四川省巴中市南江中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

南江中学高2027届高二（上）1月月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据：的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 4. 某城市一年空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 6. 已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 三棱锥中，点为平面内的一点，且，则 C. 已知，则在上投影向量坐标为 D. 若是空间一组基底，则也是空间的一组基底 10. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 11. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知直线，，且，则_____. 13. 抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是__________. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组． （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随即抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人，求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率． 16. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 17. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得. （1）证明：； （2）求PC与平面PAD所成角的正弦值； （3）求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 南江中学高2027届高二（上）1月月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），人 （2）. 【16题答案】 【答案】（1）顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $