第09讲 两条直线的位置关系（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲两条直线的位置关系 风内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：相交线、平行线 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线 CD相交于点O D 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 吧知识点2：对顶角 1.对项角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个 角叫做对项角， 2.对顶角的性质：对顶角相等. ☑知识点3：余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°， 那么称这两个角互为余角，也称互余 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等。 02 练题型强知识 【题型1平面内两直线的位置关系】 例1.(25-26七年级上·黑龙江绥化期中)在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是() 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.垂直 B.相交 C.平行 D.相交或垂直 例2.(25-26七年级上·北京·月考)如图，直线c和直线d的位置关系是() A.平行 B.相交 C.垂直 D.不平行也不相交 变式1.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，直线a,b,c,d,e在同一平面内，且直线a,b,c,d 交于一点O,其中可能与直线e平行的直线是() A.a B.b C.c D.d 变式2.(24-25七年级下·广西桂林·期中)在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是() A.1个或3个 B.0个或2个 C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3个 【题型2对顶角的定义】 例3.(2025七年级上·吉林长春·专题练习)下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是() B ! 例4.(24-25七年级下·广东湛江·月考)下列各图中，∠1和∠2互为对顶角的是() 变式1.(24-25七年级下·广西柳州期中)下列图中∠1与∠2是对顶角的是( 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(25-26八年级上·广西南宁·开学考试)下面各图中∠1和∠2是对顶角的是() A. 【题型3利用对顶角相等求角】 例5.(2025七年级上江苏连云港·专题练习)如图，用量角器测得∠BOD的度数为70°，则∠AOC的度 数是 C B 例6.(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，直线a,b相交于点0，将量角器的中心与点O重合，发 现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1=一°. a 6 6090 120 30 1509 10 180 变式1.(24-25七年级下·上海·月考)如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,且 ∠AOC=72°，那么∠BOE=°. A B 变式2.(24-25七年级下广东湛江月考)光线从空气射入水中会发生折射现象，如1图所示.小华为了 观察光线的折射现象，设计了如2图所示的实验.通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝， 却碰不上物块.3图是实验的示意图，点A,C,B在同一直线上，若∠PDM=50°，∠BDC=20°，则 ∠CDN=- 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法线 入射角a M 折射角B 图1 图2 图3 【题型4求一个角的余角】 例7.(25-26七年级上江苏苏州·月考)已知∠A的余角是32°，则∠A= 例8.(25-26九年级上江苏南京·月考)如果∠a=40°，那么∠a的余角等于一 变式1.(25-26七年级上江苏泰州期末)已知∠a与∠B互为余角，若∠a=30°，则∠B=一· 变式2.(25-26七年级上河南南阳·月考)人们很早就借助工具度量角.我国夏商时代就出现了校验直角 的工具一一“矩”.如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为 AB,BC.若∠2=5317，则∠1的度数为一· 【题型5求一个角的补角】 例9.(25-26七年级上江苏泰州月考)已知∠a=39°，则∠α的补角度数是一 例10.(25-26七年级上江苏南京·月考)已知∠a=1218,那么∠a的补角为 变式1.(25-26七年级上江苏常州月考)已知∠a=65°，则∠a的余角为一，则∠0的补角为一. 变式2.(24-25七年级下·全国课后作业)一个角的余角的2倍比这个角的补角的2少27°，则这个角的 度数为 【题型6对顶角、余角、补角的综合】 例11.(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，已知：∠AOB=155°，∠AOC=∠B0D=90°. D B 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)图中与∠COD互余的角是. (2)求∠COD的度数. (3)图中互补的角有」 例12.(2025七年级上全国·专题练习)如图，点O是直线AB上一点，∠BOC与∠AOE互为余角，OD 是∠BOC的平分线. C -B (1)求∠COE的度数； (2)若∠AOE=48°，求∠DOE的度数： (3)若∠AOE:∠EOD=5:11,求∠BOC的度数 变式1.(25-26七年级上江苏无锡月考)已知，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC, ∠BOC=110° B D (图1) (图2) (备用图) (1)如图1，则∠AOC的度数为 (2)如图2，过点O在直线AB下方作射线OD,使OD⊥OC,作∠AOC的角平分线OM,求∠MOD的度数： (3)在(2)的条件下，作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数， 变式2.(25-26七年级上河南驻马店月考)如图1，∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=50° 图1 图2 (1)求∠AOB和∠COD的度数，并说明∠AOB和∠COD的大小关系如何. (2)若∠BOC的大小不确定，其他条件不变，(1)中的∠AOB和∠COD的大小关系仍然成立吗？请说明理 由 (3)试猜想∠AOD与∠COB是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理. (④)当∠BOD绕点O旋转到图2的位置时，(3)中的猜想还成立吗？请说明理由. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型7与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题】 例13.(25-26七年级上江西吉安·月考)如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， B (1)若∠ACB=140°，求∠DCE的度数： (2)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由. 例14.(2025七年级上全国·专题练习)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放 在点O上，并在∠MON内部作射线OC. AM O B B 图1 图2 (1)如图1，三角板的一边OM与射线OA重合， ①∠AOC的余角是 补角是 ②若∠BOC=120°，则∠NOC的度数为 (2)如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB,且∠BON=4∠NOC,求∠AOM的度数. 变式1.