专题06 双曲线的方程11大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题06 双曲线的方程11大考点 考点01求双曲线的标准方程 考点02双曲线定义的判断及应用 考点03双曲线的筒单性质 考点04双曲线的焦点三角形 考点05双曲线的轨迹方程 考点06双曲线的离心率问题 考点07双曲线的渐近线问题 考点08直线与双曲线的位置关系 考点09双曲线的弦长问题 考点10双曲线的中点弦问题 考点11双曲线的解答题综合 考点01求双曲线的标准方程 1．已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 2．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 3．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 【答案】 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 将代入得， 故所求双曲线方程为，即. 故答案为： 5．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的标准方程为，即. 考点02双曲线定义的判断及应用 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上， . 【答案】 【详解】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上， 又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此， 所以. 故答案为： 7．已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【详解】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 8．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 9．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 考点03双曲线的筒单性质 10．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线即， 又虚轴长为，所以， 则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 11．双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线可知，其渐近线方程为， 由题意可知，， 所以，则，解得， 所以双曲线C的焦距为． 故选：D． 12．双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【详解】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为. 故选：C 13．（多选）已知双曲线，则（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．与直线仅有1个公共点 D．关于直线对称 【答案】BC 【详解】由题意知的虚轴长为，A错误； 双曲线的离心率为，B正确； 为的渐近线，所以与平行，故与仅有一个公共点，C正确； 交换位置后的方程与原来的方程不同，故不关于直线对称，D错误. 故选：BC 14．已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线可知，焦距为， 该双曲线的渐近线方程为， 因为， 所以直线的斜率，所以倾斜角为锐角，符合题意； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 所以， 因为， 所以由题意可知， 所以、 ， 故选：A 考点04双曲线的焦点三角形 15．已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 16．已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 17．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 18．已知双曲线的左､右焦点分别为，抛物线以为焦点，与的一个交点为，若的周长为，则 . 【答案】. 【详解】设双曲线的半焦距为，，由题可知，则； 如图，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为点，则为的准线，所以； 由题可知，解得，所以； 在中，由勾股定理可得，又，所以； 所以，整理可得，解得，因为，所以，即； 故答案为：. 19．设双曲线的左，右两个焦点分别为，，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则线段的长度为 . 【答案】4 【详解】设直线交的延长线于点，如图所示， 因为为的平分线，，所以为的中点，, 又因为为的中点， 则 故答案为： 20．设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由双曲线，则，故， 即，则双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，则， 由双曲线定义得， 两边平方得①， 由余弦定理得， 即②， ②①得：， 所以． 考点05双曲线的轨迹方程 21．已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（   ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的椭圆 C．是离心率为2的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于2 【答案】D 【详解】设点，由题意知，即， 故点的轨迹为和， 这两个方程分别表示焦点在轴和轴上的双曲线，离心率分别为和2，故A，B，C均错误； 因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离， 两个双曲线的顶点坐标分别为和，所以C上的点与原点之间的距离不小于2，D正确． 故选：D． 22．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 23．已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 24．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 25．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 考点06双曲线的离心率问题 26．已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题可知，，即，，，得. 设，因为平分，由角平分线定理可知， ，即，整理得. 在中，设，根据余弦定理，有： ， 又因为在中，， 故可得，整理得， 解得或（舍去）， 故的离心率. 故选：B. 27．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设半焦距为，依题意，得右焦点到渐近线的距离为， 即， . 故选：C. 28．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D 29．已知是双曲线左支上的一点，是的左焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，所以. 由于，所以. 设双曲线的右焦点为，因为点关于原点的对称点为，所以原点为的中点， 所以，所以. 因为，所以与全等， 所以，所以， 所以，所以. 对于点，根据双曲线定义得，即. 对于点，根据双曲线定义得，即. 在中，根据勾股定理得， 又， 代入得，解得. 在中，根据勾股定理得， 即， 将代入得，化简得， 解得. 故选：D. 30．设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 31．已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为 . 【答案】或 【详解】 设，与x轴垂直，， 代入双曲线方程得，解得，， 点在双曲线的右支上，则， ， 是直角三角形，外接圆半径， 设内切圆的半径为，又， 则，即，解得， 的外接圆半径是其内切圆半径的倍，，即， 整理得，两边同时除以，得， 解得或. 故答案为：或. 考点07双曲线的渐近线问题 32．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 33．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图．设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C.    35．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设的右焦点为，连接，. 因为，分别是，的中点，所以． 又直线是的一条渐近线，所以，故． 由双曲线的对称性，得． 由，得． 又，所以，． 在中，由余弦定理得，整理得， 所以，，所以直线的方程为． 故答案为：. 36．已知双曲线的左､右焦点分别为，一条渐近线为，设过点且与垂直的直线为，交于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的两条渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由题可得渐近线的一条方程为，即， 则由题可得到该渐近线的距离为， 又，所以， 由题知为的中点，则，所以， 故， 又因为，所以，所以即， 所以双曲线的渐近线方程为． 故答案为：. 37．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为 . 【答案】 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线为，则点到渐近线的距离，即圆的半径为，连接，则， 由双曲线的定义知，所以， 在中，为的中点，B为的中点，所以， ，则为. 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以渐近线斜率. 故答案为： 考点08直线与双曲线的位置关系 38．如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 39．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 40．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 41．已知直线与双曲线交于异支两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的两支交于不同的两点，故，解得， 故答案为： 42．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 考点09双曲线的弦长问题 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 44．已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为双曲线离心率，所以． 由，得，所以双曲线方程为，右焦点为． 由题意知，直线的方程为，设， 联立，得， 所以， 则 ，所以． 故选：A. 45．（多选）已知双曲线的上、下焦点分别为，实轴长为4，点为上一点，且，则（   ） A．的焦距为 B． C．的面积为 D．的纵坐标为 【答案】BCD 【详解】A，依题意，知双曲线的焦点在轴上，，所以， 由，得，所以焦距为，故A错误； B，因为，所以点为双曲线上支的一点， 故由双曲线的定义，可得，则，故B正确； C，在中，， 所以，故的面积为，故C正确； D，由的面积为，即，解得， 结合点为双曲线上支的一点，代入双曲线的方程，可得点的纵坐标为，故D正确． 故选：BCD 46．双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为 ，其焦距为 . 【答案】 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，因为， 所以， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为，焦距为， 故答案为：；. 47．已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 【答案】 【详解】曲线可化为，为双曲线的标准方程.因为双曲线关于原点对称，直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称；直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称， 所以， 由，得， 由，得，又 所以， 所以. 故答案为： 48．已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得： 考点10双曲线的中点弦问题 49．若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 50．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 51．若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 52．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 53．已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    54．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 55．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 考点11双曲线的解答题综合 56．已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2)①不存在，详见解析 ② 【分析】 【详解】（1）因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. （2）由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 57．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 58．在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，. 【分析】 【详解】（1）由题可得，，两边平方得， 整理得，故的方程为：. （2） 直线的斜率是否为定值，下证： 设，则，则有，作差得， 等式两边同除，得：， 即，因此， 因此，直线的斜率为定值，定值是. 59．已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点 ，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 60．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 61．已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）15. 【分析】 【详解】（1）设的半焦距为，由知.             又离心率，所以，从而.             所以的方程为. （2）    （i）设，点，，. 由可得， 因为与在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，.             直线， 令，得，             又， 所以直线恒过点.             （ii）如图，设， 则.             设，则， 在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为15. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线的方程11大考点 考点01求双曲线的标准方程 考点02双曲线定义的判断及应用 考点03双曲线的筒单性质 考点04双曲线的焦点三角形 考点05双曲线的轨迹方程 考点06双曲线的离心率问题 考点07双曲线的渐近线问题 考点08直线与双曲线的位置关系 考点09双曲线的弦长问题 考点10双曲线的中点弦问题 考点11双曲线的解答题综合 考点01求双曲线的标准方程 1．已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为 ． 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ． 5．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 考点02双曲线定义的判断及应用 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上， . 7．已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 8．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 9．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 考点03双曲线的筒单性质 10．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 11．双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（   ） A． B． C． D． 12．双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 13．（多选）已知双曲线，则（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．与直线仅有1个公共点 D．关于直线对称 14．已知双曲线：的两条渐近线的倾斜角均小于，则的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04双曲线的焦点三角形 15．已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 16．已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 17．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的左､右焦点分别为，抛物线以为焦点，与的一个交点为，若的周长为，则 . 19．设双曲线的左，右两个焦点分别为，，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则线段的长度为 . 20．设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 考点05双曲线的轨迹方程 21．已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（   ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的椭圆 C．是离心率为2的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于2 22．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 23．已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 24．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 25．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 考点06双曲线的离心率问题 26．已知椭圆和双曲线有公共焦点（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点，且平分，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 28．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知是双曲线左支上的一点，是的左焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为 . 31．已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为 . 考点07双曲线的渐近线问题 32．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 33．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 35．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为 ． 36．已知双曲线的左､右焦点分别为，一条渐近线为，设过点且与垂直的直线为，交于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的两条渐近线方程为 ． 37．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为 . 考点08直线与双曲线的位置关系 38．如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 39．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 41．已知直线与双曲线交于异支两点，则的取值范围为 ． 42．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 考点09双曲线的弦长问题 43．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 44．已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（多选）已知双曲线的上、下焦点分别为，实轴长为4，点为上一点，且，则（   ） A．的焦距为 B． C．的面积为 D．的纵坐标为 46．双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为 ，其焦距为 . 47．已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 48．已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 考点10双曲线的中点弦问题 49．若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 50．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 51．若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 53．已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 54．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 55．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 考点11双曲线的解答题综合 56．已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 57．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 58．在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． 59．已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 60．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 61．已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $