第10讲 垂线与点到直线的距离（2知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第10讲 垂线与点到直线的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 知识点2：点到直线的距离 点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 【题型1 垂线的定义的理解】 例1．（24-25七年级下·全国·单元测试）平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线的位置关系，平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，所以平行和相交是并列存在的，而垂直是相交的一种特殊情况，所以相交包括垂直． 【详解】解：平面内两直线的位置关系有相交和平行两种， 当两直线相交，夹角是时，两直线互相垂直， 垂直是相交的一种特殊情况， 平行、垂直和相交的关系如下图所示， 故选：D． 例2．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线段的概念． 根据垂线段的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据条件无法得到，点B到的垂线段是线段，该选项错误，符合题意； B、该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，不符合题意； D、该选项正确，不符合题意； 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 【题型2 垂线段最短】 例3．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 例4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 变式1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 【题型3 画垂线】 例5．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 例6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． (1)过点作的平行线； (2)过点作线段的垂线，交于点； (3)点是线段与网格线的交点，连接，比较线段的大小：_____，理由是______． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)图见详解，，垂线段最短． 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据垂线段最短比较线段大小即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图， 由图可知，，理由是：垂线段最短． 变式1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点画的垂线，交于点； ②过点画的垂线，垂足为； （2）在上图中线段的长度是点到 的距离，线段 的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【答案】（1）图形见解析；（2）、、 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确作图是关键． （1）①将绕逆时针旋转90度得到点，连接与交点即为点； ②过作的垂线，则垂足就是； （2）根据点到直线的距离以及垂线段最短判断即可． 【详解】解：（1）①过点画的垂线，交于点；②过点画的垂线，垂足为，图形如下： （2）在上图中线段的长度是点到的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是．（用“＜”号连接） 故答案为：、、． 【题型4 点到直线的距离】 例7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 例8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 变式1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，若，，，则点M到直线l的距离可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点到直线的距离可能是， 故选：．（答案不唯一） 变式2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据垂直的定义以及点到直线的距离的定义，结合等面积法，即，求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为的长，即点到的距离为6 ∵， ∴点B到直线的距离为的长； ∵ ∴， ∴点B到直线的距离为； 故答案为：；． 【题型5 利用垂线的定义求角的度数】 例9．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图所示，直线相交于点O，． (1)若，则的余角有 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、余角的定义、几何图形中的角度计算等知识点，掌握垂直的定义以及角的和差是解题的关键． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义即可解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ，即， ∵， ∴的余角有：，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 例10．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点． (1)图中与互补的角是_________； (2)与相等吗？请说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)，， (2)，见解析 (3)的度数为，的度数为 【分析】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义可得，，，从而利用等量代换可得，，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用等角的补角相等可得，即可解答； （3）先利用平角定义可得，然后利用（2）的结论可得，从而利用角的和差关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：平分， ， ，， ，， ， 图中与互补的角是，，， 故答案为：，，； （2）， 理由：， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 的度数为，的度数为． 变式1．（24-25七年级下·陕西汉中·月考）已知如图，直线、相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点O作，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等，几何图形中角度的计算， （1）先求出，再根据对顶角相等得，然后根据得出答案； （2）先根据求出，进而求出，然后结合得出结论； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据或可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，当点F在上方时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点F在下方时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 变式2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点O在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则 ， ； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由“分补线”的定义结合即可得出，再由垂线的定义可得，即可得解； （2）由“分补线”的定义结合即可得出，结合角平分线的定义可得，再由垂线的定义可得，求出，即可得解； （3）分两种情况：当时；当时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，射线是的“分补线”，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，此情况、重合， 同理可得：， ∴； 综上所述：与的数量关系为：或． 【题型6 利用垂线的定义求旋转问题】 例11．（24-25七年级上·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 【答案】(1) (2)旋转的最小角度是 【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键． （1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数； （2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果． 【详解】（1）解：因为， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：设旋转的最小角度是，则，， 因为与互补， 所以，即， 解得， 所以旋转的最小角度是． 例12．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·月考）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 变式2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 【答案】（1）①；；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②为3秒或21秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、垂直的定义，仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系是解答本题的关键． （1）①根据角的和差关系即可求解；②根据角的和差关系即可得出结论； （2）①根据角的和差关系即可得出结论；②由得到，再分在的上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①若，则， ∴； 若，则， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴， 当在上方时， 旋转角度为， ∴（秒）； 当在下方时， 旋转角度为， ∴（秒）； ∴综上所述，为3秒或21秒时． 一、单选题 1．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，，于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的垂线段是线段 D．线段是点到的距离 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂直的定义，对平面几何中概念的理解，根据点到直线的距离，垂直的定义，可得答案． 【详解】解：A、由于点，可知，故不符合题意； B、点到的垂线段是线段，故不符合题意； C、点到的垂线段是线段，故符合题意； D、线段的长度是点到的距离，故不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）如图，相交于点为的平分线，为垂足，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及对顶角相等、角平分线定义、垂直定义等知识，结合对顶角相等、角平分线定义及垂直定义，数形结合，表示出所求角度即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 为的平分线， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，法线与平面镜互相垂直，若平面镜与水平线的夹角，则入射光线与反射光线的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直，对顶角相等,角的和差，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先由对顶角相等求得，由垂直的定义得到，根据角的和差求出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 由题意由， ∴． 故选：A 二、填空题 6．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，若，，则点，，在同一条直线上，推理的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可求解． 【详解】解：若，，则点，，在同一条直线上，推理的依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 7．（24-25七年级下·浙江·期末）如图，直线，相交于点O，于点O．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直得到，再由平角得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东汕头·期末）2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短． 【详解】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段． 根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段． 故答案为：垂线段最短 9．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图（1），，平分． (1)如果，求的度数； (2)反向延长射线得，如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义、角的计算，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）利用计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 13．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 14．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题： 如图所示： (1)①_______（填“>”“<”或“=”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得；②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若． ①用含的代数式分别表示和； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，熟知垂线的定义和角平分线的定义是条件的关键． （1）先由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据垂线的定义得到的度数即可得到答案； （2）①由垂线的定义得到的度数，则可求出的度数，则由对顶角相等得到的度数，同理求出的度数即可得到答案；②根据①所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，             ∵平分， ∴， ∵， ∴，       ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴，               ∴，              ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；    ②由①得：． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10讲垂线与点到直线的距离 风内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中 的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直，如下 图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD,垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角 (90°的角)可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：(1)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 吧知识点2：点到直线的距离 点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B,则线段AB的长度叫做点A到直线的 距离，此时线段AB叫垂线段。 A B 02练题型强知识 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1垂线的定义的理解】 例1.(24-25七年级下·全国·单元测试)平行、垂直和相交的关系可以表示为() 平行 垂直 垂直 B 平行 相交 相交 平行 相交 C 相交 垂直 D 平行 垂直 例2. (25-26七年级下·全国·单元测试)下列说法： ①有且只有一条直线垂直于己知直线： ②两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直： ③过直线a外一点P作PD⊥a,垂足为D,则线段PD的长度是点P到直线a的距离； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线， 其中正确的说法有() A.①②④ B.②③④ C.②③ D.②④ 变式1.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图所示AD1BC,下列说法不正确的是() D A.点B到AC的垂线段是线段AB B.点C到AD的垂线段是线段DC C.线段AD是点A到BC的垂线段 D.线段BD是点B到AD的垂线段 变式2.(24-25七年级下·重庆渝中·期末)如图，过点P作PA⊥1，PB⊥1，则AP与BP重合，其理由是 () A B A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.在同一平面内，垂直于同一条直 线的两条直线互相平行 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 【题型2垂线段最短】 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.(25-26七年级上·江苏淮安·月考)下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是() 起 跳 A. 线 两钉子固定木条 木板上弹墨线 测量跳远成绩 弯曲河道改直 例4.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建 一个汽车站，且有A,B，C，D四个地点可供选择.若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在」 处，其依据是() B ǒ超市 A.D处，经过一点有无数条直线 B.C处，垂线段最短 C.C处，两点之间，线段最短 D.B处，两点确定一条直线 变式1.(24-25七年级下·四川德阳·期中)运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的 方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是() ① 起h② ③ 线P④ A.两点之间，线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 变式2.(24-25七年级下·全国·课后作业)有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA,可 以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D,使CD⊥AB,沿CD挖 水沟，水沟最短：③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A,B两地沿道路AC,BC同时出发开往C城，其中 AC⊥AB.若两车速度相同，则甲车先到C城.其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是() 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【题型3画垂线】 例5.(24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考)如图，点P是∠AOB的边OB上的一点： B A (I)过点P画OA的垂线，垂足为H: (2)线段PH的长度是点P到_的距离.线段PO、PH这两条线段大小关系是（用“<”号连接） 例6.(24-25七年级下山西晋中·期中)如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段 AB的两个端点及点C均在格点上 D B (I)过点C作AB的平行线EF; (2)过点C作线段AB的垂线，交AB于点H; (3)点D是线段AB与网格线的交点，连接CD,比较线段CD,CH的大小：，理由是 变式1.(2025七年级上江苏南京专题练习)如图，点P,Q分别是∠AOB的边OA,OB上的点. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)过点Q画OA的垂线，交OA于点C: (2)过点P画OB的垂线，垂足为H,连接P: (3)线段QC的长度是点Q到 的距离， 的长度是点P到直线OB的距离： (4)线段P№、PH的大小关系是 (用“<”号连接).理由 变式2.(24-25七年级上·江苏苏州期末)(1)在如图所示的方格纸中，点P是∠AOB的边OB上的一点， 不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画OB的垂线，交OA于点C; ②过点P画OA的垂线，垂足为H; (2)在上图中线段PH的长度是点P到的距离，线段的长度是点C到直线OB的距离.PC、PH、OC 这三条线段大小关系是_.（用“<”号连接） 【题型4点到直线的距离】 例7.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，AB⊥AC,AD⊥BC,若AB=4cm,AC=3Cm, AD=2.4cm,那么A,B两点之间的距离为cm,点A到直线BC的距离为一cm，点C到直线AB的 距离为一cm A B 例8.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)如图，AC⊥BC,点C为垂足，CD⊥AB,点D为垂足， BC=8cm,CD=4.8cm,BD=6.4cm,AC=6cm,那么点C到AB的距离是一，点B到CD的距离是-， A、C两点间的距离是一。 变式1.(24-25七年级下广东深圳期中)如图，A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线1外， MC⊥I,若MA=5cm,MB=4cm,MD=3cm,则点M到直线I的距离可能是cm.(写出一个即 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可) M D 变式2.(24-25七年级下·宁夏吴忠·期中)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D, AC=I0,AB=6,BC=8,则点A到BC的距离为一，点B到直线AC的距离为 【题型5利用垂线的定义求角的度数】 例9.(25-26七年级上·吉林长春·月考)如图所示，直线AB、CD相交于点O,BO⊥OM. (1)若∠1=∠2，则∠2的余角有_. 2)若1=4∠B0C,求∠40D的度数. 例10.(24-25七年级上·江苏期末)如图，直线AB、CD相交于点O,OC平分∠AOM,ON⊥CD,垂 足为点0. M B D (I)图中与∠COM互补的角是 (2)∠MON与∠BON相等吗？请说明理由： (3)若∠AOM=80°，求∠AON和∠MON的度数. 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(24-25七年级下·陕西汉中·月考)已知如图，直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°. A (1)若∠AOC=36°，求∠BOE的度数； (2)若∠BOD:∠BOC=1:5,求∠AOE的度数： (3)在(2)的条件下，过点O作OF⊥AB,请直接写出∠EOF的度数. 变式2.(24-25七年级上·安徽合肥期末)阅读理解：从∠(90°<a<180)的顶点出发，在角的内部作 一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠a的“分补线”. 如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD,射线OE是∠BOC的“分补线”. D y B (I)若∠AOC=32°，且OE在∠COD内部，则∠COE=_,∠D0E=_: (2)若OE平分∠AOD,求∠BOD的度数： (3)若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，请直接写出∠EOF与∠COG的数量关系：-· 【题型6利用垂线的定义求旋转问题】 例11.(24-25七年级上浙江温州·期末)“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双 碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益.如图1所示，风电机的塔架OP垂直于海平面，叶片OA, OB,OC可绕着轴心O旋转，且∠AOB=∠BOC=∠AOC. B A P P 图1 图2 图3 (I)如图2，当OA⊥OP时，求∠BOP的度数. 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)叶片从图3位置(OA与OP重合)开始绕点O顺时针旋转，若旋转后∠AOP与∠BOP互补，则旋转的最 小角度是多少度？ 例12.(24-25七年级上·全国·期末)如图1，已知，点O为直线AB上一点，OC在直线AB的上方， ∠AOC=60°.一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB 的下方. M B 图1 图2 (1)在图1的时刻，∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠BON的度数； (3)在三角板绕点O旋转一周的过程中，求∠COM与∠AOW之间的数量关系 变式1.(24-25七年级上·黑龙江绥化月考)三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角 三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0°<∠ACE<90°，且点E在直线AC的上方时，解 决下列问题：（友情提示∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）. B (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为_； ②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为-： (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由： (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若 不存在，请说明理由 变式2.(23-24七年级上福建厦门·期末)【实践操作】三角尺中的数学 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90° ①若∠ECD=38°，则∠ACB= :若∠ACB=150°，则∠ECD= ②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何数量关系，并说明理由， (2)如图2，若是将两个同样的含60°锐角的直角三角尺叠放在一起，其中60°锐角的顶点A重合在一起， 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=∠AFG=90° ①探究∠GAC与∠DAF的大小有何数量关系，并说明理由： ②若一开始就将△ADC与△AFG完全重合(AF与AC重合)，保持△ADC不动，将△AFG绕点A以每秒 10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t.在旋转的过程中，t为何值时AG⊥AC. 图2 03 串知识识框架 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那 么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 垂直的性质：(1)平面内，过一点有且只有一条 知识点：垂线概念和性质 直线与已知直线垂直.(2)直线外一点与直线上各 点连接的所有线段中，垂线段最短， 垂线与点到直线的距离 过点A作直线的垂线，垂足为点B,则线段AB的长 度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 知识点2：点到直线的距离 04过关测稳提升 一、单选题 1.(2025九年级江西专题练习)如图，点P在直线1上方，点A,B在直线1上，PA=5,PB=4,则点 P到直线I的距离可能是() A.6 B.5 C.4 D.3 2.(24-25七年级上·全国·课后作业)下列作图能表示点A到BC的距离的是() 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.B 3.(24-25七年级下·山西大同期中)如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则下列结论正确的是 () B D A.AB⊥BC B.点C到AB的垂线段是线段CB C.点C到AB的垂线段是线段CD D.线段AD是点A到CD的距离 4.(24-25七年级下·重庆渝北期末)如图，AB,CD相交于点O,OE为∠DOB的平分线， FO⊥DO,G0⊥EO,O为垂足，∠AOC=38°，则∠FOG的度数是() O B E G D A.160° B.161 C.162° D.151° 5.(24-25七年级下·湖北荆州期中)如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了 乒乓球的位置.已知入射光线BO与法线OC的夹角等于反射光线OA与法线OC的夹角，法线OC与平面 镜MN互相垂直，若平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON=35°，则入射光线BO与反射光线OA的夹角 ∠AOB的度数为() T A 沙发 B不 O --D A.110° B.120° C.130° D.140° 二、填空题 6.(24-25七年级下山西朔州期中)如图，若AB⊥MN,CB⊥MW,则点A,B,C在同一条直线上， 10/14