专题02 简单几何体全章11大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期沪教版

专题02 简单几何体 题型1 棱柱与圆柱（常考点） 题型7 多面体与旋转体（常考点） 题型2 柱体的体积（重点） 题型8 球 （重点） 题型3 柱体的表面积（重点） 题型9 球的体积（重点） 题型4 棱锥与圆锥（常考点） 题型10 球的表面积（重点） 题型5 锥体的体积（重点） 题型11 多面体与球体内切外接问题（难点） 题型6 锥体的表面积（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 棱柱与圆柱（共6小题） 1．（24-25高二上·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）用一个平面截正方体，截面图形可能是（    ） A．钝角三角形 B．直角梯形 C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形 3．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 4．（22-23高二上·上海黄浦·期末）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为 . 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .    6．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示. “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上. (1)求“十字”捆扎中彩带的总长度； (2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 题型二 柱体的体积（共5小题） 7．（23-24高二上·上海崇明·期末）若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 . 9．（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 10．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    11．（22-23高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，P为侧棱上点，且，H、G分别为AB、的中点. (1)求此三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求与平面所成角的大小. 题型三 柱体的表面积（共3小题） 12．（24-25高二上·上海·期末）若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 13．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 14．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，， O为AB的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与平面所成角的大小． 题型四 棱锥与圆锥（共8小题） 15．（23-24高二上·上海普陀·期末）四面体的所有棱长都为1，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·上海·期末）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 17．（22-23高二上·上海普陀·期末）设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为 . 18．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为 . 19．（22-23高二上·上海静安·期末）棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是 ． 20．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 21．（23-24高二上·上海·期末）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为 . 22．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 题型五 锥体的体积（共4小题） 23．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 24．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 25．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 26．（24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 题型六 锥体的表面积（共5小题） 27．（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的母线长，高，则这个圆锥的侧面积为 ． 28．（24-25高二上·上海·期末）如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    29．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 30．（23-24高二上·上海·期末）在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆. (1)记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； (2)求母线与底面所成角的大小. 31．（22-23高二上·上海徐汇·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若． (1)求图2中六面体的表面积； (2)求二面角的大小． 题型七 多面体与旋转体（共4小题） 32． （23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 33． 33．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    34．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    35．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. (1)求圆柱的表面积与体积; (2)求直线与所成的角. 36．（23-24高二上·上海·期末）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形． (1)求二面角的大小． (2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值． 题型八 球（共4小题） 37．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．（23-24高二上·上海·期末）已知球的半径为5，则球的一个大圆的面积为 . 39．（24-25高二上·上海浦东新·期末）设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 40．（24-25高二上·上海金山·期末）在正方体中，已知，点在棱上，且，则正方体表面上到点距离为的点的轨迹的总长度为 . 题型九 球的体积（共8小题） 41．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 42．（23-24高二上·上海·期末）半径为1的球的体积为 ． 43．（23-24高二上·上海·期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . 44．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 45．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 46．