安徽省六安市霍邱县第一中学城南分校2025-2026学年高二12月份月考数学试卷

霍邱一中城南分校2025~2026学年度高二年级十二月份段考 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂，黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.直线3x十2y一1=0的一个方向向量是 A.(3,2) B.(2,3) C.(-3,2) D.(2,-3) 2.抛物线y=6x的焦点到准线的距离为 A含 B.3 C.4 D.6 3.椭圆系+号-1的离心率为 A.司 B c D.子 4.已知A,B,C,D为空间中四点，0为坐标原点，若OD=号OA-tOB+O心且A,B,C,D四 点共面，则= A-司 B C.3 5.圆C:x2+(y-3)2=5与圆C2:x2+y2-8x十10=0的位置关系为 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 6.已知点F为抛物线C:y2=6x的焦点，l为C的准线，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为 M.若MF=MP|,则PF= A.3 B.3 C.2√3 D.6 【高二年级十二月份段考·数学试卷第1页（共4页）】 26-T-395B 7.已知F,R分别为双曲线C号-芳-1a0,6>0的左，右焦点，过R:作C的两条新近线 的平行线，与渐近线交于M,N两点.若cOs∠ME,N=是，则C的渐近线方程为 A.y=±2x B.y=士2x Cy= 3 Dy=土 8.已知0为坐标原点，点A,B,P.Q(合号)都在椭圆C等+芳-1(a>6>0)上，若P+P店 =2P0,且直线PA,PB的斜率之积为一，则C的长轴长是 A.5 B.25 C.5 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线C:mx2+ny2=1(,n为常数)，则 A.若m>0,n>0,则曲线C为椭圆 B.若mn<0,则曲线C为双曲线 C.对任意实数m,n,曲线C都不会是抛物线 D.存在实数m,n,使得曲线C是由直线组成的图形 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD中，E为C℃上一动点，则下列说法正确的是 A.B1D1⊥AD B.三棱锥E-B,BD的体积为定值号 B C.当E为CC1的中点时，AEL平面ABD D.当E为CC1的中点时，BE与平面A,BD所成角的正弦值 为国 11.已知点F是抛物线C:y=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜 率为k的直线l与C交于M,N两点，则下列说法正确的是 A.k的取值范围为（一1,0）U(0,1) B AM IANI NF C若NF=2MF,则k=号或k=-号 D.点M关于x轴的对称点在直线VF上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线1的一个方向向量为m=(一2，k,1),平面a的一个法向量为n=(2,3,一2)，且l∥a, 则k= 【高二年级十二月份段考·数学试卷第2页（共4页）】 26-T-395B 13.过点A(一1，一1)与圆C:(x一1)2+(y一3)2=4相切的直线方程为 14已知F为双曲线C:后-号=1的左焦点，P,Q为C右支上的两点.若PQ=10,点 A(5,0)在直线PQ上，则△PQF的周长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线1：x一2y-3=0. (1)若直线l1过点M(2,一1)，且11⊥l,求直线11的方程； (2)若直线l2∥1，且直线l2与直线1之间的距离为5，求直线l2的方程 16.(本小题满分15分)》 已知双曲线C:-兰-1的右焦点与抛物线E的焦点重合。 (1)求抛物线E的标准方程； (2)若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M,N两点，求线段MN的 长度 17.(本小题满分15分) 已知B(6,8),点A在圆x2+y2=16上运动，M是线段AB的中点. (1)求点M的轨迹方程： (2)记点M的轨迹为曲线C,过点(2,0)的直线l与曲线C交于P,Q两点，若PQ=2√3， 求直线l的方程. 【高二年级十二月份段考·数学试卷第3页（共4页）】 26-T-395B 18.(本小题满分17分)》 如图，已知三棱柱ABC-A,B,C1的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，AB= AB1,B1C=3. (1)证明：AB⊥B,C: (2)求AC的长； B (3)线段BC上是否存在一点D,使得二面角A-BD-C的正弦值为 严？若存在，求出点D的位置：若不存在请说明理由。 19.(本小题满分17分) 已知点F是椭圆C:后+芳-1(a>6>0)的右焦点，0为坐标原点，若C上的点与点F距离 的最大值为3，最小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB,DE (1)求C的方程； (2)求证：TAB+TDE的值为定值： (3)设AB,DE的中点分别为P,Q,求证：直线PQ过定点 【高二年级十二月份段考·数学试卷第4页（共4页）】 26-T-395B霍邱一中城南分校2025~2026学年度高二年级十二月份段考·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.D因为直线3x+2y-1=0的斜率为-号，所以直线的一个方向向量为(1，-三)，又因为(2，-3)与 (1,-三)共线，所以3x十2y一1=0的-个方向向量可以是2，一3).故选D 2.B由题意知p=3,所以焦点到准线的距离为3.故选B. 3C由题意，得心=36，=9.=27，所以a=6,6=35,离心率e=台=故选C a 4.A由题意可知，若A,B,C,D四点共面，则AD=xA方+yAC,即O市-OA=x(O克-OA)十y(G元-OA), 所以Oi=(1-x-y0i+rO成+y0心，又0i=号Oi-0i+6元，所以1-x-y=号x=-,y=合， 即号+（一）十言=1，所以1=一合，放选A 5.A由题意知C1(0,3),C2(4,0),两圆的半径分别为√5，√6，所以|C1C2|=√/4+3=5>√5+6，故两圆 外离.故选A. 6.D由抛物线的定义知：|PF|=|PM,又|MF|=|MP|,∴.△PMF为等边三角形，∠FMN=30°，故 IMP=0-6成PF-反放话D NO八 (第6题图) (第7题图) 2.B易知点M,N关于x轴对称，令∠MF=a,6os2a=音∴osa=合(1+是)=是sima=青ama y x- tana 4 a, bc b(z-c)y-2a' 号…-2选B 3 a 8C因为Pi+P市=2Pi.所以0为AB巾点，设Am,),P(),则B(-m,),学+答=1，差+ a 普=1，所以=各直线PA,PB的斜率之积为兴品产品-器=多= xo一nxo+nx-m 车，所以4= ,由点Q在C上得亡+=+口-忌=1，所以心=子，所以a=号故C的K轴长2a=6.故速C 9.BCD对于A,当m=>0时，曲线C为圆，不是椭圆，故A错误；对于B,由双曲线方程的特点知，当<0， 曲线C为双曲线，故B正确；对于C,因为抛物线的方程中含有一次项，无论，n取何值，都不会产生一次 1 项，故不可能为抛物线，故C正确：对于D,当m>0,n=0时，方程变为x=±√ ,表示两条直线，当m=0, 心>0时，方程变为y=士√牙，亦为两条直线，放D正确放选CD, 10.BD对于A:在正方体中，由B1B∥DD且B1B=D1D,得四边形B1BDD为平行四边形，所以BD1∥ BD.此时AD,BD交于点D,且△A1BD为正三角形，则AD,BD不垂直，即AD,B1D1不垂直，故A错 误；对于B:因为BB∥CC,BBC平面BBD,CC丈平面B1BD,所以CC∥平面BBD.由线面平行的性 质及等体积转化易得V,m=V,m=Vm=子X2×号X2X2=专，放B正确：对于C:以A为原点， 【高二年级十二月份段考·数学试卷参考答案第1页（共4页）】 26-T-395B AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，x轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),D0,2,0),所以BD= (-2,2,0),A1D=(0,2,-2),设平面ABD的一个法向量为n=(x,y, B 则m·立=0， n.A=0, 所以{。22=0·所以二取n=1,1,1D,又 12y-2z=0, 12=y, E为CC1的中点时，E(2,2,1),则AE=(2,2,1),所以AE与n不平行，即 AE与平面A1BD不垂直，故C错误；对于D:当E为CC的中点时， E(2,2,1),则BE=(0,2,1),设BE与平面A1BD所成角为0，所以sin0 n·BE 3 n·B=3x5 =平，故D正确枚选m 11.ABD由题知抛物线C的焦点F的坐标为(2,0)，准线与x轴的交点A的坐标为（一2,0），直线l:y=k(x十 ②，设点M,N的坐标分别为(@，，联立方程)A十2，得产+(4：一8)x十42=0，则 十2=8-4k 22=4,且{k卡≠0282二160，解得-1<k<1且k≠0，A正确：因为= 》=干，-》=，所以-书正确：由 x1+2 x2+2 1NF到=21MF,得2十2=2(+2)，即x2=21+2.又xx2=4,所以x=1,2=4,则1十x2= -4k2 k2 解得三士22，C错误；设点M关于x轴的对称点为M(,一y,则2。一兰=（十2） 2-2x1-2 xg一2 9--2"+22a-2》=22=0.即2=气s=,所 0-2 (c1-2)(x2-2) 以M,F,N三点共线，即点M关于x轴的对称点在直线NF上，D正确.故选ABD. 12.2因为l∥a,所以m⊥n,即m·n=(-2)×2+3k+1X(-2)=0,解得k=2. 13.x十1=0或3x一4y一1=0易知C(1,3),且点A在圆C外，若直线斜率存在，设切线方程为y+1= k(x十1)，即kx一y十k-1=0,则3二》=2，解得k=至，故切线方程为3x-4y-1=0,易验证 w/k+(-1)2 x十1=0也是圆C的切线，故所求切线方程为x十1=0或3x一4y一1=0. 14.36由已知a=4,b=3,则c=√a2+b=5,所以A(5,0)是双曲线的右焦点，|PF|-|PA|=2a=8, QF|-|QA|=8,则|PF|+QF-(PA|+QA|)=|PF+|QF|-IPQ|=16,所以|PF|+ 1QF|=10+16=26,所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+1PQ|=26+10=36. 15.解：(1)易知直线1的斜率为号，因为4上1，所以直线的斜率为一2，…2分 又因为直线过点M(2,一1)， 所以直线的方程为y十1=一2(x一2)，即2x十y一3=0.…6分 (2)直线l2∥1，设直线l2的方程为x一2y十m=0, 因为直线2与直线1之间的距离为5， 由平行线间的距离公式可得m十3=5，解得m=一8或m=2, 10分 5 因此直线l2的方程为x一2y一8=0或x一2y十2=0.… 13分 16,解：1)双曲线C:2-兰-1中，a2=1,6=3,所以=d+8=4,解得c=2,所以双曲线C的右焦点为 （2,0).…2分 所以可设抛物线E的标准方程为)y2=2px(p>0),其焦点为（号，0），所以号=2，即p=4,…4分 所以抛物线E的标准方程为y=8x.……6分 (2)由a=1,得双曲线C的右顶点为(1,0)，因为直线1过点(1,0)且斜率为2，所以直线1的方程为y= 2(x-1), ……9分 设M(),N(2),联立直线1与抛物线E的方程x-1),消去y,得2-4红十1=0，所以 1y2=8x, 十2=4,0x2=1,…12分 所以|MN|=√/(x1一x2)2+(y-2)=√/5(x1一x2)z=5√/(+x2)2-4xx2=2/15.…15分 【高二年级十二月份段考·数学试卷参考答案第2页（共4页）】 26-T-395B 17.解：(1)设点M(x,y),A(,y),由点B的坐标为(6,8)，且M是线段AB的中点， x=0十6 2； w一3边十8可得x12x—61=2y—8，· 3分 2 因为点A在圆x2十y=16上运动，所以+y=16,… …4分 所以(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理，得(x-3)2+(y-4)2=4, 所以点M的轨迹方程为(x一3)2十(y一4)2=4.…6分 (2)由(1)知曲线C的方程为(x一3)2十(y-4)=4,是以C(3,4)为圆心，半径r=2的圆，…8分 由弦长为23，半径为2，则圆心到直线1的距离d= 2-(25) =1, 2 10分 ①当直线l的斜率不存在时，即(：x=2,符合题意： 11分 ②当直线l的斜率存在时，设直线l:y=k(x一2)，即k.x一y一2k=0,… 12分 则圆心C(3,4)到直线1的距离为d=一尘=1，解得=， 8 14分 √/k+1 所以直线l的方程为15.x一8y-30=0. 综上，直线1的方程为x=2,或15x一8y-30=0. 15分 18.(1)证明：易知∠ABC=∠ABB1=60°，… …1分 因为B1C=BC-BB1, 所以BA·BC-BA·(BC-BB)=BA·B武-BA.BB=2X2cos60°-2X2c0s60=0, 所以BA⊥BC,故AB⊥B,C. ……… 4分 (2)解：法一：易得cos∠BBC= 22+22-32 =-1 2×2×2 8 5分 因为AC=B武-BA=B武-(BA+BB)=B武-BA-BB,…6分 所以 |A1CI=√(BC-BA-BB)P=√BC+BA2+BB2-2BC·BA-2BC·BB+2BA·BB =√/22+22+22-2X2X2cos∠B1BC =/13. 8分 法二：由(1)知AB⊥BC,因为AB1∥AB,所以AB1⊥B1C, 所以A1C=√AB+BC=√4十9=3.…8分 (3)解：如图，取AB的中点O,连结OC,则AB⊥OC,以O为坐标原点，OB,OC所 在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，则A(一1,0,0)，B(1,0,0),C(0,√3， B 0),AB=(2,0,0),BC=(-1,5,0),…9分 设D(n0,2)(xn>0,BD=tB1C=tBC=(-t,W3,0)(0≤1≤1)， 则B1(x0十t,%一√5t,0),…10分 由BC=3,BB1=2,AB=2得 f(m+)2+(%-3t-3)2+号=9， 十1-1+g05十=，解得=-=-号=号 (m十1+1)2+(%-3)2+号=4， 所以D(--号，）则d=(--15-,） …… 12分 设平面BCD的法向量为m=(x1,少，21)， /动·m=0即 由BC.m=0, -u+1Da+(-9)m+=0, -十3y=0, 取x1=√5，则m=(√5,1，w3), 13分 设平面ABD的法向量为n=(2,2,2), 或n=0即一+D+(-）)+2=0, 3 由A3.n=0,(2=0, 取为=号则n=(o,是，-5）， …14分 【高二年级十二月份段考·数学试卷参考答案第3页（共4页）】 26-T-395B 设二面角A-BD-C的大小为0，因为sin0= ，所以os=。 42 所以|cos(m,n)|=|cos0 3-3t 15分 7× 丹+(@ -t 整理得22一5t+2=0, 解得1=号(1=2舍去). 16分 故线段BC上存在满足题意的点D,且点D为线段B1C的中点 17分 19.1)解：设椭圆C的焦距为2c,则由题意得a十c二3， 1a-c=1, …1分 解得：： … 2分 所以2=a2-C2=4-1=3,…3分 所以C的方程为号+号-1. 4分 (2)证明：由(1)得F(1,0),若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时， |AB=4,1DEl=2g=3(或AB=3.DE=4,此时8十TD品=立 …5分 a 若直线AB与直线DE的斜率都存在时， 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(,y),B(x2,2), y=k(x-1), 由 x2+y=1, 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4F3 8k2 42-12 所以x1十x2= 3十4k3,02= 3+4k2 6分 所以|AB|=√1+k|-2|=√1+R√（十2）-40 =√十R 8k2 3+4k2/ -4×4卫_12(1+足) 3+4k 3+4k2 7分 因为AB⊥DE,将k换成-冬，得DE= 12[1+(-)1 12(k2+1) …8分 3+4(-安) 4+3k2 1 3+4k2 4+3k 7(k2+1) 7 所以TAB+TDE-12(1+)+12(+1) 12(k2+1)121 …9分 综上所述，AB十TDE的值为定值. 10分 (3)证明：由(2)得x1+x2= 8k2 3+4kM十为=(0十m-2)= -6k 3+4k2, 因为P是AB的中点，所以P(羊e3十染) -3k 11分 将k换成一 ，得Q 4(-) -3(-) 4 3k 3+4(-)3+4(-) .即Q(+3 2 12分 3k 3k 若直线PQ的斜率存在，则直线PQ的斜率为kQ= 4+3kT3+4k2 7k 4 4k2 4(1-k2),…13分 4+3k 3+4k2 所以直线PQ的方程为y+（e3)甲y=（一号) 3k 7k 4k2 …14分 所以直线PQ过定点（号，0）： …15分 若直线PQ的斜半不行在则十·解得=1 4 此时直线PQ的方程为x=号，直线PQ也过定点（号，0）， 16分 所以直线PQ过定点（手，0）： 17分 【高二年级十二月份段考·数学试卷参考答案第4页（共4页）】 26-T-395B霍邱一中城南分校2025~2026学年度高二年级十二月份段考 数学答题卡 准考证号 学校 [o][0][0][0][0][0][0][0][0][0] 姓名」 [1][1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3][3] 班级 [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [4] 51 [5][5] [5] [5 [5] [5] [5] [6] [6][6 [6][6][6] [6] [6] 6 [ 考场 [7][7][7][7][7][7][7][7刀 [8][8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9][9] 1答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的 注 位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及 意 考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色 事 墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域 项 范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂： 白]四p四 缺考标记：☐ 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4CA][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分)】 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二年级十二月份段考·数学第1页（共2页）26-T-395B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二年级十二月份段考·数学第2页（共2页）26-T-395B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！