甘肃省酒泉市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2025一2026学年高三年级上学期期末考试 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】由集合A={x|-3<x≤2}，B={x|-2≤x<3},得A∩B={x|-2≤x≤2.故选B. 2C【解析曲2-2+i得x=1是-1-i,所以z+21=1-i计21=1+i 2 所以|之+2i=|1+i=√1十1=√2，故选C 3.D【解析】根据题意，将样本数据按从小到大的顺序排列为13,16,19,20,21,23,24,28.因为8×40%=3.2，所 以该组数据的第40百分位数为20.故选D, 4C【解析】因为正实数a,6满足a+6=4,所以日+6-（日+）a+o)=专(+台+会+列≥ +2尽·号)-1，当且仅当。-云即a6=2时，等号成立，所以+若的是小值为1故益C 1 5.C【解析】设等差数列{am}的公差为d,,a1=3,∴.an=3十(n-1)d, .a2+ag=a1+d+a1+7d=6+8d=-10,解得d=-2,∴.an=3-2(n-1)=5-2n. bm=am+am+1,n∈N+,.bn=5-2n+5-2(n+1)=8-4n, 数列{b.}是首项61=8-4=4，公差是-4的等差数列，S,=n6十b） 2 6=8-4X10=-32,S。=10c6,+6n）=5X4-32)=5X(-28)=-140,故选C 2 6.C【解析】将直三棱柱ABC一A1B1C1补形成直四棱柱ABDC一A1B1D1C1,使底面ABDC为平行四边形， 如图. B E D 设底面面积为S,AC边上的高为ho,AA1=h,则直四棱柱的体积V=Sh,S=AC×ho, 四边形AEFC的面积S'=言(AE+PC)XAC-(台+的)XAC- 22十41 -8 XAC, 所以四棱锥B一AEFC的体积VB-AEc=SX 5V, 1x5xACXho-24-2 5h 8 所以直三棱柱ABC-A:B,C,中，剩余部分的体积V= 7 2-VB-AEPC-24V, V 1 所以较大部分的体积与较小部分的体积之比为5，一 5故选C 24 24 7.D【解析】因为双曲线E的离心率为3，所以c=√3a. 因为|AB|=AF1|,所以|BF2|=|AB|-AF2|=|AF1I-|AF2I=2a, 由双曲线的定义得，|BF1|-|BFz|=|BF1|-2a=2a,所以|BF1|=4a=2|BF2. 在△BF,F,中，由余弦定理得，cos∠BF,F,=BF,+IFF,2-BP,_4a+12a-16a 2BF,FF, =0, 2X2aX213a 数学答案第1页（共7页） 所以∠BF,E,=90,即AB1F,F,此时1AF,=BF,即AF=号AB=AF, 在R△AR,R中，∠F,AP,=60,所以os∠BAP,=号故选D. 8C【解折]由f)-1g(侣)厂十a,得十0，解得x<-1或x>1, 即函数f(x)的定义域为(-∞，一1)U(1,十∞). 若函数f(x)在区间[3,4]上存在零点，则方程1og x-1 -a在区间[3,4]上有解. 设g)=o8:要A(a)=(合)】 x-1 -a,“gx)=loe要l1oe1-异) 而y=1-2 十在[3,4]上单调递增，y=logx为其定义域上的增函数， ∴g()-1o8在[3，止单调遥指又A() 2) -a在[3,4幻上单调递减， 1 1g(3)≤h(3), -1≤8-0， .要使函数f(x)在区间[3,4幻上存在零点，则须 即 g(4)≥h(4), 3、1 10g25≥16-a, 解得后+oe:号<a≤8则函数x)准3，上不存在零点时a∈(-0后+1g号)》u(层十e】 9.BCD【解析】对于A,命题]x∈R,x2+x+1≤0的否定是Hx∈R,x2+x+1>0,故A正确； 对于B,若a·b>0,则a,b的夹角为锐角或a,b是同向共线非零向量，故B错误； 对于C,若方程x2十(m一3)x十m=0有两个不等的正实数根， (m-3)2-4m>0, 则{-m十3>0， 解得0<m<1,故C错误； m>0, 对于D,由正弦定理，sinB三6sinC40十8） C 2=5>1,所以△ABC无解，故D错误.故选BCD. 20 10.BCD【解折I对于A,因为抛物线C的准线为x=一号=-2，所以p=4,放A结误。 对于B,F(2,0),设M(xy),则|MA|=√(x+2)2+y2,1MF|=√(x-2)2+y, 因为MA|=√2|MF|,所以√(x十2)十y=√2·√(x-2)2+y,化简得(x-6)2+y2=32. 所以点M在以(6,0)为圆心，4厄为半径的圆上，即点M在以(，0为圆心2力为半径的圆上，故B正确。 y2=8x, 对于C,由 得(x-6)2+8x=32,即x2-4x+4=0,解得x=2, (x-6)2+y2=32, 所以M(2,士4)，所以|MF|=4,故C正确. 对于D,根据C可知M点有两个，M(2,4)或M(2,一4)，故D正确.故选BCD. 11.BCD【解析】对于A,函数f(x)的定义域为(0，十o),且f'(r)=1-1nx, 由f'(x)=0,解得x=e.当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)在(0，e)上单调递增； 数学答案第2页（共7页） 当x>e时，f'(x)<0,f(x)在(e,十∞)上单调递减，故A错误. 对于B2-1f0-4-12f②=f0.又f)在+m)上年测遥减 f(4)<f(3.2),∴.f(2)<f(3.2),故B正确 对于C,:不等式a在0，十o)上恒成立，即a>产在(0，+∞)上恒成 x 设g)2则g)1-n令g')=0,则z= 当0<x<e时，g'(x)>0;当x>e时，g'(x)<0, 当x=E时g)取到极大值也是最大值，gQe)=发一。a>故C正确， 对于D,方程f)=b征，即6=∴当≤：≤e时，方程x)=6征6∈R)根的个数等价于函数g) 在区间[吕e]小上的图象与直线y=6交点的个数 由C的分析知，gG)-2产在区问[6)上单调通增，在区间(c,e]上单调递减。 且当x=6时，8红)取到极大值也是最大值，g6)=0又（日）=-心，ge)-忌当函数8)-产在 区间[e]上的图象与直线y=6交点的个数为1，即方程了)-bx6∈R)只有-个根时，-≤6<号或 b=元故D正确放选CD, 25t限标0e3后】 的展开式的通项公式T+1=C4(9x)r 令4子=1，解得7=2，所以二项展开式中含：项的系数为C×3=54。 13.(一∞，2√10)【解析】因为函数y=2在R上单调递增， 丙数y=2-(侣)在R上单调说减所以y=2一2在R上单润递带。 当x>1时>2-2-，令=-2(>)则4+4=20-2)+2=+2， 所以当x>1时，f(x)=-a(2-2)+(4+4)+8可转化为y=-a++10>) 因为fx)>0在区间1，十四)上恒成立，所以-a:+:+10>0在区间(，+上恒成立， 所以a<生0-4+9在区间（径，+小上恒成立. t 义因为：+10≥2V0,当且仅当：-0，即：=D时，：+”取得最小值2v0, 所以a<2√10，所以实数a的取值范围是(-∞，2√10). 14.-13【解析】.12Sm=a员+6am,∴.当n=1时，12a1=a十6a1,解得a1=6; 当n≥2时，12Sm-1=a层-1十6am-1, 两式作差得，l2Sm-l2Su-1=a员十6am一a员-1一6am-1,即a员-a员-1-6am-6am-1=0, 数学答案第3页（共7页） .(an十am-1)(an-am-1-6)=0.又am>0,∴.am-am-1=6(n≥2).又a1=6, .am=6+(n-1)6=6n..a1+b1-3=6-2-3=1,.am十bn-3=6n+bn-3=1·2-1=2m-1, .bn=2m-1-6n+3,∴.bn+1-bn=2m-1-6. 当n=1,2,3时，bm+1-bn<0,当n≥4时，bm+1-bn>0,.b1>b2>b3>b4<b5<b6<…, ∴.数列{bn}先单调递减后单调递增，且bn的最小值为b4=一13. 15:解：1D由题意，fx)=-5cos2z+(-2c0sx)X(-sinx)=sin2x-5c0s2x=2sin2zx- 小正周期T二7二元，即f(z)的最小正周期为元，……… 令2张x-登≤2x-百≤20x十受A∈Z解得及x-是≤x<x+设k∈Z 所以fz)的单调递增区间为k元二k元十快∈Z乙.…6 ②由fM)=2m(2A)-5,得m2A-）- 又因为0<A<登所以-智<2A-背<， 所以2A-S=号，即A=子 ……8分 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 即bc≤a2=16,当且仅当b=c=4时，等号成立.… …10分 所以5a-女如子-是<x16-4, 所以△ABC面积的最大值为4√3.… …13分 16解：1当a=1时，fe)=e-日+3x,则f0)=e2=1, f'(x)=e-x2+3,则f'(0)=e°+3=4， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=4x十1.… …5分 (2由题意，f'(x)=ae-x2+3,则hr)=ae二父+lnx=a --x+In x(x>0), x 则h'(x)=ae(x-1D-1+1=x-1)(ae-x) …7分 x h(x)有三个不同的极值点x1,x2,x3,等价于h'(x)=0有三个不同的正根. 令x-1)(ac-）=0,得（红-1D(ae-x)=0,解得x=1或a= x2 e2 ，…9分 令gx)=u>0,则g'(x)=1 令g'(x)=1二工=0，解得x=1, ex 当0<x<1时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，g'(x)<0,函数g(x)在(1，十∞)上单调递减， 则函数g(z)的最大值为g(1)=.。 e ………12分 数学答案第4页（共7页） 当x→0或x→十∞时，g(x)→0， 所以当0<a<1时，a=二有两个不同的正根， 1 e 所以实数a的取值范围为0，。】 …15分 17.(1)证明：如图，连接BD,与CE的交点为O.因为AB∥CD,∠DAB=90°， 所以∠ABD=∠CD0,∠CDE=90. …1分 CD -3AB2AB25.CD:DR-1 由AD=23 TCD=3,tan∠ADB=ABB 所以tan∠DCE=DE=V3 AD-3’ 所以∠DCE=∠ADB.… ……2分 因为∠ADB+∠CDO=90°，所以∠DCE十∠CDO=90°， 所以∠COD=90°，所以CE⊥DB.… …3分 因为PD⊥底面ABCD,CEC平面ABCD,所以CE⊥PD. 因为PD∩DB=D,PD,DBC平面PDB,所以CE⊥平面PDB. 又因为PBC平面PDB,所以CE⊥PB.……5分 D B (2)解：因为DA,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. A x B 则E(1,0,0),C(0,W5,0),P(0,0,3),所以EC=(-1,3,0),PC=(0,√3，-3).…6分 设平面PEC的法向量为m=(x,y,之)， Ed·m=0,。 (-x+3y=0 则 即 P元·m=0,W3y-3z= 0令x-5,则y=1-所以m=5, 平面BEC的一个法向量为n=(0,0,1). …8分 设平面PEC与平面BEC的夹角为O, ③ m·n 则cos0=|cos(m,n)l= √13 mn 13, 4大3 所以平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值为 13 .…10分 数学答案第5页（共7页） 辉：武=（-1g.0元-0，-8.c0i,0,2小 则BC= …11分 设平面PBC的法向量为u=(a,b,c), PC·u=0, W3b-3c=0, 即 令a=1,则b=2√3，c=2, BC.u=0, 所以=(1,2√3,2).……13分 设直线CE与平面PBC的夹角为a, 则sina=os(E庇ul=1Ed.ul=55v7 ECu2√/17 34 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为5y7 34 …15分 18.解：(1)设事件A1=“第一关小王闯关成功”，事件A2=“第二关小王闯关成功”， 事件B1一“第一关小李闯关成功”，事件B2=“第二关小李闯关成功”，事件C“小李恰好有一关闯关成功”， 由题意知A1,A,B,B相互独立，且P(A)言，PA,),P(B,）,P(B,).2分 C=B1B2十B1B2,且B1B2,B1B2互斥， 当y=号时，P(C)=PBB+EB,)=P(B,B+P(Ba,)=P(B,)P(B+PB)P(B,)=×3 …4分 “若小李第二关阅关成功的概率y=号，则小李恰好有一关阀关成功的概率为 (2)记事件D=“小王，小李两人各闯过一关”，事件E=“小王，小李两人两关都闯关成功”，则 PD)=PA,石+不A,)P(B,瓦+五B)-[后1-2)+号][1-)+]小- 4 .33 P(E)=P(AA2B B2)= 4y=25 9 219 「2 4 5y=50 x- x= 9’ 解得 或 ·y≥12 …8分 1 1 9 x2 y=2 xy=5 y=2’ y-20 记事件F=“小王两关都闯关成功”，事件G=“小李两关都闯关成功”， 事件H=“小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功”，则 ×2=8 PI)=P(G)+PFG)+PPG)=号×g+号×+是×g-器 、即小王，小李两人至少有一人两关都闾关成功的概率为 …12分 (3)记事件M=“水上闯关”，事件N=“陆地徒步闯关”，事件W=“自行车闯关”，事件S=“闯关游戏结束时， 数学答案第6页（共7页） 小王闯关成功”. 由题意，P(M)=0.2,P(N)=0.4,P(W)=0.4, P(S|M)=0.4,P(SlN)=0.4,P(S|W)=0.2.… 14分 由全概率公式得P(S)=P(M)P(SIM)+P(N)P(SIN)+P(W)P(S|W) =0.2×0.4+0.4×0.4+0.4×0.2=0.32, 即闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率为0.32.…17分 3 101:因为椭周c过点(3，号】 所以3) 2 62 又因为c=日-方42-6+c,解得6=5a=2. 1 所以精圆C的方程为号+号=1， 5分 (2)①解：由MF1⊥NF1,F1(-1,0)得，kM·点N=.-=-1,所以m=-1. 11 △MF1N的外接圆是以MN为直径的圆， 则其方程为2十（一0士-(02，化简得x2十g一m0一n)=0.…7分 x6+(yo-m)(y0-n)=0, 设P(xo,yo)(x0>0,y0>0),则 x6y6」 (4+31, 消去得41-）十8-m+十m=0, 化简得(y0十3m)(y0十3n)=0,又因为y0>0,所以yo=-3n.…9分 所以器--资- =3.…10分 ②证明：由题意，A(-2,0),设直线ST的方程为x=py十q(g≠一2)，S(x1,y1),T(x2y2), (x=py+q, 联立 x2,y2,消去x整理得(3p2+4)y2+6p9y十3q2-12=0, 4+3=1, 则y1+y23办2十4y1y2=3912 -6pq 3p2+4 …12分 y1 m 因为8十22如并22所以ks·如力 n 4 41 …14分 所以y, 以x+2‘x千2一4，即py+2+g0y十2+g-,化简得g+2)g-1)=0, y21 yiy2 因为q≠-2，所以q=1.…16分 所以直线ST的方程为x=y十1，即直线ST恒过定点(1,0).…17分 y 数学答案第7页（共7页）2025一2026学年高三年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-3<x≤2}，B={x|-2≤x<3},则A∩B= A.{x|-2<x<2}B.{x|-2≤x≤2} C.{x|-2<x≤3} D.{x|-3<x<3} 2.已知复数之满足+2=2十i(其中i为虚数单位)，则z十2i= A.3 B.√5 C./2 D.2√3 3.样本数据19,20,21,23,13,16,24,28的第40百分位数为 A.16 B.23 C.17.5 D.20 4.已知正实数a,6满足a+6=4,则+的最小值为 a A号 1 B.2 C.1 D.2 5.已知等差数列{am},a1=3,a2十a8=一10.数列{bn}满足bn=am十am+1,n∈N+,设{bn}的 前n项和为Sm,则S1o= A.-32 B.-80 C.-140 D.-224 6.在直三棱柱ABC一A1B1C1中，E为AA1的中点，F为CC1靠近C1的四等分点，点B, E,F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的 体积之比为 A号 7 B.6 2 D.7 第1页（共4页） x2 y2 7.已知双曲线E:。一存=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过点F,的直线与双曲线E 的右支交于A,B两点若|AB|=|AF,且双曲线E的离心率为√3，则cos∠BAF1= B.、3A 1 8 C.-2 D.2 8.已知函数f(x)=log: x-1(1） 2 十a在区间[3,4]上不存在零点，则实数a的取值范 围为 A .1 气8,4+1o: 7 c(-,+lau(g+∞】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的有 A.命题3x∈R,x2+x+1≤0的否定是Hx∈R,x2+x+1>0 B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角 C.若方程x2+(m一3)x十m=0有两个不等的正实数根，则m>1 D.在△ABC中，若角C=60°，b=40,c=20,则△ABC有两解 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 |MA|=√2|MF|,则下列结论正确的是 A.p=2 B点M在以(，0为圆心2力为半径的圆上 C,若点M在抛物线C上，则|MF|=4 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M 1.已知函数f(x)-1血”，则下列结论正确的是 A函数fx)在0，)上单调递增，在日，+o∞ 上单调递减 B.f(3.2)>f(2) C者不等式a>/2在0，十o∞)上恒成立，则实数a的取值范围是无十） x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.9x+1 的展开式中含x项的系数为 3元 13.已知函数f(x)=一a(2-2-x)+(42+4-x)+8,若f(x)>0在区间(1，+∞)上恒成 立，则实数a的取值范围是 14.已知正项数列{an}的前n项和为Sm,12Sn=a员十6am.数列{bm}的首项b1=一2，数列 {am十bn一3}为等比数列，且公比q=2,则数列{bn}中bn的最小值为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3分)已知f(z)=-3cos2x+2sin2+xsin(元+x),x (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=√3，a=4,求△ABC 面积的最大值 16.(15分)已知函数f(x)=ae-子+3xa∈R,其导函数为f). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若函数(r)=f'(）-3+1nx有三个不同的极值点正1，x,x,求实数a的取值 范围. 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠DAB=90°，E 是AD的中点，AD=3CD=3AB=2,PD=3 (1)证明：CE⊥PB; (2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； (3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. E'- 第3页（共4页） 18.(17分)小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均 参与第二关者小工，小李第一关阅关成功的概率分别为，，第二关阅关成功的凝率 分别为工y(y≥，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响， 25 (1)若小李第二关同关成功的薇率y一号，求小李恰好有一关间关成功的概率。 (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为石，小王，小李两关都闯关成功的概率为 ，求小王，小李两人至少有一人两关都闾关成功的概率， 3 (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒 步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功； 其中有一关没有闯过，则闯关失败.参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式.三种闯关游 戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关结果 闯关成功 8 16 8 闯关失败 12 24 32 小王选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率。 (注：用频率近似为概率) 19.(17分已知猫周C三+茶=1e6>0过友5， 1y2 离心率e=会 (1)求椭圆C的方程. (2)若F1为椭圆C的左焦点，在y轴上有两动点M(0,m),N(0,n),m>0,n<0,且 MF1⊥NF. ①若△MF,N的外接圆与椭圆C在第一象限的交点为P,连接PN交x轴于点Q,求 PQ IQN7的值； ②椭圆的左顶点为A,直线AM,AN分别与椭圆C交于点S,T,求证：直线ST恒过 定点. 第4页（共4页）