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    47．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为 .    48．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 题型十 球的表面积 （共7小题） 49．（24-25高二上·上海·期末）半径为3的球的表面积为 . 50．（24-25高二上·上海·期末）已知一个球的表面积为，则该球的半径为 . 51．（24-25高二上·上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 52．（24-25高二上·上海·期末）已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 53．（23-24高二上·上海·期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 平方毫米．（数值近似到0.01） 54．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示为一种甜筒冰激凌，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面，则这种甜筒冰激凌的表面积为 . 55．（23-24高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 题型十一 多面体与球体内切外接问题 （共5小题） 56．（24-25高二上·上海·期末）折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣.因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称.现有一张如图所示的A4纸，长，宽分别是其四条边的中点，课堂上，在数学老师的带领下，同学们发现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，可以得到一个四面体.课后，小金同学继续思考研究，并得到如下两个命题：①四面体的外接球半径；②四面体的内切球半径，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 57．（24-25高二上·上海·期末）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 58．（24-25高二上·上海·期末）棱长为1的正方体的棱上有一点，满足，若满足条件的这样的点共有4个，则的取值范围是 . 59．（23-24高二上·上海·期末）如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 60．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥（如图所示）的高为3，底面边长为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球，，，…，，，…，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切.    (1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小； (2)求球的表面积； (3)求放入的所有球的体积之和. $专题02 简单几何体 题型1 棱柱与圆柱（常考点） 题型7 多面体与旋转体（常考点） 题型2 柱体的体积（重点） 题型8 球 （重点） 题型3 柱体的表面积（重点） 题型9 球的体积（重点） 题型4 棱锥与圆锥（常考点） 题型10 球的表面积（重点） 题型5 锥体的体积（重点） 题型11 多面体与球体内切外接问题（难点） 题型6 锥体的表面积（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 棱柱与圆柱（共6小题） 1．（24-25高二上·上海嘉定·期末）平面截正方体所得的截面不可能是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面； 当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面； 当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面； 由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）用一个平面截正方体，截面图形可能是（    ） A．钝角三角形 B．直角梯形 C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的截面分析得到答案. 【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形. 对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.    如图所示的截面三角形. 设，所以，，. 所以由余弦定理得：所以为锐角. 同理可求：为锐角，为锐角. 所以为锐角三角形.故A错误； 对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.                故B错误； 对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.    故C正确； 对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误. 故选：C 3．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱及其有关计算 【分析】根据长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，结合已知即可求结果. 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 4．（22-23高二上·上海黄浦·期末）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为 . 【答案】 【知识点】求直线与平面的距离、正棱柱及其有关计算、由线面角的大小求值 【分析】确定到底面的距离为正四棱柱的高，即可求得结论． 【详解】∵正四棱柱， ∴平面平面， 平面， 平面, 到底面的距离为正四棱柱的高 ∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角， 故答案为:． 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：    连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 6．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示. “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上. (1)求“十字”捆扎中彩带的总长度； (2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 【答案】(1) (2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案. 【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为； （2） 由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 题型二 柱体的体积（共5小题） 7．（23-24高二上·上海崇明·期末）若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 【答案】36 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】由正四棱柱的底面边长为3，高为4，得该棱柱的体积. 故答案为：36 8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为4，则它的内接正三棱柱的体积等于 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】计算圆柱内接正三角形的边长，进而可得内接正三棱柱底面面积与体积. 【详解】如图，圆柱的底面半径，且，， 故. 则，该圆柱的内接正三棱柱的体积. 故答案为： 9．（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】利用柱体的体积公式可求得正四棱柱的体积. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则该正四棱柱的体积为. 故答案为：. 10．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、求点面距离 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值. 11．（22-23高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，P为侧棱上点，且，H、G分别为AB、的中点. (1)求此三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】柱体体积的有关计算、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）设底面正三角形的边长为，结合三棱柱的体积公式，求得，进而求得其全面积； （2）取的中点，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解；. （3）取的中点，证得平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）解：设底面正三角形的边长为，则其面积为， 因为三棱柱的体积为，可得，解得， 所以三棱柱的侧面积为， 所以三棱柱的表面积为. （2）解：取的中点，连接，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 因为，在直角中，可得， 在直角中，可得， 取的中点，连接，在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的大小为. （3）解：取的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面平面， 且平面平面，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，且， 在直角中，可得，所以. 题型三 柱体的表面积（共3小题） 12．（24-25高二上·上海·期末）若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱侧面积的公式计算得出圆柱的底面半径，再应用圆柱的体积公式计算即可. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱侧面积为，所以， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为40，如图所示， 所以弧的长度为， 曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为10的矩形， 所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 故答案为： 14．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，， O为AB的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求线面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式计算即可； （2）证明平面，则即为与平面所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为， 所以即为底面圆的直径， ， 所以圆柱的侧面积为； （2）连接， 在直三棱柱中， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 则即为与平面所成角的平面角， 在中，， 所以，所以， 即与平面所成角的大小为. 题型四 棱锥与圆锥（共8小题） 15．（23-24高二上·上海普陀·期末）四面体的所有棱长都为1，棱平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱锥及其有关计算、平行投影及其有关计算 【分析】设A、B、C、D在平面内的射影依次为，分别讨论在两侧、其中一点在上、在同侧时的投影图形， 其中在同侧时，时面积最小、平面时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积. 【详解】四面体的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知,正四面体的侧面上的高为，正四面体的高. ∵棱平面，设A、B、C、D在平面内的射影依次为，则， i.当在两侧时，构成的图形即为四边形，此时，，即，则所求面积即； ii.当在同侧或其中一点在上时，构成的图形即为，在的高上（或在的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中 ①当平面时，； ②当平面时，； ③当时，为CD到面的距离，即. 故，则所求面积即. 综上，四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 故选：C 16．（23-24高二上·上海·期末）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、拋物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．如图1所示，其中，现有一定线段，其与平面所成角（如图2），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则（    ）    A．当时，是抛物线 B．当时，是双曲线 C．当时，是圆 D．当时，是椭圆 【答案】D 【知识点】立体几何新定义、圆锥中截面的有关计算 【分析】由题，点在以为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可. 【详解】∵为定线段，为定值， ∴在以为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴的夹角为， 对于A，，∴平面截圆锥得双曲线，故A错误； 对于B，，∴平面截圆锥得椭圆，故B错误； 对于C，，∴平面截圆锥得抛物线，故C错误； 对于D，，∴平面截圆锥得椭圆，故D正确； 故选：D. 17．（22-23高二上·上海普陀·期末）设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为 . 【答案】/ 【知识点】正棱锥及其有关计算、求点面距离 【分析】 设正四面体为，过作底面，可知为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案． 【详解】 如图，设正四面体为，过作底面，垂足为， 四面体为正四面体，为底面正三角形的中心， 连接并延长交于，则为中点， 底面边长为1，， ， 该正四面体的高为． 故答案为：． 18．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为 . 【答案】5 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】根据勾股定理得到母线长. 【详解】由题意得， 由勾股定理得. 故答案为：5 19．（22-23高二上·上海静安·期末）棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是 ． 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、求线面角 【分析】设正四面体的顶点在平面中的投影为点，进而得是侧棱与底面所成角，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：如图，设正四面体的顶点在平面中的投影为点， 所以，由正四面体的性质可知，平面，且为等边三角形的中心， 所以，是侧棱与底面所成角，且是等边三角形的边的中线， 因为正四面体的棱长为， 所以，，， 所以，在中，， 所以，侧棱与底面所成角的大小是 故答案为： 20．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】先计算出圆锥的高，然后分析轴截面三角形顶角的大小，结合三角形面积公式求解出截面面积的最大值. 【详解】圆锥的高为， 因为，且为锐角， 所以，所以， 不妨设任意两条母线的夹角为， 则截面面积， 当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为， 所以， 故答案为：. 21．（23-24高二上·上海·期末）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为 . 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】设点P在底面上的射影为O，求出三棱锥的高，再求得时的长，继而确定表示区域的形状，即可求得答案. 【详解】设点P在底面上的射影为O，则O为正的中心， 连接并延长交于D，则D为中点，且， 正三棱锥的六条棱长均为6， 故， 故， 又，连接，当时，， 而O到三边的距离为， 故表示的区域是内以O为圆心，1为半径的圆及其内部区域， 则T表示的区域的面积为， 故答案为： 22．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 【答案】13 【知识点】用定义求向量的数量积、正棱锥及其有关计算、向量加法的运算律、数量积的运算律 【分析】分类考虑的两个端点的所处位置情况，即当两点取自四面体的顶点，或当两点取自6条棱的中点，或当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点，再分类考虑的情况，分类计算，综合即可求得答案. 【详解】正四面体中，设棱长为a，四个面上每个顶点与对边中点的连线长均为， 连接，则，则，同理， 则每组相对棱中点的连线长均为， 当两点取自四面体的顶点时，不妨假设为， 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值，其中有，等， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点取自6条棱的中点时，不妨假设为，同理可计算取等情况时的值； 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点时， 可求得的不同值为： 共13个， 综合以上可得可能取值共有： 共13种， 故答案为：13 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要分类讨论，先考虑向量所处的位置情况，再考虑，结合数量积的定义，分类计算，可求得答案. 题型五 锥体的体积（共4小题） 23．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的性质得到，又，由线面垂直的判定定理，可得面，从而可得，再分别求出，，利用等体法，即可求解. 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 24．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 25．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】（1）根据线线平行，即可由线面平行的判定求解， （2）根据平面，即可由面面垂直的判定求解，， （3）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）在平面上，不在平面上， 所以平面 （2）平面是平面上的直线，， 是正方形，对角线. 是平面上的两条相交直线 平面 平面经过直线平面平面 （3）. 设点到平面的距离为，在三棱锥中，. 由是正方形可知； 由勾股定理有；从而是正三角形， ， ，即. 故点到平面的距离为 26．（24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）先证明平行四边形再应用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合线面垂直判定定理及线面平行判定定理应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）异面直线与所成角为，则 又因为平面，则平面， 平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， . 题型六 锥体的表面积（共5小题） 27．（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的母线长，高，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】135π 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥特征以及相关公式直接计算即可. 【详解】圆锥的母线长，高， 所以圆锥的底面半径， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 28．（24-25高二上·上海·期末）如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，可得，进而可求表面积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 所以圆锥的表面积为 故答案为：. 29．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可； （2）由条件得点是线段中点，取中点，则，又，所以平面，从而是直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，， 则，又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 即直线与平面所成的角的正切值为 30．（23-24高二上·上海·期末）在圆锥中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆. (1)记圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积； (2)求母线与底面所成角的大小. 【答案】(1)； (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、求线面角 【分析】（1）由圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为，即可得；由侧面展开图是半圆，结合扇形弧长与圆心角及半径的关系可得本题中的； （2）连接、，易得即为母线与底面所成角，计算该角即可得. 【详解】（1）由圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为，弧长为， 故； 本题中，可得，由侧面展开图是半圆，故，即， 故. （2）连接、，则垂直底面，故即为母线与底面所成角， 又在底面上，故， 则，即， 即母线与底面所成角的大小为. 31．（22-23高二上·上海徐汇·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若． (1)求图2中六面体的表面积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求组合多面体的表面积、求二面角 【分析】（1）求边长为的六个等边三角形的面积之和即可求解； （2）和都是等边三角形，取的中点，连接，，，设面，可得即为二面角的平面角，在中，由余弦定理即可求解并求得角的大小. 【详解】（1）由题意可得：六面体的六个面都是边长为的等边三角形， 所以六面体的表面积为； （2）由题意可得：和都是等边三角形，且边长为， 取的中点，连接，，，设面， 可得，，且， 所以即为二面角的平面角， 在正四棱锥中，， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以 题型七 多面体与旋转体（共4小题） 32．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. 33．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【知识点】台体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 34．（23-24高二上·上海·期末）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？ .    【答案】中雨 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】先利用圆锥的体积公式求得水的体积，再利用圆柱的体积公式求得高即可. 【详解】解：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 积水厚度， 这天降雨属于中雨. 故答案为：中雨. 35．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. (1)求圆柱的表面积与体积; (2)求直线与所成的角. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角、柱体体积的有关计算 【分析】（1）直接根据圆柱的表面积与体积公式计算可得； （2）首先求出，再根据圆柱的性质可得与所成角即为与所成角，连接，利用勾股定理求出，再利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为是圆的直径，则， 圆柱的表面积， 圆柱的体积； （2）因为，所以与所成角即为与所成角， 连结，因为是圆的直径，所以， 因为， 所以，又因为， 所以， 则 即直线与所成的角为. 36．（23-24高二上·上海·期末）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形． (1)求二面角的大小． (2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】反三角函数、求二面角、多面体的性质探究 【分析】（1）正六边形中连接交于，进而得到为二面角的平面角，根据已知及余弦定理求其大小即可. （2）将面、面、面展开得到平面展开图，讨论是否平行，结合图形对所有可能的移动路径进行分析知分别与重合时三角形周长最大； 【详解】（1）正六边形中连接交于，则， 所以沿对折后，有，故为二面角的平面角， 又底面是正方形，正六边形边长为2，则， 所以，故锐二面角大小为. （2）将面、面、面展开，得到如下展开图， 若，则分别与重合，此时周长； 若不平行，如图示， 路径，过作，连接并延长交于点， 得到路径，路径，路径， 设路径的长度为且，结合图形、三角形三边关系判断知， 所以分别与重合，周长最大为， 综上所述：周长的最大值为. 题型八 球（共4小题） 37．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 38．（23-24高二上·上海·期末）已知球的半径为5，则球的一个大圆的面积为 . 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】由圆的面积公式求出即可. 【详解】因为球的半径为5， 则则球的一个大圆的面积为. 故答案为：. 39．（24-25高二上·上海浦东新·期末）设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】作出图象，求出小圆半径即可得答案. 【详解】解：如图所示： 则点A所在小圆半径， 所以小圆的面积为. 故答案为： 40．（24-25高二上·上海金山·期末）在正方体中，已知，点在棱上，且，则正方体表面上到点距离为的点的轨迹的总长度为 . 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】确定点为球心，半径为的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度即可. 【详解】依题意，因为，, 故在上必存在点满足，如图所示. ，同理可得， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，即. 在平面内满足条件的点的轨迹为， 该轨迹是以为半径的个圆周，所以长度为； 同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为； 在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为； 同理，在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为. 故轨迹的总长度为. 故答案为：. 题型九 球的体积（共8小题） 41．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】根据条件求出球的半径即可. 【详解】依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离. 如图，由勾股定理得：，解得，所以球的体积为. 故选：D.    42．（23-24高二上·上海·期末）半径为1的球的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】直接利用球的体积公式求解即可． 【详解】半径为1的球的体积为：. 故答案为：. 43．（23-24高二上·上海·期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积. 【详解】依题意，球的半径，所以球的体积. 故答案为： 44．（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】求出的外心，利用球心到所在平面的距离为球半径的四分之一，求出球的半径，即可求出球的体积． 【详解】由题意，，，，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到所在平面的距离为球半径的， 所以，解得，则. ∴球的体积为. 故答案为：. 45．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 46．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 47．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为 .    【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、球的体积的有关计算 【分析】由得在为直径的球面上，计算可得结果； 【详解】由可知，即在为直径的球面上， 因为底面为正方形，， 而为的中点，平面，平面， 则，即为直角三角形． 所以， 即为直径的球的半径为， 故的轨迹围成封闭图形的体积为：. 故答案为：. 48．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形， 作于点，如下图所示： 则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和, 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高， 则圆锥的体积， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为； 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为： 题型十 球的表面积 （共7小题） 49．（24-25高二上·上海·期末）半径为3的球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】由球的表面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式可得，. 故答案为：. 50．（24-25高二上·上海·期末）已知一个球的表面积为，则该球的半径为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】利用球的表面积公式，即可求出球的半径. 【详解】由题意，球的表面积为，设球的半径为， 则，解得. 故答案为：3. 51．（24-25高二上·上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解. 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 52．（24-25高二上·上海·期末）已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据题意可得球的半径为和的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 由题意可知：是边长为3的等边三角形，其外接圆半径， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 53．（23-24高二上·上海·期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 平方毫米．（数值近似到0.01） 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】利用球的表面积公式计算即可． 【详解】由题意知． 故答案为：． 54．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示为一种甜筒冰激凌，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面，则这种甜筒冰激凌的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，通过扇形的弧长求出底面半径，然后求出圆锥的侧面积以及半球的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，由题意，圆锥的侧面扇形的弧长为， 圆锥底面周长为，则，， 圆锥的侧面面积为， 半球的表面积为， 该甜筒冰激凌的表面积为 故答案为：. 55．（23-24高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，4 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积； （2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 题型十一 多面体与球体内切外接问题 （共5小题） 56．（24-25高二上·上海·期末）折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣.因A4纸的长宽比称为白银分割比例，故A4纸有一个白银矩形的美称.现有一张如图所示的A4纸，长，宽分别是其四条边的中点，课堂上，在数学老师的带领下，同学们发现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，可以得到一个四面体.课后，小金同学继续思考研究，并得到如下两个命题：①四面体的外接球半径；②四面体的内切球半径，则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断命题的真假 【分析】得到一个对棱相等的四面休，将四面体放到一个长宽高分别为的长方体中，则四面体的对梭分别为，结合已知可求得长方体的体对角线长即为外接球的半径判断①，利用等体积法可求得内切球的半径判断②. 【详解】将纸沿图示虚线折起，使得四点重合为一点， 可以得到一个对棱相等的四面休， 因为纸长，宽，根据纸折起后的情况， 可得， 把此四面体放到一个长方体中，如图所示： 设长方体的长宽高分别为，则四面体的对梭分别为 ， 则有 由上述方程组可得，则， 因为四面体的外接球就是长方体的外接球， 而长方体的外接球直径等于长方体的体 对角线长，所以外接球半径为， 所以①是真命题； 由（*）可得， 则四面体的体积等于长方体的体积减去四个等体积的三棱锥体积， 长方体体积为， 一个三棱锥的体积为， 所以，计算四面体的表面积为， 根据四面体的体积公式（为表面积，为内切球半径），可得，解得，所以②是真命题. 故选：C. 57．（24-25高二上·上海·期末）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 58．（24-25高二上·上海·期末）棱长为1的正方体的棱上有一点，满足，若满足条件的这样的点共有4个，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】立体几何中的轨迹问题、多面体与球体内切外接问题 【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点空间直角坐标方程，进而利用对称性计算求得的范围. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则由得， 化简可得， 易知点在以为球心，半径为的球面上.且， 当时，，点在平面靠近点的一侧，根据对称性可知， 棱上有2个满足条件的点，球面与这3条棱中的两条棱相交， 当点在球面上时，代入，得； 当点在球面上时，代入，得； 当点在球面上时，代入，得； 当时，球面与相交，根据对称性， 可知此时球面与也相交，满足条件的点共有4个， 同理，当时，有时满足条件的点共有4个， 当时，易知直线上的点均满足，不合题意； 综上. 故答案为：. 59．（23-24高二上·上海·期末）如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 【答案】①②③ 【知识点】证明线面平行、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】由题可证平面，得点P到平面的距离恒为定值，故①正确；由题可证平面，故②正确；三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，找到球心即可求半径，故③；旋转，将空间问题平面化，判断④错误. 【详解】正方体中，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即点P到平面的距离恒为定值， 又， 也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，①正确； 在正方体中，平面，平面，所以， 在正方形中：， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，②正确； 因为点P在线段上运动， 若，则点P与点A重合， 则三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 又正方体的中心到三棱锥四个顶点距离相等， 所以正方体的中心即为外接球球心，半径为体对角线的一半，为，③正确； 如图所示： 将三角形沿翻折得到该图形，连接与相交于点， 此时取得最小值，延长，过作于点， 在中，， 故的最小值为，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面处理解决： 一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 60．（24-25高二上·上海·期末）已知正四棱锥（如图所示）的高为3，底面边长为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球，，，…，，，…，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切.    (1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小； (2)求球的表面积； (3)求放入的所有球的体积之和. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求二面角、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据定义找到二面角的平面角，利用边长关系即可求解. （2）根据相切结合图形特征建立等量关系，解方程可求出球的半径，利用球的表面积公式可得结果. （3）根据题意可得，进而得到，利用数列是等比数列可求所有球的体积之和. 【详解】（1）如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，    则底面，取的中点，连接， 则，且， 则为侧面与底面所成角，设侧面与底面所成角为，则， ∵底面，∴. 在中，， ∴，即正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为. （2）设球与侧面相切于点，则点在线段上，且， 记球的半径为，由（1）可知， ∴， ∴，即，解得 ∴球的表面积为. （3）记球的半径为，体积为，设四棱锥的高为， 根据（2）可知， 设，则， ∴，两式相减可得，即， ∵，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴， 当时，，故所有球的体积之和为. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是分析出数列是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式结合极限的概念可得结果. $