(25-26九年级上·广东·期中)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在 一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°） (1)若∠DCE=40°，则∠ACB的度数为： (2)若点E在AC的上方，设∠ACB=a(90°<a<180°)，求∠DCE.(用含a的式子表示) 变式2.(25-26七年级上·四川眉山期末)已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三 角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）· 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B B A B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE= (2)如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC,请说明OD所在射线是 ∠BOC的平分线. 1 (3)如图3，将三角板DOE绕点0逆时针转动到使∠C0D=440B时，求∠BOD的度数. (4)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰 好与直线OC重合，求t的值. 【题型8与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题】 例15.(25-26七年级上浙江·期末)【概念学习】若∠a的度数为∠阝的度数的k倍，则规定∠α是∠p的 k倍角. B ① ② 【初步探究】 (1)若∠M=2117',则∠M的5倍角的度数为 (2)如图①，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE,请直接写出图中 ∠AOB的所有3倍角： 【深入思考】 (3)如图②，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角， 求∠AOD的度数. 例16.(25-26七年级上河北石家庄·期中)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MOW如图1所示 放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC,且OC恰好平分∠MOB. 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)若∠CON=25°，则∠AOM是 (2)若∠BON=2∠NOC,求∠AOM的度数： (3)如图2，D是射线OB上一点，且∠ODW=90°，试猜想∠OND与∠NOC之间的数量关系，并说明理由. 变式1.(24-25七年级上浙江杭州·期末)定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该 射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”·如图，点 O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD,钝角∠AOD的“割补线”记为OE. C D D A 0 B A B (1)若∠BOD=40°，求∠COE的度数： (2)若OE恰好平分∠AOC,求∠BOD的度数： (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系. 变式2.(2025七年级上·全国·专题练习)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这 两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线OC, OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB=90°，则∠COD是∠AOB的内余角. D 图1 图2 图3 图4 根据以上信息，解决下面的问题： (I)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD=_; (2)如图2.已知∠A0B=52°，将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度(0°<a<60)得到OC.同时将OB 绕点O顺时针方向旋转一个角度a得到OD:若∠COB是∠AOD的内余角，求a的值： (3)把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射 线OA,OB,OC,OD构成内余角时，请求出1的值. 03 串知识识框架 相交线：若两条直线只有一个公共点，我 们称这两条直线为相交线 知识点1：相交线、平行线 平行线：在平面内，不相交的两条直线叫 做平行线 对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两 边的反向延长线且这两个角有公共顶点 两条直线的位置关系 知识点2：对顶角 对顶角的性质：对顶角相等 互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个 角互为余角，也称互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个 角互为补角，也称互补 知识点3：余角、补角 互补与互余的性质：同角或等角的补角相等； 同角或等角的余角相等 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国·课后作业)下列各选项中，∠1和∠2是对顶角的是() A. D. 2.(25-26七年级上辽宁·期末)如图，已知∠1=28°，∠AOC=90°，点B、0、D在同一条直线上，则 ∠2的度数为() 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2 D A.102° B.118° C.122° D.62° 3.(24-25七年级下·全国·周测)有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知 直线平行：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④两点之间的距离是两点间的线 段：⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(17-18七年级上·全国课后作业)如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若∠4OC=40°， 则∠BOD的度数为() B D A.30° B.40° C.50 D.60° 5.(24-25七年级下·全国·周测)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE, ∠1=25°，则下列结论中，不正确的是() D 3 B C A.∠1=∠3 B.∠2=45° C.∠AOD与∠1互为补角 D.∠1的余角等于75° 二、填空题 6.(2025七年级上·黑龙江哈尔滨专题练习)若∠a=6032',则∠α的余角是一，∠a的补角是一· 7.(25-26七年级上江苏无锡月考)如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，∠AOC= ,理由是 10/13 第09讲 两条直线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：相交线、平行线 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 知识点2：对顶角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 知识点3：余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 例1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 例2．（25-26七年级上·北京·月考）如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·广西桂林·期中）在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【分析】本题考查直角的交点个数问题，当三条直线平行时，三条直线没有交点，三条直线两两相交时至少有一个交点，至多有3个交点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点， 三条直线两两相交时，如图： 可能有1个，2个或3个交点， 故选D． 【题型2 对顶角的定义】 例3．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 例4．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断． 【详解】解：A、B、C中，与的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有D． 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型3 利用对顶角相等求角】 例5．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，用量角器测得的度数为，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故答案为：． 例6．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【答案】36 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广东湛江·月考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型4 求一个角的余角】 例7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知的余角是，则 【答案】/度 【分析】本题考查余角的定义，根据余角的定义（如果两个角的和为，则这两个角互为余角）求解，即可解题． 【详解】解：已知的余角是， 所以， 因此． 故答案为：． 例8．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如果， 那么的余角等于 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义，两个角的和等于，则这两个角互为余角，因此的余角等于减去的度数． 【详解】解：∵， ∴的余角． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知与互为余角，若，则 ． 【答案】60° 【分析】本题主要考查了余角的定义，根据余角的定义，互为余角的两个角的和为，由此计算． 【详解】解：因为与互为余角， 所以， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级上·河南南阳·月考）人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据余角的定义和度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， 故答案为：． 【题型5 求一个角的补角】 例9．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知， 则的补角度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．根据补角的定义，互为补角的两个角之和为，因此的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角度数是． 故答案为：． 例10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知，那么的补角为 ． 【答案】 【分析】根据补角的定义，两角之和为，因此用减去已知角即可得到补角． 【详解】解：的补角为： ． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 【题型6 对顶角、余角、补角的综合】 例11．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，已知：，． (1)图中与互余的角是_____． (2)求的度数． (3)图中互补的角有______． 【答案】(1)和 (2) (3)与；与 【分析】本题考查的知识点是余角和补角，解题关键是熟记如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． （1）根据余角的概念解答即可； （2）先求出，然后求出结果即可； （3）根据补角的概念进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴与互余的角是和， 故答案为：和； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴与互补； ∵， ∴， ∴与互补， 故答案为：与互补；与互补． 例12．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O是直线上一点，与互为余角，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，以及角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）由与互为余角得，进而可求出的度数； （2）由余角的定义求出，再由角平分线的定义求出，进而可求出的度数； （3）设的度数为，则，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴ ， ∵与互为余角， ∴ ， ∴； （2）解：∵与互为余角，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：设的度数为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 变式1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 变式2．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)成立，证明见解析 (3)与是互补关系，证明见解析 (4)成立，证明见解析 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． （3）解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． （4）解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 【题型7 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题】 例13．（25-26七年级上·江西吉安·月考）如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起， (1)若，求的度数； (2)猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了互补、互余的定义，三角板中角度的计算等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． （2）解：猜想：， 理由：∵，， ∴， ， ∴． 例14．（2025七年级上·全国·专题练习）已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图1，三角板的一边与射线重合． ①的余角是___________，补角是___________； ②若，则的度数为___________； (2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）①根据余角和补角的定义进行解答即可； ②根据和即可得出答案； （2）设，则，根据恰好平分，得出，根据列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴的余角是，补角是； 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 变式2．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知和是互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，则　　　． (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到使时，求的度数． (4)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，恰好与直线重合，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)28或64 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于求出即可； （4）分两种情况：在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了；当与射线重合时，三角板绕点旋转了；依此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ． 故答案为：． （2）平分， ． ， ，． ． 所在射线是的平分线． （3）设，则， 如图，当射线在的内部时， ，， ． ， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ， ，解得， 即． ． 综上所述，的度数为或． （4）如图， 分两种情况： 在一周之内，当与射线的反向延长线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得； 当与射线重合时，三角板绕点旋转了， ，解得． 所以当秒或64秒时，与直线重合． 综上所述，的值为28或64． 【题型8 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题】 例15．（25-26七年级上·浙江·期末）【概念学习】若的度数为的度数的倍，则规定是的倍角． 【初步探究】 （1）若，则的5倍角的度数为________； （2）如图①，是的平分线，是的平分线，若，请直接写出图中的所有3倍角； 【深入思考】 （3）如图②，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【答案】（1）；（2）和；（3） 【分析】本题考查了角度的运算、与角平分线有关的计算、补角，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据5倍角的定义可得的5倍角的度数为，计算角度的运算即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差求解即可得； （3）先求出，，再设，则，，，然后根据角的和差建立方程，解方程可得的值，最后根据求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴的5倍角的度数为 ． 故答案为：． （2）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴图中的所有3倍角是和． （3）∵是的5倍角，是的3倍角， ∴，， 设，则，， ∵和互为补角， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 例16．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 变式1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 2．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 4．（17-18七年级上·全国·课后作业）如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 根据同角的余角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ，． ． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 二、填空题 6．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若，则的余角是 ，的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义． 根据余角和补角的定义，余角为减去，补角为减去． 【详解】解：的余角：； 的补角：； 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】本题主要考查了余角的性质，掌握同角或等角的余角相等是解题的关键． 根据三角板的性质得出，，再根据余角的性质即可解答． 【详解】解：根据三角板的性质可得：， ∵，， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：，同角的余角相等． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 11．（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． 【答案】(1)余角：，补角： (2) 【分析】本题主要考查的是余角和补角的知识点，两个角互余，则两角相加为，两个角互补，则两角相加为． （1）根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角计算即可． （2）用减去计算即可． 【详解】（1）解：的余角； 的补角． （2）解：的余角的补角． 12．（25-26七年级上·四川自贡·期末）如果一个角的补角比这个角的余角2倍还多10度，这个角是多少度？ 【答案】这个角是． 【分析】本题考查了补角、余角，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握补角与余角．设这个角的角度为度，依题意得方程并解方程解决． 【详解】解：设这个角的角度为度，依题意得， ， 解得：， 答：这个角是． 13．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了方向角的计算、角的和差关系、角平分线的性质，熟练掌握方向角的定义及角的运算规则是解题的关键． （1）先算出的度数，结合，再确定相对于北的方向角． （2）先确定与成平角，再结合的度数求． （3）利用角平分线的性质求出，再结合的度数求． 【详解】（1）解：∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ∴， ∵， ∴， ∵射线的方向是北偏东， ∴射线的方向是北偏东即北偏东； （2）解：∵是的反向延长线， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）综合探究：如图，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图1，_____________°； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分?请说明理由； (3)如图2，设，，试猜想与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)135 (2)平分，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． (1)根据角之间的位置关系和三角板中角的度数，可得； (2)根据可知，，根据角平分线的定义可证，根据同角的余角相等可证结论成立； (3)根据，，可知，根据角之间的位置关系可得，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：平分， 理由如下： ， ，， 平分， ， ， 平分； （3）解：，， ， ， ， ， 即． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则______． (2)在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和与差，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件． （1）利用邻补角定义、角平分线的定义和角的和差的意义解答即可； （2）由第（1）问的求法，可以直接写出的度数； （3）①首先写出和的度数之间的关系，由是直角，平分，，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到和的度数之间的关系； ②首先得到与的度数之间的关系，由，是直角，平分，和的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到与的度数之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案是：； （3）解：①，理由： 设，则， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ②． 理由：∵，， ∴， 即， ∵，， ∴，又， ∴． 化简，得． 16．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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