精品解析：天津市静海区第四中学2025-2026学年高二上学期第三次诊断练习数学试卷

天津市静海区第四中学2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科第三次诊断练习卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、选择题（共10题；每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】依题意，解得. 故选：B 2. 已知向量且与互相平行，则实数的值是（ ） A. － B. C. D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】 由空间向量平行的坐标表示求解． 【详解】由题意，， ∵与互相平行，∴，解得． 故选：D． 3. 过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点连线的斜率，进而得到直线的斜率，再由点斜式得解． 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，弦长度最短， 又圆心与点连线的斜率为， 则直线的斜率为， 由点斜式可得，直线的方程为，即． 故选：C． 4. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】由双曲线的方程、渐近线的方程可得，∴a=2．由双曲线的定义可得||PF2|-3|=2 a=4，∴|PF2|=7，故选 C． 5. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 6. 椭圆内有一点，以为圆心的圆与椭圆交于两点，若弦恰为圆的直径，则直线的斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知是弦的中点，进而根据点差法求解即可. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为， 设，由题知是弦的中点， 所以，， 将坐标代入椭圆方程得， 两式作差得，即， 所以，即直线的斜率为. 故选：A 7. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论． 【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示， ∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角． 在△OEH中，，HE＝，OH＝． 由余弦定理，可得cos∠OEH＝． 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题． 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 ，选B. 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程. 9. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件设椭圆方程，并确定各点坐标，根据，得到，列方程化简可得，求离心率可得结论. 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 10. 设是抛物线上的一个动点，点到直线：的距离为，点到直线：的距离为，则的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】因为点在抛物线上，所以（为抛物线的焦点），所以，求得最小值，即可求得，即可求得答案. 【详解】因为点在抛物线上，由点到直线的距离为， 所以（为抛物线的焦点）， 点到直线距离为，所以， 画出图象： 故点作垂直于直线， 根据图象可知：， 根据点到直线距离公式可得：， 所以， 故选：B. 第II卷 二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分） 11. 已知直线与平行，则的值为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由可求，注意检验重合的情况即. 【详解】因为直线与平行， 所以 展开化简可得，解之可得或， 则当时直线与， 化简后为，可知与平行， 当时直线与平行. 故答案为：或 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． 【详解】， ， 所以， 点到的距离为． 故答案为：． 14. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】对双曲线焦点在x轴还是y轴上分类讨论，由渐近线方程求出a、b之间的关系，再据此计算离心率． 【详解】若焦点在x轴上，双曲线方程为，渐近线为， 故，离心率，且，代入，则； 若焦点在y轴上，双曲线方程为，渐近线为， 故，同理可得； 综上，离心率为或． 故答案为：或 15. 若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义求出p的值，进而得到抛物线方程，再将点M的坐标代入抛物线方程求出m的值即可. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 则准线方程为， 所以，解得： ，所以，即：， 因此抛物线的方程为， 因为点在抛物线上， 将其代入抛物线方程：， 又因为点在第一象限，所以， 则：. 故答案为：. 16. 已知双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在抛物线上求出双曲线参数c，再根据双曲线渐近线与圆相切列出等式求出b，最后结合求出a，即可得双曲线方程． 【详解】抛物线的准线为， 故双曲线的一个焦点为，也即， 所以，又双曲线渐近线与圆相切， 圆心到渐近线距离为半径，所以，解得， 所以，双曲线方程为． 故答案为：． 三、解答题（共4题；共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求与的值： （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦定理角化边可得出的关系，再结合已知求； （2）根据余弦定理得出，再利用同角三角函数基本关系式求； （3）根据二倍角公式求出，再根据两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 在中由正弦定理可知， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，在中由余弦定理可知 ， 因为在中，所以. 【小问3详解】 由（2）知，所以， ， 所以. 18. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 （1）求过点与垂直的直线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线 的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . 【小问2详解】 由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . 【小问3详解】 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 . 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得． 向量，，故， 所以，即， 向量，，故， 所以，即， 又因为平面， 所以平面； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】(1)可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明； (2)向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值； (3)向量法：先利用向量的垂直关系求出向量，然后求出平面和平面的一个法向量，再利用公式来求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，则， 所以平面的一个法向量为． 因为，所以， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 ， 由点在棱上，故设， 由，得，解得， 即． 设为平面的法向量，则，即， 不妨令，则，即平面的一个法向量为． 又取平面的法向量， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 20. 已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 （1）求椭圆的方程． （2）若弦长为，求直线的方程． （3）是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，直线方程为或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质和三角形周长解出，进而确定求椭圆方程； （2）假设直线得方程并和椭圆联立，根据韦达定理和弦长公式求解； （3）由以为直径的圆过，得，再根据韦达定理结果解方程求. 【小问1详解】 由题知椭圆的离心率，周长为， 则，所以，即得 因为，所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 椭圆右焦点为，当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，此时弦长， 故直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线和椭圆方程可得，消去得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可知， 整理得，解得； 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 由以为直径的圆过，可知，即①， 又由（2）知当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，则，故直线的斜率存在， 设直线的方程为，则②，③， 联立①②③可得， 因为， 所以，解得，即， 故直线存在，直线方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市静海区第四中学2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科第三次诊断练习卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、选择题（共10题；每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 已知向量且与互相平行，则实数的值是（ ） A. － B. C. D. －2 3. 过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（　　） A. B. C. D. 4. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 椭圆内有一点，以为圆心的圆与椭圆交于两点，若弦恰为圆的直径，则直线的斜率为（　　） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 9. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 10. 设是抛物线上的一个动点，点到直线：的距离为，点到直线：的距离为，则的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 第II卷 二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分） 11. 已知直线与平行，则的值为___________． 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为______. 14. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率是___________． 15. 若点在第一象限，且为抛物线上的点，抛物线的焦点为，若，则___________． 16. 已知双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为___________． 三、解答题（共4题；共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在，角所对的边分别为，已知，． （1）求与的值： （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 （1）求过点与垂直的直线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 （1）求椭圆的方程． （2）若弦长为，求直线的方程． （3）是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $