专题02 安徽期末真题精选压轴76题7考点（高效培优期末专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 期末真题精选压轴76题7考点（高效培优期末专项训练） 考点01 选择小压轴函数图象 考点02 选择小压轴多结论 考点03 选填小压轴将军饮马最值问题 考点04 填空小压轴双空题 考点05 解答压轴一次函数实际应用 考点06 解答压轴几何模型综合题 考点07 解答压轴一次函数综合题 考点01 选择小压轴函数图象 1．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 2．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．甲的骑行速度是 B．两地的总路程为 C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达B地 3．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（      ） A．12 B．24 C．20 D．48 4．(24-25八上·安徽亳州·期末)甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 考点02 选择小压轴多结论 5．(24-25八上·安徽阜阳颍州区·期末)如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 7．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)小红和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小红开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好需用，小东骑自行车以的速度直接回家，人离家的路程与各自离开出发地的时间之间的函数如图所示，有下列四种说法： ①小东离家的路程与之间的函数表达式为； ②家与图书馆之间的路程为； ③小红步行的速度为； ④出发后，两人相遇； 其中正确的有（     ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 9．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是(　　)    ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 11．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（   ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 考点03 选填小压轴将军饮马最值问题 15．(24-25八上·安徽合肥庐江县·期末)如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 16．(24-25八上·安徽淮北濉溪县·期末)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 18．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为 ． 19．(24-25八上·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)如图，等腰的底边长为8，面积为24，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是 ． 考点04 填空小压轴双空题 20．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)如图，已知直线，直线，与相交于点．    （1）若，则的取值范围是 ； （2）若点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交和于点，．当时，的值为 ． 21．(24-25八上·安徽宿州灵璧县·期末)甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 22．(24-25八上·安徽淮北濉溪县·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，． （1）连接，若，，则 ； （2） ． 23．(24-25八上·安徽亳州·期末)已知直线和直线（其中均为非零常数）位于同一平面直线坐标系内． （1）若这两条直线与轴交于同一点，则 ； （2）若自变量取一切实数时，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 24．(24-25八上·安徽六安金寨县·期末)中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 25．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点 （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 26．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 27．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 28．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 29．(24-25八上·安徽六安金安区·期末)如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ； （2）当时， 30．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 31．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 32．(24-25八·安徽巢湖·期末)如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 33．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 34．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为 ； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 考点05 解答压轴一次实际应用 35．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 36．(24-25八上·安徽阜阳临泉县·期末)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 37．(24-25八上·安徽亳州·期末)春节临近，为了满足顾客的消费需求，某大型商场计划用元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表： 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价（元/台） 售价（元/台） 若在现有资金允许的范围内，计划购买三类家电共台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱台． (1)用含的代数式表示洗衣机的台数； (2)商场最多可以购买冰箱多少台？ (3)购买冰箱多少台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？ 38．(24-25八上·安徽六安金寨县·期末)天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共台．进价和售价见下表． 空调 电热水器 进价（元/台） 售价（元/台） 设商场计划购进空调台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入资金万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？ 39．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 40．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 41．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温与时间（分）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … y 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 该小组根据实验数据绘制出了相应的函数图象，并发现无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温都是时间（分）的一次函数． 根据图象和表格中的数据，回答下列问题： (1)______，______； (2)在保温模式下，求当时水温与时间之间的函数关系式，并写出的值； (3)当时，______ 42．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)刘师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池满电量为60千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算刘师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.5元 方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的关系式，当电池剩余电量为时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)刘师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，两种方案费用一样． 43．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量激增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 44．(24-25八上·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．肥西县某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进3个灯笼和4副春联花费135元，第二次购进9个灯笼和10幅春联花费375元． (1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过6000元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不大于灯笼的数量的2倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 45．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 考点06 解答压轴几何模型综合题 46．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 47．(24-25八上·安徽亳州·期末)如图1，已知等腰，，，于点，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)当点与点重合时，即，如图2，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 48．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 49．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 50．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 51．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 52．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 53．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 54．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）．理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成解答过程） 55．(24-25八·安徽巢湖·期末)已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 56．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 57．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 58．(24-25八上·安徽黄山歙县·期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： (1)如图（1），在中，如果，那么将折叠，使边落在上，点C落在上的点，折线交于点D，则可以得出． 请根据这个思路，结合图（1），写出证明过程． (2)在探究中同学们画图发现：当时，分别是的中线、角平分线和高线，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，请结合图（2）进行证明：如果不成立，请举出反例． 59．(24-25八上·安徽淮南寿县等2地·期末)在中，，，是的角平分线，于E．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点M为上一点，连接，作等边，连接，求证：； (3)如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于Q，求证：． 60．(24-25八上·安徽淮南·期末)已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 61．(24-25八上·安徽亳州涡阳县·期末)【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 62．(24-25八上·安徽合肥部分学校联考·期末)构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 63．(24-25八上·安徽淮南·期末)在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)求出两点的坐标； (2)如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 64．(24-25八上·安徽安庆·期末)如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 65．(24-25八上·安徽蚌埠经开区·期末)点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 考点07 解答压轴一次函数综合题 66．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 67．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 68．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 69．(24-25八上·安徽合肥部分学校联考·期末)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线（为常数）的图像经过点，点是直线上一动点，且的横坐标为，以为腰、为底构造等腰，点在轴上． (1)求的值； (2)当点纵坐标为，求点的坐标； (3)若的面积是的面积的倍，求点的坐标． 70．(24-25八上·安徽安庆·期末)如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 71．(24-25八上·安徽宿州萧县十三校联考·期末)直线经过，两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)点为线段上一点，点为直线上一点，． ①如图1，若，求点坐标； ②如图2，若，求点坐标． 72．(24-25八上·安徽六安裕安区·期末)（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 73．(24-25八上·安徽阜阳·期末)材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 74．(24-25八上·安徽合肥肥西县·期末)如图，直线OA与直线BC相交于点A，且点B的坐标为（5，﹣1），点C的坐标为（3，1），直线OA的解析式为y＝3x （1）求直线BC的解析式； （2）求点A的坐标； （3）求△OAC的面积． 75．(24-25八上·安徽阜阳颍州区·期末)已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 76．(24-25八上·安徽宿州灵璧县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题精选压轴76题7考点（高效培优期末专项训练） 考点01 选择小压轴函数图象 考点02 选择小压轴多结论 考点03 选填小压轴将军饮马最值问题 考点04 填空小压轴双空题 考点05 解答压轴一次函数实际应用 考点06 解答压轴几何模型综合题 考点07 解答压轴一次函数综合题 考点01 选择小压轴函数图象 1．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 【答案】D 【分析】根据函数的图象逐一分析即可得出答案． 【详解】A． 从图象可以看出，当时，，所以甲园的门票费用是60元，正确，故该选项不符合题意； B． ，所以草莓优惠前的销售价格是40元/kg，正确，故该选项不符合题意； C． 乙园超过5 kg后，超过的部分销售价格是元/kg，是打五折，正确，故该选项不符合题意； D． 若顾客采摘12 kg草莓，甲园的花费是（元），乙园的花费是（元），所以总费用不相同，错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．甲的骑行速度是 B．两地的总路程为 C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达B地 【答案】C 【分析】根据函数与图象的关系依次计算即可判断． 【详解】甲骑行1250m，故速度为1250÷5=，A正确； 设乙的速度为x，则有20×250-15x=2000 解得x=200 ∴乙的速度为， 甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200=继续骑行， ∵乙先到达B地， ∴由题意可得两地的总路程为15×200+（85-20）×300=22500m=，B正确； 设乙出发t后追上甲 依题意可得2000= 解得t=30 ∴乙出发后追上甲，C错误； 85甲的路程为85×250=21250m ∴甲比乙晚到达B地，D正确 故选C． 3．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（      ） A．12 B．24 C．20 D．48 【答案】B 【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可． 【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6， 当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24． 故选：B． 4．(24-25八上·安徽亳州·期末)甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（      ） A．5分钟 B．9分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键． 根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可． 【详解】解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为； 令， 当时，， 解得（舍去）； 当时，， 当时，解得； 当时，解得； 当时，可得， 解得； 综上，的值可能为5或11或17，不可能为9， 故选：B． 考点02 选择小压轴多结论 5．(24-25八上·安徽阜阳颍州区·期末)如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确； ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，，，故②正确； ， 在和中， ， ， ， 又， ，故③正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 6．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，最后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故①正确； 如图：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，即②不正确，④正确； ∵，， ， ， ∴，即③正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 7．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质证明，，，再结合全等三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵等边三角形，等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，延长交于， ∵为内动点， 根据现有条件无法得到，故C符合题意； 故选：C 8．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)小红和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小红开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好需用，小东骑自行车以的速度直接回家，人离家的路程与各自离开出发地的时间之间的函数如图所示，有下列四种说法： ①小东离家的路程与之间的函数表达式为； ②家与图书馆之间的路程为； ③小红步行的速度为； ④出发后，两人相遇； 其中正确的有（     ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】结合函数图像，根据路程等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：小东骑自行车以的速度直接回家， 小东离家的路程与之间的函数表达式为，故①正确； 由图像可知，家与图书馆之间的路程为，故②正确； 小红步行，所走路程为， 小红步行的速度为，故③正确； 小红跑步速度为， 两人相遇所需时间为，故④错误； 正确的有①②③， 故选：． 9．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①根据直角三角形斜边上的中线性质进行判断； ②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，由角平分线定理和三角形边的关系判断便可； ③根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断③正确； ④根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断④正确． 【详解】解：①∵CD⊥AB于D， ∴∠BDC=90°， ∵H是BC边的中点， ∴DH=CD， ∴①正确； ②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，      ∵BE平分∠ABC， ∴DF=FM， ∴DF＜FC， ∴②错误； ③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD， ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠DBF=∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴BF=AC， ∴③正确； ④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E， ∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°， ∴在△ABE与△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE=AC， ∵AC=BF， ∴CE=BF， ∴④正确． 所以，正确的结论是①③④， 故选：C． 10．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是(　　)    ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④． 【详解】解：∵两直线相交于点， ∴方程的解是， 方程组的解是：， 故①②正确； ∵当时，直线在直线的下方， ∴当时，，整理得：，故③错误； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，函数的值比函数的值大，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故C正确． 故选：C． 11．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，根据一次函数中的与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题，关键是熟练掌握用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：①观察图象可知，的图象过第二、三、四象限， ∴， ∴，故①符合题意； ②将分别代入和得： ，， 观察图象不难发现点在点的上方， ∴，故②符合题意； ③观察图象发现，与交点的横坐标为， ∴当时，两者的函数值相等， ， ，故③符合题意； ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则 当时，，则故④不符合题意； 故选：C． 12．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（   ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤正确． 故选：C． 13．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数，进而可对结论①进行判断； ②证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③根据含有角的直角三角形的性质得当时，则AFEF，此时，则，但是根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断； ④过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，，进而再证明是等边三角形得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ；故结论①正确； ②连接，如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②成立； ③连接，如图2所示： ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故结论③不正确； ④过点A作于点M，于点N，如图3所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分，故结论④正确； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，如图4所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个． 故选：C． 14．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 考点03 选填小压轴将军饮马最值问题 15．(24-25八上·安徽合肥庐江县·期末)如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键．如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 16．(24-25八上·安徽淮北濉溪县·期末)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， 故选：D． 17．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 18．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，作关于的对称点，由平分，，得到点一定在上，过作于，交于，连接，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 作关于的对称点， 平分， 点一定在上， 过作于，交于，连接， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为，长为， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是， 故答案是：． 19．(24-25八上·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)如图，等腰的底边长为8，面积为24，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】连接交与点，连接，依据等腰三角形三线合一定理可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长；由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，即的长． 【详解】解：连接交与点，连接， ∵是等腰三角形，点D是底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∴当点M位于点处时，有最小值，最小值是6． 故答案为：6． 考点04 填空小压轴双空题 20．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)如图，已知直线，直线，与相交于点．    （1）若，则的取值范围是 ； （2）若点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交和于点，．当时，的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查两直线相交或平行问题． （1）联立两直线解析式得到关于x、y的方程组，解之即可得点的坐标；求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （2）根据题意表示出E、F的坐标，得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， 在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是， 故答案为：； （2）由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 21．(24-25八上·安徽宿州灵璧县·期末)甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了从图象中获得信息，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）利用待定系数法分别求出甲，乙（）的函数解析式，联立即可解答； （2）先求得乙在的函数解析式，结合（1）甲的函数解析式，分变速前和变速后两种情况列方程解答即可． 【详解】解：（1）设甲所跑的路程与时间之间的函数关系为， 则，解得：， ∴甲的函数解析式为：； 设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点，，联立方程可得： ， 解得， 乙的函数解析式为：； 令，解得：， 则当时，甲与乙相遇； 故答案为：； （2）设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点， 则，解得：， 乙的函数解析式为：； ∵甲、乙相遇之前，甲与乙相距， 乙变速前则， 解得：； 乙变速后则， 解得：； 故答案为：或． 22．(24-25八上·安徽淮北濉溪县·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，． （1）连接，若，，则 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）连接，可得是等腰直角三角形，根据角的和差与三角形的内角和即可求解； （2）过点B作轴于点M，作轴于点N，设与y轴的交点为F，证明，得到，从而有，即．过点D作轴于点P，作轴于点Q，可证，得到，从而有，因此，最后由即可求解． 【详解】解：（1）连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）过点B作轴于点M，作轴于点N，设与y轴的交点为F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 过点D作轴于点P，作轴于点Q， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 23．(24-25八上·安徽亳州·期末)已知直线和直线（其中均为非零常数）位于同一平面直线坐标系内． （1）若这两条直线与轴交于同一点，则 ； （2）若自变量取一切实数时，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的综合应用． （1）令，求出，根据，列出等式进行求解即可； （2）根据题意，可知两条直线平行，且在的上方，进行求解即可． 正确的求出直线与坐标轴的交点，是解题的关键． 【详解】解：（1）当时，，， ∵两条直线与轴交于同一点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：两条直线平行，且在的上方， ∴，， 即：， ∴； 故答案为：． 24．(24-25八上·安徽六安金寨县·期末)中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ； （2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 【答案】 / 9 【分析】（1）过作于E，于，根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式即可得到答案； （2）根据可得到，再根据，和（1）的结论得到，即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，   是的角平分线， ， ，， ， 故答案为：； （2）， ∴， ，，平分， 由（1）可知：， ， ， 故答案为：9． 25．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点 （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，准确得到规律是解题的关键． （1）把代入，求出函数解析式，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，继而得到点的纵坐标为； （2）同理点的纵坐标为，点的纵坐标为，……，由此发现规律，进而解题． 【详解】解：（1）∵在直线， ∴，即， ∴该函数解析式为， 如图，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则， 设， ∵都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，即点的纵坐标为； （2）同理点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ……， 由此发现，的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：（1）；（2）． 26．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则 ； （2）当时，函数有最大值14，则的值为 ． 【答案】 10 2或 【分析】此题考查了一次函数的性质． （1）把点的坐标代入即可求出答案； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：（1）把点代入一次函数的表达式中，得， 解得， 故答案为：10； （2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值， ，解得； 当时，随增大而减小，则当时，有最大值， ，解得， 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 27．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为． （1）如图，当时，点的坐标为 ； （2）若两点之间距离为2，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式以及交点坐标，当时，求解，结合可得，可得直线为，再求解交点坐标即可；求解，，，，利用，，再建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）当时，直线为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）∵直线：，直线：， 同理可得：，，，， ∵，， ∴， 解得：或； 故答案为：或． 28．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 29．(24-25八上·安徽六安金安区·期末)如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时， ； （2）当时， 【答案】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 30．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 31．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短，三角形的面积，三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出，再利用三角形的外角的性质求解； （2）如图，在上截取线段，使得，过点B作于点H．利用三角形面积公式求出，再根据垂线段最短求解． 【详解】解：（1）平分，， ． ． （2）如图，过点B作于点G，交于点，则． 平分， ． ，即点与点B关于对称． 过点作于点N，交于点M， 由轴对称的性质可知，点M即为使最小的点，． 过点B作于点E． ，解得． ， 是等腰三角形， ，即的最小值是3 32．(24-25八·安徽巢湖·期末)如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 33．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 34．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为 ； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而求出点的坐标，根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （2）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：（1）∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； 将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 或或． 考点05 解答压轴一次实际应用 35．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本 (2)该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用 （1）设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，根据“该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本”，列出方程求解即可； （2）设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本，根据题意构建一次函数，再列出关于x的不等式得x的取值范围，再根据一次函数的的性质求最值即可； （3）设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，得出关于的一次函数，再利用一次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，由题意得： ， 解得：，， 答：甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本； （2）解：设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本， 则， 由题意得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最少， 即该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱； （3）解：学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．理由如下： 设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，利润最大， 即学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案． 36．(24-25八上·安徽阜阳临泉县·期末)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 37．(24-25八上·安徽亳州·期末)春节临近，为了满足顾客的消费需求，某大型商场计划用元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表： 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价（元/台） 售价（元/台） 若在现有资金允许的范围内，计划购买三类家电共台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱台． (1)用含的代数式表示洗衣机的台数； (2)商场最多可以购买冰箱多少台？ (3)购买冰箱多少台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)台 (3)购买冰箱台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握列代数式，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设该商场购买冰箱台，则购买彩电台，购买洗衣机台； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）设商场销售完这批家电后获得的利润为元，依题意得，，然后根据一次函数的性质求解作答即可． 【详解】（1）解：设该商场购买冰箱台，则购买彩电台，购买洗衣机台， ∴购买洗衣机台； （2）解：依题意得，， 解得，， ∴商场最多可以购买冰箱台； （3）解：设商场销售完这批家电后获得的利润为元， 依题意得，， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， ∴购买冰箱台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为元． 38．(24-25八上·安徽六安金寨县·期末)天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共台．进价和售价见下表． 空调 电热水器 进价（元/台） 售价（元/台） 设商场计划购进空调台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入资金万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)方案1：购空调台，购电热水器台； 方案2：购空调台，购电热水器台； (3)选方案2；（元） 【分析】本题主要考查了一次函数和不等式组的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，列不等式组解应用题，最重要的是审题，审题是列不等式组的基础，而列不等式组是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，发现明显的或隐含的关系，或者利用一些比较明显的数学结论，准确找出已知量与未知量之间的关系，正确地列出不等式组． （1）（空调售价空调进价）x（电热水器售价彩电热水器进价）即可求解； （2）根据用于一次性购进空调、彩电共台，总资金为万元，全部销售后利润超过4万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可； （3）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：设商场计划购进空调台，则计划购进电热水器台， 由题意，得 ； （2）由题意，有, 解得. 为整数， ， 即商场有两种方案可供选择： 方案1：购空调台，购电热水器台； 方案2：购空调台，购电热水器台； （3）， y随x的增大而增大，即当时，y有最大值为： （元）， 故选方案2：购空调台，购电热水器台；商场获利最大，最大利润是元 39．(24-25八上·安徽合肥瑶海区·期末)2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格； (2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发； (3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？ 【答案】(1)40元，30元 (2) (3)，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的方程组，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件 元，每盒印章 元，根据每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章，再建立方程组解题即可； （2）根据给每位学生分发1个挂件和1个印章再列式计算即可； （3）根据累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元． 根据题意得： ， 解得 ． 答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元． （2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章， ∴购买挂件盒，则购买印章盒恰好能够配套分发； （3）解：当，即 解得：， ∴． 当，即时， ． 当有660名学生参加活动，则需购买挂件（盒）． 当时， ∴（元）． 40．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ (3)当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【答案】(1)500，3000 (2)两种方案的月利润相差1200元 (3)x的值为250或750 【分析】本题主要考查一次函数的应用、列函数关系式、求函数值等知识点，掌握二元一次方程组和绝对值方程的解法是解题的关键． （1）分别写出方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，将坐标分别代入这两个函数，建立关于a和b的二元一次方程组求解即可； （2）将分别代入方案1、方案2的函数关系式，求出和的值并求差即可． （3）将方案1、方案2的函数关系式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 将坐标分别代入和， 得，解得：， ∴． 故答案为：500，3000． （2）解：当时，， （元）． 答：两种方案的月利润相差1200元． （3）解：根据题意得，即， 解得或750． 答：x的值为250或750． 41．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温与时间（分）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … y 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … 该小组根据实验数据绘制出了相应的函数图象，并发现无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温都是时间（分）的一次函数． 根据图象和表格中的数据，回答下列问题： (1)______，______； (2)在保温模式下，求当时水温与时间之间的函数关系式，并写出的值； (3)当时，______ 【答案】(1)20，8 (2)， (3)85 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设煮沸模式时，y与x的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，再求出时，y的值，时，x的值即可得到答案； （2）设当时，水温与时间之间的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出时，x的值即可得到答案； （3）由（1）（2）所求可知，每分钟为一个循环，温度先从下降到，再从上升到，其中温度下降的过程为分钟，温度上升的过程为分钟，据此可求出第70分钟的温度应与第分钟的温度相同，再根据（2）所求即可求出答案． 【详解】（1）解：设煮沸模式时，y与x的函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴煮沸模式时，y与x的函数关系式为， 在中，当时，，当时，， ∴， 故答案为：20；8． （2）解：设当时，水温与时间之间的函数关系式为， 把代入中得：， ∴， ∴当时，水温与时间之间的函数关系式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：由（1）（2）所求可知，每分钟为一个循环，温度先从下降到，再从上升到，其中温度下降的过程为分钟，温度上升的过程为分钟， ∵， ∴第70分钟的温度应与第分钟的温度相同， 在中，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 42．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)刘师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池满电量为60千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算刘师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.5元 方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的关系式，当电池剩余电量为时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)刘师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，两种方案费用一样． 【答案】(1)电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元 (2)，当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米 (3)累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样 【分析】（1）根据“充电费用=一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”计算即可； （2）利用待定系数法求出y与x的关系式，将代入函数关系式求出充满电行驶的最大里程，从而确定x的取值范围；将代入函数关系式，求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程=充满电行驶的最大里程﹣电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可； （3）当时，求出新能源车每千米消耗的电量；设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样，根据“费用=安装费用+一般损耗率×充电电量×每千瓦时所需费用”分别计算方案一和方案二的费用，由两种方案费用相等列方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数的关系式是解题的关键 【详解】（1）解：（元）， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要108元． （2）解：当时，设y与x的关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和代入 得， 解得 ∴， 当时，得，解得， ∴； 当时，得，解得， ∴（千米）， ∴y与x的关系式为，当电池剩余电量为时，理论上还能继续行驶30千米． （3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）． 设累计行驶里程为m千米时，两种方案费用一样． 根据题意，得 解得， ∴累计行驶里程为22500千米时，两种方案费用一样． 43．(24-25八上·安徽合肥第四十六中学·期末)随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量激增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分，和，利用一次函数的增减性质求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球， 根据题意，， ∵篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元， ∴， 解得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：该商场采购x个篮球，利润为元， 根据题意，得， ∵， ∴随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大，最大值为2300， 答：商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：该商场采购x个篮球，利润为W元， 根据题意，得， 当，即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当，即时，,不符合题意； 当，即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为． 44．(24-25八上·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．肥西县某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进3个灯笼和4副春联花费135元，第二次购进9个灯笼和10幅春联花费375元． (1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ (2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过6000元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不大于灯笼的数量的2倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元 (2)购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次列不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键． （1）设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第三次购进灯笼a个，则第三次购进春联幅，根据题意列不等式组，求出a的取值范围，再设第三次销售获得的利润为w，根据题意得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：解：设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元，由题意得： ， 解得：， 答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； （2）解：设第三次购进灯笼a个，则第三次购进春联幅，由题意得：，解得：， 设第三次销售获得的利润为w， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：第三次购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元． 45．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【答案】(1)； (2)第分钟后会开始拥堵 (3)举措有效，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为人，当时，则，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； （2）解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 考点06 解答压轴几何模型综合题 46．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线得到，再由即可证明全等； （2）①同理可证明：，那么，由可得；②先证明，则，故，那么，而，因此得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，理由如下： 证明：∵垂直平分，   ∴， 同理可证明：， ∴ ， ∵ ， ∴； ②∵垂直平分 ， ∴， ， 又， ∴ ， ∴  ， ∴， ∴ ， 又∵ ∴． 47．(24-25八上·安徽亳州·期末)如图1，已知等腰，，，于点，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)当点与点重合时，即，如图2，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明△BDF是等边三角形，△CDF是等腰三角形，然后再求角即可； （2）连接EC，可得∠EFC=∠ECF，则有∠AFE+∠EBC=30°，又由∠ABE+∠EBC=30°，即可证明∠AFE=∠ABE； （3）在边AB上取一点P，使得AP=AF，先证明△BEF为等边三角形．再证明△BPF≌△EAF（AAS），即可求证． 【详解】（1）解：如图1，∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ACB=∠ABC=30°， ∵AD⊥BC于点D， ∴BD=CD， ∵DB=DF， ∴CD=DF， ∴∠DFC=30°， ∴∠BDF=60° ∵BD=DF， ∴△BDF是等边三角形， ∴∠BFC=90°； （2）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠ACB=30°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， 连接EC，则EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵EB=EC， ∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∴∠AFE+∠EBC=30°， ∵∠ABE+∠EBC=30°， ∴∠AFE=∠ABE； （3）证明：由（2）知：∠BAE=60°， ∴∠BAD=∠CAD=60°， ∴∠FAE=120°， ∴∠BAF=60°， ∴∠BEF=60°， ∵EB=EF， ∴△BEF为等边三角形， 在边AB上取一点P，使得AP=AF， ∴△APF为等边三角形， ∴∠BFP=∠AFE，∠BPF=∠EAF=120°，PF=AF， ∴△BPF≌△EAF（AAS）， ∴BP=AE， ∴AB=BP+PA=AE+AF． 48．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①②；的度数会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 49．(24-25八上·安徽滁州全椒县·期末)直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 【答案】数学思考：（1）见解析；（2）当时，①中的结论仍然成立，见解析；问题拓展：4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：（1）证明，则，，； （2）当时，，证明，则，，； 问题拓展：证明，则得到，结合题意可得，从而得出结果． 【详解】数学思考：（1）证明：，， ， ， ，，， ， ，， ， ； （2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当时，则， ， ，，， ， ，， ， ； 问题拓展： 解：， ， ，，， ， ，的面积是12， ． 50．(25-25八上·安徽合肥一六八玫瑰园学校·期末)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)为等边三角形；理由见解析 (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点，， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 51．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不成立，正确的结论是． 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 53．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 54．(24-25八上·安徽滁州凤阳县·期末)数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）．理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成解答过程） 【答案】（1）=；（2）=，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，再求出，就可以证明DB=BE，从而证得AE=DB； （2）根据等边三角形的性质证明△DEB≌△ECF(AAS)，由全等三角形的性质得到DB=EF=AE． 【详解】解：（1）∵点E是AB的中点，且是等边三角形， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案是：=； （2）=，理由如下： 如图，过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF， ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°， ∴∠DBE=∠EFC=120°， ∵EF∥BC， ∴∠FEC=∠ECD， ∵DE=EC， ∴∠D=∠ECD， ∴∠D=∠FEC， 在△DEB和△ECF中， ∴△DEB≌△ECF(AAS)， ∴BD=EF=AE， 即AE=BD． 55．(24-25八·安徽巢湖·期末)已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3) 【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以； （2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得； （3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：不成立． 过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．(24-25八上·安徽合肥庐阳区·期末)如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析  见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，从而； 延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，从而，从而； （2）当时，最小，延长，交于，可证得，从而，可证得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图， 延长，交的延长线于点， 由得，，， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图， 当时，最小， ， 延长，交于， 由（1）知，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 57．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期末)在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 58．(24-25八上·安徽黄山歙县·期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： (1)如图（1），在中，如果，那么将折叠，使边落在上，点C落在上的点，折线交于点D，则可以得出． 请根据这个思路，结合图（1），写出证明过程． (2)在探究中同学们画图发现：当时，分别是的中线、角平分线和高线，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，请结合图（2）进行证明：如果不成立，请举出反例． 【答案】(1)见解析 (2)一定成立，证明见解析 【分析】（1）由折叠可知，是的角平分线，则，证明，则，由，可得，即． （2）由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明即可；①证：延长至点E，使，连接．证明，则，，，即，由，可得．②证：由题意知，，由，可得，即，进而结论得证． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠可知，是的角平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：一定成立，证明如下； 由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明． ∵分别是的中线、角平分线和高线， ∴，， ①证：如图，延长至点E，使，连接． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． ②证： 由题意知，， ∵， ∴， ∴． 综上可得，． ∴点D的位置处于点M和点H之间． 59．(24-25八上·安徽淮南寿县等2地·期末)在中，，，是的角平分线，于E．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点M为上一点，连接，作等边，连接，求证：； (3)如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于Q，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质可得，再由是的角平分线可得，从而得到，再利用等腰三角形三线合一得到，即可得出结论； （2）利用全等三角形的判定证明，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，易得为等边三角形，再利用全等三角形的判定证明，得到，由（1）得，，再利用线段和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由（1）得，，， 等边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）证明：如图，延长至F，使，连接，     ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ， ． 60．(24-25八上·安徽淮南·期末)已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 61．(24-25八上·安徽亳州涡阳县·期末)【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 62．(24-25八上·安徽合肥部分学校联考·期末)构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）选方法一来证明，利用证明，选择方法二来证明，利用来证明，再利用三角形的三边关系求解； （2）延长到点使，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）延长至点，使，连接，先证明，再根据等腰三角形的判定与性质证明． 【详解】（1）解：选方法一来证明： 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； 选择方法二来证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，延长到点使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 63．(24-25八上·安徽淮南·期末)在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)求出两点的坐标； (2)如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用因式分解的知识将变形为，再利用完全平方的非负性求出的值，即可解答； （2）过点作轴交的延长线于点，利用判定推出，得到，进而利用判定推出，再利用全等三角形对应边相等的性质和线段和差关系即可得证； （3）在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为，利用角平分线的性质得到，利用垂直平分线的性质得到，推出，得到，再利用角的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图1，过点作轴交的延长线于点，则． 由（1）得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为． 点关于轴的对称点为点， ， ． 又， ． ， ． 又， ． 点在的垂直平分线上， ． 在Rt和Rt中， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， 即． 64．(24-25八上·安徽安庆·期末)如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（2）中结论成立，理由见解析 【分析】（1）用证明，可得，，利用线段的和差关系即可完成； （2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立； （3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ，， ，， ． 在与中， ， ，， ， 即． （2）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ，． 而由（1）， ， 又， ．    （3）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ， 由（1）， ，， ∴， 又， ．    65．(24-25八上·安徽蚌埠经开区·期末)点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质求出之间的数量关系即可求解； （）在的延长线上截取，连接，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （）在上截取，连接，可证，可得，，然后证得，可证，得到，进而根据得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（ ）中的结论仍然成立． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可证， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点07 解答压轴一次函数综合题 66．(24-25八上·安徽安庆太湖县·期末)定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 （2）解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 （3）直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 67．(24-25八上·安徽安庆宜秀区安庆九一六学校·期末)如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键． （1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴, ∵ ∴， ． 把代入，得， 解得, 该一次函数的表达式为． （2）解：由（1）知：，， ， ， 解得， 点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，解得， 直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D． 由（2）知，． ， 即 ． 在和中， ， ． 设点N的坐标为，则点M的坐标为． 将点M的坐标代入，得，解得， 点N的坐标为． 把点N的坐标代入得：， ∴． 68．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：对于直线， 令，则， 解得：， ， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 69．(24-25八上·安徽合肥部分学校联考·期末)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线（为常数）的图像经过点，点是直线上一动点，且的横坐标为，以为腰、为底构造等腰，点在轴上． (1)求的值； (2)当点纵坐标为，求点的坐标； (3)若的面积是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）把代入解析式即可求解； （）由（）得一次函数解析式为，进而求出点坐标，再根据等腰三角形的性质求出即可求解； （）根据的面积是的面积的倍，列出关于的方程，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的 性质，一次函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数解析式为， ∵点是直线上一动点，点纵坐标为，横坐标为, ∴， ∴， ∴， ∵是为腰、为底的等腰三角形， ∴， ∴； （3）解：∵的横坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的倍， ∴， ∴或， ∴或． 70．(24-25八上·安徽安庆·期末)如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 71．(24-25八上·安徽宿州萧县十三校联考·期末)直线经过，两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)点为线段上一点，点为直线上一点，． ①如图1，若，求点坐标； ②如图2，若，求点坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将，两点代入直线解析式求解即可； （2）①先求出直线的解析式，再设出、两点的坐标，根据列方程求解即可； ②设出、两点的坐标，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线经过，两点， ，解得：； （2）解：①由（1）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点为线段上一点， 设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为； ②设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为． 72．(24-25八上·安徽六安裕安区·期末)（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用角的数量关系可求得，，因此可证出，再通过全等三角形对应边相等转化即可； （2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可； ②设点，同理可得：，利用全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ，，， ∴； ∴，， ∴； （2）解：①过点B作交于C，过C作轴于D， ∵， ∴为等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∵， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中， 得 解得，，， 则的解析式：； ②：如图，设点，过作于，交轴于， 则， 当时， 同理可得：， ∴，即， 解得：或， 故：或． 73．(24-25八上·安徽阜阳·期末)材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 74．(24-25八上·安徽合肥肥西县·期末)如图，直线OA与直线BC相交于点A，且点B的坐标为（5，﹣1），点C的坐标为（3，1），直线OA的解析式为y＝3x （1）求直线BC的解析式； （2）求点A的坐标； （3）求△OAC的面积． 【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）点A的坐标为（1，3）；（3）4. 【分析】（1）根据点B和点C的坐标可以求得直线BC的解析式； （2）根据直线OA与直线BC相交于点A，可以求得点A的坐标； （3）根据直线BC的函数解析式可以求得该直线与x轴的交点坐标，由图形可知△OAC的面积等于△OAD与△OCD的面积之差，本题得以解决． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵点B的坐标为（5，﹣1），点C的坐标为（3，1），且在直线BC上， ∴ ， 解得， 即直线BC的解析式为y＝﹣x+4； （2）∵直线OA与直线BC相交于点A， ∴， 解得， ∴点A的坐标为（1，3）； （3）如图：设直线BC与x轴的交点为点D， 将y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4， ∴点D的坐标作为（4，0）， ∴S△OAC= S△OAD- S△OCD=， 即△OAC的面积是4． 75．(24-25八上·安徽阜阳颍州区·期末)已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 76．(24-25八上·安徽宿州灵璧县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而得到解析式； （2）根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （3）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； （2）解：将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或 或； （3）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 综上所述：点的坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $