得， 故选：B. 2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 3．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 . 【答案】 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设在坐标原点，则点和点关于轴对称， 由正方形的边长为2，所以，， 所以，解得. 故答案为：. 4．已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为 . 【答案】 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线方程为，则， 所以该抛物线的准线方程为， 故答案为： 考点02抛物线定义的判断及应用 5．已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则 . 【答案】 【详解】如图， 由题意知，抛物线的准线方程为， 又点到直线的距离为5， 所以点到准线的距离为， 由抛物线的定义知. 故答案为： 6．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 【答案】 【详解】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线（    ） A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 【答案】B 【详解】如图所示，P为抛物线上异于O的一点，连接，则，        所以QF的垂直平分线经过点P． 故选：B 8．已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C    考点03抛物线的筒单性质 9．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 11．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 12．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 13．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 14．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 . 【答案】16 【详解】因为曲线的方程为，即， 所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方， 因为直线过此抛物线的焦点. 设， 联立，得， 则， 所以由抛物线的焦点弦长公式得. 故答案为：16. 考点04抛物线的轨迹方程 15．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 16．已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，的重心为． 由定理1.1知，则由三角形的重心坐标公式， 可得， ． 于是，，， 由点在直线上得，即． 其中定理1.1及证明：如图，抛物线上两个不同的点，的坐标分别为，， 以，为切点的切线，相交于点，我们称弦为阿基米德的底边． 定理1.1．点的坐标为； 证明：由，则， 所以过点的切线方程为， 过点的切线方程为，联立这两个方程， 消去，可得，再将代入点处的切线方程， 可得． 这表明，点的坐标为． 故选：B． 17．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】， 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 18．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 19．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为， 联立抛物线方程，得，， 设，则， 设线段中点，则， 即，故线段中点的轨迹方程为，即， 故答案为： 20．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，再以，为邻边作平行四边形，求动点的轨迹方程． 【答案】 【详解】设直线，代入抛物线方程，得， 设，，则，即， 所以， 法一：设，因为，的中点坐标相同，且， 则，即，消去得， 由于，则，故动点的轨迹方程为；    法二：设，易知，则平行四边形对角线的交点为， 而，两式相减得，则， 为直线的斜率，且在直线上得，，代入上式得， 又因为点在抛物线的内部，可得， 所以，故动点的轨迹方程为. 考点05直线与抛物线的位置关系 21．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 22．已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 23．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A 24．（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 25．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（    ） A． B．8 C．8或 D． 【答案】B 【详解】由得：， 由题意知直线与抛物线无交点， 所以， 设抛物线上任一点为， 则点到直线的距离为： ， 因为，所以， 所以， 所以当时，， 解得：， 故选：B. 26．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 考点06抛物线的弦长问题 27．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为，准线为.如图， 取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，则. 设，则，，又，， 所以， 又，即，解得. 所以. 故选：C 28．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以 故选：B 29．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为 ． 【答案】 【详解】由直线与抛物线交于，，设，，直线的斜率为， 由抛物线定义，可得，， 又弦长， 所以. 故答案为： 30．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 【答案】1 【详解】设直线PQ的方程为，，. 由消去得，， 则，. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 31．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 32．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 33．已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 考点07抛物线的中点弦问题 34．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 35．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 【答案】 【详解】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为， 所以，解得，满足判别式， 故. 故答案为： 36．若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【答案】 【详解】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 37．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到直线的距离小3，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知直线与曲线交于两点，且的中点为，求证：以为直径的圆过点． 【答案】(1). (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由点到点的距离比它到直线的距离小3， 则点到点的距离等于点到直线的距离， 因此点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设曲线的方程为，则，得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为， 设，联立，得， 则，， 因为的中点为，所以，即，所以， 故，， 所以， 所以，所以以为直径的圆过点. 38．在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，是弦的中点，弦所在直线的斜率为，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图： 设两点的坐标分别为，则有 ①②，得．所以． 又因为，， 所以． 39．已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 【答案】(1)，； (2)3. 【分析】 【详解】（1）抛物线的准线方程为，则，解得， 抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得， 所以抛物线C的方程为，. （2）设，由点为的重心，得， 解得，由点在抛物线上，得， 两式相减，得，即， 所以直线l的斜率. 40．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得，   所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 考点08抛物线的最值范围问题 41．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一个动点，，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【详解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故直线的斜率存在且不为0，直线过焦点， 设直线的方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得：， 所以，方程的判别式， 设、， 由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当点为线段与抛物线的交点时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：A 42．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：因为直线的斜率，所以直线的方程为，即， 易知抛物线与直线没有交点， 设点，则点到直线的距离， 所以当时，取得最小值，. 方法二：设直线与直线平行，，且与抛物线相切， 联立得，令解得， 则与的切点为，则.    故选：C 43．已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 44．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 45．若点是抛物线上的一动点，点是直线上的一动点，则线段的长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立，得， 所以，得，所以线段的长度的最小值为两条平行线间的距离， 则． 故答案为：. 46．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，， 则，所以， 则， 故答案为：． 考点09直线与抛物线的综合问题 47．（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题可知，，故，故抛物线. 对于A：，故A正确； 对于B：易知直线的斜率存在，且不为0，故可设直线，， 联立直线与抛物线可得，，消得，， 解得或，. ，故B正确； 对于C：过点作准线的垂线，由抛物线的性质可知，， 故. 由B可知，，或，由对称性，不妨令，则，则，，，即，故C错误； 对于D：由B可知，，. 由抛物线的性质可知，， 故，故D正确. 故选：ABD. 48．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； （3）由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 49．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求交点的坐标及抛物线的标准方程； (2)在轴上是否存在一点异于点)，使过该点的直线与抛物线交于不同的两点（异于点），与直线交于点，且满足，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在点 【分析】 【详解】（1）联立方程组 消去，整理得， 因为直线与抛物线有且只有一个交点，所以， 解得或（舍去）．所以， 即方程为，即，∴ ∴， （2）由题意可知，该直线的斜率存在且不为， 故可设该直线方程为，由可知， 在方程中，令，得， 所以，所以， 联立，得，， 设，所以， 而，同理可得， 所以 ， 因为， 得，化简，得， 所以或（舍去）． 综上可知，存在点满足条件． 50．已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，6. 【分析】 【详解】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 51．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题知，设两点的坐标分别为， 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为， 联立方程消去整理得， 则，，， 所以， 所以，解得， 所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为， 令，得，即点的坐标为， 由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故直线过定点． （ⅱ）设点的坐标为． 联立方程消去后整理得，故， 由（1）知，， 直线的斜率为，同理可得直线的斜率为． 又， 所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上， 同理可得点在以线段为直径的圆上， 故，，，四点共圆．    52．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由点在抛物线上，所以，可得， 又，则，所以，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）可得，准线方程为， 由点在抛物线上，有， 当时，解得，不妨取，此时的角平分线为， 令可得，即，此时，同理取也可得到； 当时，可得直线的方程为， 又由的角平分线与轴交于点，可得，且点到轴的距离与到直线 的距离相等. 可得，有， 有，有， 有，有或， 可得或， 又由，可得，故； 综上可得； （ⅱ）当时取，此时，所以的方程为，即， 由，解得，即，显然满足； 当时，由（ⅰ）可得，可得直线的方程为，整理为； 又由抛物线的准线方程为，代入到直线的方程，可得， 可得点的坐标为； 直线的斜率， 又由，所以； 综上可得. 53．已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于在第一象限）. ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）解：由抛物线的性质，可得抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即，得到， 故抛物线的标准方程为. （2）解：①设，由，得到，所以， 则直线，即，同理可得，， 又点在切线上，所以， 故直线的方程为，即， 因为，所以， 又因为，所以，可得，所以点在定直线上， ②设 由①有直线，过点，直线， 联立方程组，整理得，所以， 又由方程组，整理得，所以， 因为， 因为在第一象限，所以， 又因为，且，可得，得到， 两式相乘可得， 因为，所以，得到， 所以，解得， 由 ，解得或， 当时，； 当时，， 又因为，所以，所以. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线9大考点 考点01求抛物线的标准方程 考点02抛物线定义的判断及应用 考点03抛物线的筒单性质 考点04抛物线的轨迹方程 考点05直线与抛物线的位置关系 考点06抛物线的弦长问题 考点07抛物线的中点弦问题 考点08抛物线的最值范围问题 考点09直线与抛物线的综合问题 考点01求抛物线的标准方程 1．抛物线的焦点为，点在上，，则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 . 4．已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为 . 考点02抛物线定义的判断及应用 5．已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则 . 6．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线（    ） A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 8．已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点03抛物线的筒单性质 9．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 11．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 12．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 13．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 14．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 . 考点04抛物线的轨迹方程 15．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 17．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 18．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 19．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 . 20．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，再以，为邻边作平行四边形，求动点的轨迹方程． 考点05直线与抛物线的位置关系 21．已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 22．已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 23．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 25．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（    ） A． B．8 C．8或 D． 26．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 考点06抛物线的弦长问题 27．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（   ） A．12 B．10.5 C．9 D．7.5 28．设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为 ． 30．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 . 31．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 32．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 33．已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 考点07抛物线的中点弦问题 34．直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 35．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ． 36．若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 37．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到直线的距离小3，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知直线与曲线交于两点，且的中点为，求证：以为直径的圆过点． 38．在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，是弦的中点，弦所在直线的斜率为，求证：． 39．已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 40．已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 考点08抛物线的最值范围问题 41．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一个动点，，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 42．在平面直角坐标系中，已知两点，点在直线上，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为 . 44．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 45．若点是抛物线上的一动点，点是直线上的一动点，则线段的长度的最小值为 ． 46．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 考点09直线与抛物线的综合问题 47．（多选）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与交于不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 48．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 49．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求交点的坐标及抛物线的标准方程； (2)在轴上是否存在一点异于点)，使过该点的直线与抛物线交于不同的两点（异于点），与直线交于点，且满足，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 50．已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 51．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 52．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：． 53．已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于在第一象限）. ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $