第12讲 一元一次不等式的解法及应用（4知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第12讲 一元一次不等式的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型1 一元一次不等式的识别】 例1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 例2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 变式1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义， 根据一元一次不等式的定义逐个判断，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 【详解】解：因为不是一元一次不等式，所以A不符合题意； 因为是二元不等式，所以不符合题意； 因为是二次不等式，所以C不符合题意； 因为是一元一次不等式，所以D符合题意. 故选：D. 【题型2 利用一元一次不等式的定义求参数的值】 例3．（24-25八年级下·全国·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 例4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 变式1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 变式2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：B． 【题型3 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 例5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 例6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 变式2．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 【题型4 求一元一次不等式的整数解】 例7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 例8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 变式1．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 变式2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 【题型5 一元一次不等式求解中错解复原问题】 例9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 例10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 变式1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 变式2．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 【题型6 解|x|≥a型的不等式】 例11．．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 例12．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 变式1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 变式2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 【题型7 列一元一次不等式】 例13．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）x与3的和小于6，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）”、“不超过（不低于）”、“至少”、“最多”等等文字，正确选择相对应的不等号．x与3的和表示为，“小于”用符号“”表示，由此可得不等式． 【详解】x与3的和表示为，由题意可列不等式为：． 故答案为：． 例14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据总销售额不低于13万元列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少x吨，使得五年后的碳排放量不超过100吨，求x的最小值．由题意可列不等式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列一元一次不等式，由每年的碳排放量均比上年减少x吨，可得五年后的碳排放量为吨，结合此时排放量不超过100吨，可得不等式. 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 【题型8 用一元一次不等式的解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不等关系列不等式并求解是解题的关键．设购进甲款玩偶的数量为未知数，根据总利润=甲款利润+乙款利润，结合利润不低于3700元的条件，列不等式求解． 【详解】解：设商家购进甲款玩偶件，则购进乙款玩偶件．由题意可得 ， ， ， ， ， ， 答：商家最少需购进甲款玩偶件． 例16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 【答案】(1)每顶型帐篷元，每顶型帐篷元 (2)最少购买型帐篷顶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元， 根据题意可得， 解得， 答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元； （2）设购买型帐篷顶， 则购买型帐篷为顶， 根据题意可得， 解得， 答：最少购买型帐篷顶． 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【答案】(1)商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元 (2)；商场最多购进乙种商品70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元， 根据题意，得， 解得， 答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元． （2）解：设购进乙种商品个， 则购进甲种商品（个）； ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 是整数， 的最大值为70， 答：商场最多购进乙种商品70个． 变式2．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）若二次根式有意义，则实数x的值可以是（   ） A．5 B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项中的值符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键． 设可搬桌椅套，根据“规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次”，那么搬桌子需人，搬椅子需人，根据总人数为人，列不等式求解即可． 【详解】解：设可搬桌椅套，则搬桌子需人，搬椅子需人， 根据题意，得：， 解得： ∴最多可搬桌椅套， 故选：C． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得：， 解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”覆盖的数为1， 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解简单不等式的知识点；解不等式要依据不等式的基本性质：分别求解两个不等式，根据解集相同建立方程求解即可． 【详解】解：不等式，的解集是； 不等式，的解集是； 由于两个不等式的解集相同， 因此， 解得． 9．（2024·山西·模拟预测）为方便电动汽车充电，李老师安装了家庭充电桩．该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为0.5元/度、0.3元/度．已知李老师电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度，且每月充电所花电费不超过64元．若设李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量为x度，则x满足的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量为x度，则李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量为度，根据总费用不超过64元列出不等式即可． 【详解】解：设李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量为x度，则李老师电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量为度， 由题意得． 故答案为：． 10．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴表示空心/实心圆点混淆． （1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）． （2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤． （3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1． （4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）． 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 13．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）第①步中，去分母时不等号右边的2没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式，解方程组得，将此代入，解不等式，即可求解． 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的正整数的值为1，2，3，4． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 16．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)①； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可判断； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分两种情况讨论根据“和谐不等式”的定义得到含的不等式，解得即可． 本题主要考查解一元一次不等式的整数解和不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①不等式与有公共整数解， ②不等式与没有公共整数解， ③与没有公共整数解， 与互为“和谐不等式”是①， 故答案为：①； （2）解：不等式， 解得， 不等式， 解得． 关于的不等式是的“和谐不等式”， ， ； （3）解：不等式， 解得， 不等式， 整理得， ①当，即时，， 关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， ， ； ②当，即时，， ， 两个一元一次不等式有公共整数解， 此时关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， 综上所述，的取值范围为或． 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）某校给在校园科技创新大赛活动中表现优异的同学购置、两种纪念品．经了解甲、乙两家商场相同商品标价相同，两家商场都长期让利出售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物超过元后的部分打折． (1)用单位：元表示按原价应支付的购物金额，单位：元表示优惠后的购物金额，请直接写出在两家商场购物超过元时，关于的函数解析式； (2)种纪念品每件标价元，但只有甲商场有货．种纪念品在两商场标价均为每件元．学校一共要购买两种纪念品件，其中种纪念品不超过种纪念品的倍，如何购买才能使所花费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)， (2)在甲商场购买件种纪念品、乙商场购买件种纪念品才能使所花费用最少，最少费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用； （1）分别根据两个商场的优惠情况计算即可； （2）设购买种纪念品件，则购买种纪念品，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，比较购买方案，进而根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：，． （2）设购买种纪念品件，则购买种纪念品， 根据题意，得， 解得， 方案一（合并购买）：、两种纪念品均在甲商场购买，总费用为， 方案二（分开购买）：在甲商场购买种纪念品，在乙商场购买种纪念品，总费用为， 当时， ∴当时， 根据题意，则 件种纪念品应全部在乙商场购买， ， 随的增大而增大， ， 当时值最小，， 件． 答：在甲商场购买件种纪念品、乙商场购买件种纪念品才能使所花费用最少，最少费用是元． 18．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元一次不等式的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型1 一元一次不等式的识别】 例1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用一元一次不等式的定义求参数的值】 例3．（24-25八年级下·全国·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 例4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 变式1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 变式2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【题型3 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 例5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 例6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【题型4 求一元一次不等式的整数解】 例7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 例8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 变式1．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 变式2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【题型5 一元一次不等式求解中错解复原问题】 例9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 例10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 变式1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 变式2．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【题型6 解|x|≥a型的不等式】 例11．．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 例12．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 变式1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 变式2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【题型7 列一元一次不等式】 例13．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）x与3的和小于6，用不等式表示为 ． 例14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为 ． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元，可列不等式为 ． 变式2．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少x吨，使得五年后的碳排放量不超过100吨，求x的最小值．由题意可列不等式： ． 【题型8 用一元一次不等式的解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，甲款玩偶的进货单价为70元，乙款玩偶的进货单价为40元，该商家购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？ 例16．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． (1)求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ (2)商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品个，则购进甲种商品 个（用含的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 变式2．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）若二次根式有意义，则实数x的值可以是（   ） A．5 B．0 C．3 D． 2．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是 ． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为 ． 9．（2024·山西·模拟预测）为方便电动汽车充电，李老师安装了家庭充电桩．该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为0.5元/度、0.3元/度．已知李老师电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度，且每月充电所花电费不超过64元．若设李老师电动汽车在家庭充电桩峰时的充电量为x度，则x满足的不等式为 ． 10．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 16．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）某校给在校园科技创新大赛活动中表现优异的同学购置、两种纪念品．经了解甲、乙两家商场相同商品标价相同，两家商场都长期让利出售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物超过元后的部分打折． (1)用单位：元表示按原价应支付的购物金额，单位：元表示优惠后的购物金额，请直接写出在两家商场购物超过元时，关于的函数解析式； (2)种纪念品每件标价元，但只有甲商场有货．种纪念品在两商场标价均为每件元．学校一共要购买两种纪念品件，其中种纪念品不超过种纪念品的倍，如何购买才能使所花费用最少，最少费用是多少？ 18．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $