专题01 空间直线与平面全章9大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期沪教版

专题01 空间直线与平面 题型1 空间的点、直线与平面（常考点） 题型6 直线与平面垂直（重点） 题型2 空间图形的平面直观图的画法 题型7 直线与平面所成的角（难点） 题型3 异面直线（常考点） 题型8 平面与平面平行（重点） 题型4 两条异面直线所成的角（重点） 题型9 二面角（难点） 题型5 直线与平面平行（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间的点、直线与平面（共5小题） 1．（23-24高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【详解】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【答案】C 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可． 【详解】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误． 故选：C． 3．（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【详解】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 【答案】1 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的方法即可. 【详解】不在同一条直线上的三点确定一个平面. 故答案为：1. 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据公理的内容即可求解. 【详解】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 题型二 空间图形的平面直观图的画法（共3小题） 6．（22-23高二上·上海闵行·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】把直观图还原,可知是直角梯形，利用梯形面积公式可求答案. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形后，得到; 水平方向长度不变，则四边形是直角梯形，． 故答案为：6. 7．（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、三角形面积公式及其应用 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 题型三 异面直线（共5小题） 9．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【详解】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 10．（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线的判定、棱柱的结构特征和分类、异面直线的概念及辨析 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【详解】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 11．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C. 【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误； 当运动到点时，与直线相交，故B错误； 因为与在同一平面上，,平面， 所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确； 当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误； 故选：C 12．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断. 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 题型四 两条异面直线所成的角（共6小题） 14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立体几何中的轨迹问题、由异面直线所成的角求其他量 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 16．（23-24高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】在平面内作出的平行线，通过证明垂直关系即可求出两异面直线的夹角. 【详解】连接，因为且，所以四边形是平行四边形， 所以，因为是正方形，所以， 所以，即与成. 故答案为： 17．（23-24高二上·上海·期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 . 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据条件先将直线得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条， 所以，，解得. 所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 故答案为： 18．（24-25高二上·上海·期末）四面体中， ，M、N分别为的中点，， 则异面直线AC与BD所成的角是 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，由已知可得为等腰直角三角形，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为的中点，则， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，又， 则在中，， 则， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为：.    19．（23-24高二上·上海静安·期末）三棱锥中，，分别为，中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点M，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，解三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接，∵ O为的中点， ∴，,且, 又，O为的中点， ∴，且， 在中，， ∴，即， 又平面， ∴平面. （2）取的中点M，连接， 由E为的中点，知， ∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由平面，平面,所以, ∵是直角三角形斜边上的中线，∴, 在中，由余弦定理可得：, 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为. 题型五 直线与平面平行（共6小题） 20．（23-24高二上·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断. 【详解】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得： 当时，可满足题意； 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意； 当时，无法满足题意. 故直线与平面相交或平行. 故选：B. 21．（23-24高二上·上海·期末）设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（    ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、线面平行的性质、平行公理 【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪. 【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形， 具体做法是：取，则四棱锥为正四棱锥， 然后令， 那么 此时是梯形，但不是平行四边形， 对于①，如图，四边形为平行四边形，也为平行四边形， 若平面与平面不平行， 则四边形中必有一边与底面相交， 不妨设直线与底面相交， 则直线也与底面相交， 在平面中过做的平行线，交与，则， 因平面，平面，故平面，即平面， 而平面平面，故，而， 故相交，这与为平行四边形矛盾. 故平面平面，故， 若四边形为菱形，则，则， 故四边形为菱形，故①错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾. 22．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】C 【知识点】判断线面平行 【分析】根据三角形的中位线，即可得线线平行，进而结合选项即可求解. 【详解】连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误， 连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确， 故选：C 23．（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，为的中点. (1)求异面直线与所成的角； (2)判断与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)平面，理由见解析 【知识点】判断线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可. （2）通过线面平行判定定理判断. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角. 设，则，，所以. 所以异面直线与所成的角为（结果也可写成或）. （2）平面 连接，交于，连接, 在中，分别为、中点，为的中位线，所以. 因为平面上，而平面上， 由直线与平面平行的判定定理得，平面. 24．（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）计算出侧面积及上下底面积相加即可； （2）取的中点,连接，所以(或其补角）是异面直线与所成角，利用余弦定理求解即可； （3）连接,交于点,连接，，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）直三棱柱中， 因为， 所以, 则其表面积为 . （2）取的中点,连接,    由是平行四边形知, 所以(或其补角）是异面直线与所成角， 在中， , , , 则, 所以异面直线与所成角所成角的大小为. （3）连接,交于点, 连接，因为四边形为矩形，    所以为的中点， 又因为为的中点，所以, 又因为平面, 平面, 所以平面. 25．（22-23高二上·上海虹口·期末）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且. (1)若M、N分别为棱AB、的中点，求证：； (2)求点C到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【知识点】空间线段点的存在性问题、点到平面距离的向量求法、已知线面角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）由已知利用中位线性质分别得出且，与且，证明四边形为平行四边形，即，即可证明结论； （2）由已知结合投影性质与等腰直角三角形性质，证明直线DB，DC，两两垂直，并得出需要线段长，再建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与，即可代入公式求解答案； （3）假设存在，并设出关系，得到，再由向量运算得到，即可由线面角公式结合已知列式求解. 【详解】（1）证明：连接MD， 为AB的中点，D为AC的中点， 且， 为的中点， 则在三棱柱中，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 平面CDN，且平面CDN， ； （2）点在底面上的投影为AC的中点D， 平面ABC， 且， 底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， ， 侧面为菱形，且， ， ， ，且， 直线DB，DC，两两垂直， 故以点D为坐标原点，直线DB，DC，分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 则点C到侧面的距离为： ， （3）假设存在满足条件的点E，并设，， 则， 直线DE与侧面所成角的正弦值为， ， 解得，，则， 故存在满足条件的点E，且， 题型六 直线与平面垂直（共11小题） 26．（23-24高二上·上海崇明·期末）给出下列命题：（1）若直线与平面中的无数条直线垂直，则；（2）若直线平面，且直线平面，则；（3）若且，可得．其中真命题的个数是          （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】空间中的点（线）共面问题、判断线面是否垂直、用定义证明线面关系 【分析】根据线面垂直的定义，线面垂直的性质，以及平面基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1）中，由线面垂直的定义，若直线与平面内的任意一条直线垂直，则，当直线与平面中的无数条直线垂直，则与平面不一定垂直，所以不正确； 对于（2）中，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得（2）正确； 对于（3）中，根据平面的基本性质得，若且，可得，所以（3）正确. 故选：C. 27．（23-24高二上·上海·期末）设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；判断可能在内，即可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；判断直线可能的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，，，，，但不能保证为相交直线， 故推不出，A错误； 对于B，，，则，又，可能在内，不能推出，B错误； 对于C，，，则，又，则，C正确； 对于D，，，则可能相交、平行或异面，D错误； 故选：C 28．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 29．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【详解】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 30．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、线面平行的性质、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面平行的判定定理可作出该截面，结合线面平行的性质定理可得截面是平行四边形，再利用线面垂直的判定以及性质可判断①；继而求得截面面积判断②；根据线面平行的性质定理可判断③. 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作， 分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，，则， 故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设M为的中点，连接， 则，，平面， 故平面，又平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为，即截面的面积为，②正确； 由于截面与侧面的交线为，且， 平面，平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，③正确. 故选：D. 31．（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【知识点】求点面距离 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 32．（25-26高二上·上海·期末）设矩形的边长，，平面，，则P到矩形对角线BD的距离为 ． 【答案】4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】利用线面垂直的判定性质作出点到直线的垂线段，再借助直角三角形计算得解. 【详解】在矩形中，，得， 过作于，连接，由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 因此，在中，，解得， 所以. 故答案为：4 33．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 【答案】垂 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】根据，利用线面垂直的判定定理得到平面PAC，从而，再根据点在平面上的投影为O，得到，有平面PBO，从而，同理证得，即可. 【详解】如图所示： 在三棱锥P-ABC中，因为， 平面PAC，又平面PAC，所以， 又点在平面上的投影为O，所以 平面ABC， 又平面ABC，所以 ， 又，所以平面PBO， 因为平面PBO，所以， 同理可得，， 所以点在平面上的投影 O 点是 的垂心. 故答案为：垂. 34．（24-25高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可； （2）由，得出是异面直线DE与所成角，再根据正切求角即可. 【详解】（1）连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）连接CE，因为，所以是异面直线DE与所成角. 记正方体的棱长为， 在中，， 所以异面直线DE与所成角是 . 36．（23-24高二上·上海·期末）为直角梯形，，，，平面，， (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点到直线的距离、证明线面垂直 【分析】（1）先利用勾股定理逆定理证明，再证，得平面即得. （2）先判断，再作高线,利用等面积即可求得点到直线的距离. 【详解】（1）    证明：如图，连接,在中，,则， 因为直角梯形，且,则， 又，由可知①， 因平面,平面，故② 又平面，由①② 知平面, 因平面,故. （2）    在中，因，由可知：,如图，过点作于， 由的面积可得：,解得：， 即点到直线的距离为. 题型七 直线与平面所成的角（共10小题） 37．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为 .（角度单位用弧度） 【答案】 【知识点】线面角的概念及辨析 【分析】结合直线与平面所成角的定义即可求出角的取值范围． 【详解】因为直线与平面相交， 所以直线不在平面内且直线不平行于平面，故所成角不能取得最小值0， 当直线与平面垂直时，所成角取最大值， 故直线与平面相交时，则它们所成角的范围为. 故答案为：. 38．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、由线面角的大小求值 【分析】根据平面，可得即为与底面ABCD所成角的平面角，由此可求得，从而可求得正棱柱的棱长，再根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】如图，在正四棱柱中， 因为平面， 所以即为与底面ABCD所成角的平面角， 则，解得， 所以，所以， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 39．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 【答案】 【知识点】由线面角的大小求值、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，作出图形，求出正的高即可计算得解. 【详解】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角， 即，而平面，则有，， 因此正边上的高， 所以正的边长为. 故答案为： 40．（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】/ 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】由于点是底面圆周上的一点，故, 又平面，平面，故平面， 故平面，故为直线与平面所成的角， 由于，，故, 故, 故答案为：. 41．（23-24高二上·上海长宁·期中）在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】在正方体中显然有面，找到为线面角，进行计算即可. 【详解】 连接,在正方体中，面, 是直线与平面所成角； 为棱的中点， . 故答案为：. 42．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）欲证线面垂直，需证线线垂直.根据条件，先证直线垂直于平面内的两条相交直线即可； （2）先确定所求的线面角，再在三角形中求解. 【详解】（1）如图： 因为底面是正方形； 又因为底面，平面； 又平面，且； 所以平面. （2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角. 在直角中： ，，. 所以.即为所求. 43．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【知识点】求线面角、由线面角的大小求值、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 44．（23-24高二下·上海青浦·期末）如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、线面平行的性质、求线面角 【分析】（1）过作于，连接，可得平面，则为直线与平面所成角，解三角形即可求得直线BD与平面PAC所成角的大小； （2）由O是的中点，D是的中点，可得，则得平面，得，则． 【详解】（1）过作于，连接， ∵平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，∴为直线与平面所成角， ∵，不妨设， 将矩形沿对角线折起后，仍有， 又D是的中点， 可得， ， ∴在中，，， ， ∴直线与平面所成角的大小为． （2）是的中点，是的中点，， 又平面，平面，平面PBC， 又∵平面平面，平面，， ． 45．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平行公理、由线面角的大小求值、求线面角 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    46．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】求点面距离、证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）由平面得，继而利用面面垂直的判断定理证明即可； （2）根线面角的定义可知为直线与平面所成的角，进一步计算即可； （3）等体积法，，进行计算即可. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以, 又平面，且平面，所以 又,平面，所以平面 又平面，则平面平面. （2）因为棱锥的体积为， 所以所以， 由勾股定理知，， 因为平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 又平面，，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 直角三角形中，， 所以直线与平面所成的角为. （3）因为, 所以三角形为等边三角形， 所以其面积为， 设点到平面的距离为， 由即， 得， 故点到平面的距离为. 题型八 平面与平面平行（共5小题） 47．（23-24高二上·上海·期末）已知直线平面，直线平面，有下面四个命题，其中正确的命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断图形中的面面关系、证明异面直线垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】选项A，由线面垂直可证得线线垂直；选项BCD，可利用长方体举出反例. 【详解】选项A，   ，，，又，，故A正确； 选项B，   如图，长方体中， 取平面，平面，， 满足条件直线平面，直线平面，且，但相交，不平行，故B错误； 选项C，   如图，长方体中， 取平面，平面，， 满足条件直线平面，直线平面，且，但不平行，故C错误； 选项D，   如图，长方体中， 取平面，平面，， 满足条件直线平面，直线平面，且，但不平行，故D错误. 故选：A. 48．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【答案】 【知识点】面面平行证明线线平行、空间平行的转化 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 49．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线线平行 【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得，，求与所成的角的余弦值即为所求. 【详解】设平面平面，因为平面，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 50．（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、证明面面平行、证明线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】过作，交于，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面平面，进而，然后利用余弦定理结合条件即得． 【详解】如图，过作，交于，连结， 因为，， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面平面，平面平面， ， 由，可得， ， ，， ， ， 所以， 所以线段的长为． 51．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面平行 【分析】（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. 题型九 二面角（共9小题） 52．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 【答案】3 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、二面角的概念及辨析、求点面距离 【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解. 【详解】如图，设二面角为，点，且， 过点A作平面，垂足为，连接， ∵平面，， ∴， 又∵，平面ABC， ∴平面ABC， 平面ABC，则， 故二面角的平面角为， 在Rt△ABC中，， 故点A到平面的距离为3. 故答案为：3. 53．（23-24高二上·上海·期末）下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 【答案】B 【知识点】判断线面平行、面面平行证明线线平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐项判断即可. 【详解】对A，根据线面平行的判定可知其正确； 对B，平面内的两条直线有可能是平行直线，这条直线也可能和平面不垂直，故B项不正确； 对C，根据面面平行的性质可知其正确； 对D，根据面面垂直的判定定理可知其正确. 故选：B. 54．（22-23高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 【答案】①③ 【知识点】线面平行的性质、判断面面是否垂直 【分析】利用面面垂直的判定定理判断①；利用特例法判断②④；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理判断③. 【详解】对于①，若，，根据面面垂直的判定定理可知，正确； 对于②，若，，则可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 对于③，若，则内存在一条直线，因为所以，所以，正确； 对于④，若，，，可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 综上可得，中能使成立的条件是①③ 故答案为：①③. 55．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 . 【答案】1 【知识点】证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果. 【详解】在正方体中，面，所以平面面， 且平面面，连接，交于P，则有, 即，由面面垂直的性质定理有平面， 又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条， 故垂足点P有且仅有一个， 故答案为：1.     56．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，，将沿翻折，得到四面体． (1)若，作出二面角的平面角，说明作图理由并求其大小； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)二面角的平面角见解析， (2) 【知识点】二面角的概念及辨析、证明线面垂直、求二面角、求点面距离 【分析】（1）由题意取点为的中点，连接，结合已知条件、等腰三角形三线合一即可得证，在由解三角形知识即可求出二面角大小. （2）利用等体积法求解即可，首先通过证明面，来计算三棱锥的体积，再计算的面积即可进一步求解. 【详解】（1）如图所示： 取点为的中点，连接，则即为所求的二面角的平面角，理由如下： 由题意， 又因为四边形是平行四边形，所以， 又因为，所以， 又点为的中点， 所以由三线合一可知， 又面面， 所以即为所求的二面角的平面角， 而，所以，同理， 而， 所以在中，由余弦定理有，即. （2） 由题意，， 由余弦定理有， 解得， 所以，即， 所以由题意有，， 又因为， 所以，即， 又面， 所以面， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 不妨设点到平面的距离为， 因为， 所以，解得，即点到平面的距离为. 57．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而，在中，， 所以直线与平面所成角的大小为. （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， ，， 所以二面角的大小为. 58．（23-24高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． (1)证明：平面MAC； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，由边的比求出正切值. 【详解】（1）连接交于，连接，则为中点. 因为分别为中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）取中点，连接， 由，则， 取中点，连接， 可得. 因为平面平面，平面平面. 所以平面， 因此平面平面，所以. 过作交于，连接， 可得平面，所以， 所以就是所求二面角的平面角，如图所示， ，由底面为正方形，则四边形为梯形， 则， 在直角中，可得， 则二面角的大小为. 59．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直角梯形中，，，，底面，且，在上取点．    (1)若，求二面角的大小； (2)若，写出的函数关系式，并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)，，最小值为 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】（1）由线面垂直的判定定理、性质定理得为二面角的平面角可得答案； （2）由余弦定理求出，再由得，再根据的范围可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，且，平面， ∴平面，平面，所以， ∴为二面角的平面角， ∵，∴，， ∴， ∴二面角的大小为； （2）中，， 因为，所以 ， 因为 所有时，BM最小，最小值为.    60．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. $专题01 空间直线与平面 题型1 空间的点、直线与平面（常考点） 题型6 直线与平面垂直（重点） 题型2 空间图形的平面直观图的画法 题型7 直线与平面所成的角（难点） 题型3 异面直线（常考点） 题型8 平面与平面平行（重点） 题型4 两条异面直线所成的角（重点） 题型9 二面角（难点） 题型5 直线与平面平行（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间的点、直线与平面（共5小题） 1．（23-24高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 2．（23-24高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 3．（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 4．（23-24高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 题型二 空间图形的平面直观图的画法（共3小题） 6．（22-23高二上·上海闵行·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 7．（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 8．（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 题型三 异面直线（共5小题） 9．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 10．（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 题型四 两条异面直线所成的角（共6小题） 14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 17．（23-24高二上·上海·期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 . 18．（24-25高二上·上海·期末）四面体中， ，M、N分别为的中点，， 则异面直线AC与BD所成的角是 . 19．（23-24高二上·上海静安·期末）三棱锥中，，分别为，中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 题型五 直线与平面平行（共6小题） 20．（23-24高二上·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 21．（23-24高二上·上海·期末）设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（    ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 22．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 23．（22-23高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，为的中点. (1)求异面直线与所成的角； (2)判断与平面的位置关系，并说明理由. 24．（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 25．（22-23高二上·上海虹口·期末）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且. (1)若M、N分别为棱AB、的中点，求证：； (2)求点C到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 题型六 直线与平面垂直（共11小题） 26．（23-24高二上·上海崇明·期末）给出下列命题：（1）若直线与平面中的无数条直线垂直，则；（2）若直线平面，且直线平面，则；（3）若且，可得．其中真命题的个数是          （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（23-24高二上·上海·期末）设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 28．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 29．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 30．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 31．（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 32．（25-26高二上·上海·期末）设矩形的边长，，平面，，则P到矩形对角线BD的距离为 ． 33．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 34．（24-25高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 35．（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 36．（23-24高二上·上海·期末）为直角梯形，，，，平面，， (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 题型七 直线与平面所成的角（共10小题） 37．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为 .（角度单位用弧度） 38．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为 ． 39．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 40．（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 41．（23-24高二上·上海长宁·期中）在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为 ． 42．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角大小. 43．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 44．（23-24高二下·上海青浦·期末）如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 45．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 46．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求点到平面的距离. 题型八 平面与平面平行（共5小题） 47．（23-24高二上·上海·期末）已知直线平面，直线平面，有下面四个命题，其中正确的命题是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 49．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 50．（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 51．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 题型九 二面角（共9小题） 52．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 53．（23-24高二上·上海·期末）下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 54．（22-23高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 55．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 . 56．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，，将沿翻折，得到四面体． (1)若，作出二面角的平面角，说明作图理由并求其大小； (2)若，求点到平面的距离． 57．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求二面角的大小． 58．（23-24高二上·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． (1)证明：平面MAC； (2)求二面角的大小． 59．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直角梯形中，，，，底面，且，在上取点．    (1)若，求二面角的大小； (2)若，写出的函数关系式，并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？ 60．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. $