第08讲 实数及其简单运算（3知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第08讲 实数及其简单运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点2：实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点3：实数的性质及运算 1.性质：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0、乘方运算，而且正数及0)可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【题型1 无理数的概念】 例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握无理数就是无限不循环小数是解决本题的关键． 无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：A、，为分数，是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是分数，是有理数，不符合题意； D、，为整数，是有理数，不符合题意． 故选B． 例2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在数，，，，中，其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数． 先判断每个数的类型：、是无限不循环小数（无理数）；是整数，是无限循环小数，是分数（后三者均为有理数）；统计无理数的个数为2个． 【详解】解：是无理数， 是无理数， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 无理数有和，共 2 个． 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·四川资阳·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数） 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 是整数， ∴ 是有理数； ∴ 无理数共个； 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，是开方开不尽的数，是无理数， ，是分数，属于有理数，不是无理数， ，，是开方开不尽的数，是无理数， ，，是无限不循环小数，是无理数， ，是正整数，属于有理数，不是无理数， 3.14，是有限小数，属于有理数，不是无理数， 3.212212221…（每两个2之间1的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ∴ 无理数共4个。 故选：B． 【题型2 无理数的大小估算】 例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 例4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）估计的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定被开方数所在的平方数范围． 先找出13介于两个相邻平方数之间，确定的取值范围，再减去1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， 两边减1得：． 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的值最接近的整数是7． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·重庆·月考）若，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，化简表达式为，再通过估算的值确定其范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型3 实数概念理解】 例5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 例6．（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 变式1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 变式2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【题型4 实数的分类】 例7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）把下列各数填入相应的集合内： ，，，0，，，，π， ①有理数集合{       …} ②无理数集合{       …} ③整数集合{       …} 【答案】①，，，0，；②，，，；③，0， 【分析】本题考查了实数的分类． 先将各数化简，然后根据实数的分类求解即可． 【详解】解：，，， ①有理数集合{，，，0，，…} ②无理数集合{，，π，，…} ③整数集合{，0， …}． 例8．（2025八年级上·北京·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，，0，，，，，，（每两个2之间依次多一个1） 有理数集合： 无理数集合： 正实数集合： 负实数集合： 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类和概念是解题的关键． 根据实数的分类，逐一判断，即可求解． 【详解】解：，， 有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数， 有理数集合为，0，，，，； 无理数是无限不循环小数， 无理数集合为，（每两个2之间依次多一个1）； 正实数是大于0的实数， 正实数集合为，，，，（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于0的实数， 负实数集合为，． 变式1．（25-26七年级上·山东临沂·期中）把下列各数填在相应的横线上．(填序号) ①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)． (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 【答案】(1)②⑤ (2)①④⑥ (3)③⑦ (4)①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类．立方根． （1）根据正分数的定义判断即可； （2）根据整数的定义判断即可； （3）根据无理数的定义判断即可； （4）根据实数的定义判断即可． 【详解】（1）解：， 正分数：②⑤； （2）解：整数：①④⑥； （3）解：无理数：③⑦； （4）解：实数：①②③④⑤⑥⑦． 变式2．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）把下列各数填在相应的集合内． ，，，，，0，，，，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{   …}； 无理数集合：{   …}； 整数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 正实数集合：{   …}； 负实数集合：{   …}． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查实数的分类及立方根、算术平方根，熟练掌握实数的分类及立方根、算术平方根是解题的关键；因此此题可根据实数的分类进行求解即可． 【详解】解：由可知： （1）有理数集合：{，，，，，….} （2）无理数集合：{，，，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）….} （3）整数集合：{，….} （4）分数集合：{，，，….} （5）正实数集合：{，，，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）….} （6）负实数集合：{，，，，….}． 【题型5 实数与数轴】 例9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积为7的正方形放在数轴上，以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为7的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 例10．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是）．刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“x”和“”，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，几何问题(一元一次方程的应用)，实数与数轴等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“x”和“”， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，解决此题的关键是充分理解大正方形的面积等于两个长方形的面积和小正方形面积的和；根据题意大正方形的面积为5，根据正方形面积求出边长即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为， 则大正方形的边长为， 则点A表示的数是， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为 ； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质和数轴知识 （1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识和实数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意得点C在刻度尺上对应的数为 ； 故答案为：； （2）， 点A与点C所表示的数分别是，， ， 点B在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【题型6 实数的大小比较】 例11．（25-26八年级上·江西九江·月考）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，由于两个分数分母相同，只需比较分子的大小即可． 【详解】解：比较与的大小，只需比较分子与的大小． ∵，，且， ∴， 故． 故答案为：． 例12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键． 先估算，则，再由作差法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“分母相同的分数，分子大的分数值大”以及二次根式的估值方法是解题的关键． 两个分数分母相同，只需比较分子的大小，即可确定分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． ∴． 【题型7 实数的混合运算】 例13．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 例14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1） ； （2） ． 变式1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，化简绝对值，进行计算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型8 程序设计与实数运算】 例15．（25-26八年级上·四川达州·月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得：64的算术平方根为8，8的立方根为2，2的算术平方根是，是无理数，输出； 则输出的的值为． 故答案为：． 例16．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·山东济宁·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 【题型9 新定义下的实数运算】 例17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 例18．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 变式1．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东东营·月考）在实数，，3.14，，中，有理数的个数是（   ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数、有理数、算术平方根与立方根，熟练掌握实数的分类是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据实数的分类即可得． 【详解】解：，，都是无理数， ，，，，都是有理数，共有5个， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间距离的方法是用数轴上右边的数减去数轴上左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 首先根据数轴上，的对应点分别是点和点，可以求出线段的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：数轴上，的对应点分别是点和点， ， 是线段的中点， ， 点表示的数为：． 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点的位置表示的实数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， 点的位置表示的实数为， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）比较大小： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据min的定义，由得，由得，故，结合a和b为两个连续正整数，且，求得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故， ∵a和b为两个连续正整数，且， ∴，，则，， 故． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答； （2）利用平方根，立方根、绝对值进行化简，计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第08讲实数及其简单运算 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含九类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111….③带有根号 的数，但根号下的数字开方开不尽，如√5 ☑知识点2：实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 「正有理数 正数 实数∫有理数：有限小数或无限循环小数 实数 正无理数 无理数：无限不循环小数 0 负数 负有理数 负无理数 3.实数与数轴上的点一一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应， ☑知识点3：实数的性质及运算 1性质：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0、乘方运算，而且正数及0）可以进行开平方运算，任 意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 02 练题型强知识 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型1无理数的概念】 例1.(25-26八年级上陕西咸阳·月考)下列实数中，是无理数的是() A.2.4 B.√2 D.8 例2. (2526八年级上广东深圳期末)在数2，，8,033，中，其中无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1，（2526八年级上四川资阳期中)下列各数3.14159,8,10101001,756，元，号， 22 -27中，无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2.(2526七年级上山东东营月考)在5,2号.2，元，i6,314.32121221(每两个2 之间1的个数逐次增加1)这些数中，无理数的个数为（) A.3 B.4 C.5 D.6 【题型2无理数的大小估算】 例3.(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在数轴上表示实数√2的点可能是() A B C D 01234→ A.点A B.点B C.点C D.点D 例4.(25-26七年级上浙江杭州期中)估计√3-1的值是() A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间 D.在4和5之间 变式1.(25-26八年级上广东梅州月考)下列整数中，与5+√6的值最接近的是() A.7 B.8 C.9 D.10 变式2.(25-26九年级上重庆月考)若n<V6×14-V6)<n+1,则整数的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【题型3实数概念理解】 例5.(2425七年级下·全国·单元测试)下列说法正确的是() A.正实数和负实数统称实数 B.正数、和负数统称有理数 C.带根号的数和负数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 例6.(25-26八年级上·上海宝山·月考)下列说法正确的是（) A.无理数与无理数的和一定为无理数 B.一个数的算术平方根一定不比这个数大 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D.实数可分为有理数和无理数 变式1.(23-24七年级上·浙江宁波期中)下列说法正确的是() A.-4是16的一个平方根 B.两个无理数的和一定是无理数 C.无限小数是无理数 D.0没有算术平方根 变式2.(24-25八年级上·全国.单元测试)下列说法正确的是（) A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数 C.带根号的数和负数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 【题型4实数的分类】 例7.（25-26七年级上黑龙江绥化月考)把下列各数填入相应的集合内： -7,0.32, V2 -125,元，0.1010010001… ①有理数集合{ ②无理数集合{ } ③整数集合{ } 例8.(2025八年级上北京·专题练习)把下列各数分别填入相应的集合里： 5,-3,0, 22,N4,3.14159,8,03,元，1.2121121112（每两个2之间依次多-个1） 有理数集合：{ 无理数集合：{… 正实数集合：{ 负实数集合：{ 变式1.(25-26七年级上山东临沂期中)把下列各数填在相应的横线上.（填序号） ①-6：@号®6：④0：⑤}：@8：@-110101001猴次多-个0. (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 变式2.(23-24八年级上贵州贵阳·月考)把下列各数填在相应的集合内. -.号.号-，0，g”,424.300101（相g秀个12间0的个数i改 加1). 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 有理数集合：{…}： 无理数集合：{…}： 整数集合：{…}： 分数集合：{…}： 正实数集合：{： 负实数集合：{…} 【题型5实数与数轴】 例9.(25-26八年级上河北石家庄·期中)如图，将面积为7的正方形ABCD放在数轴上，以表示实数2 的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E,则点E表示的数为 B E 2 例10.(25-26七年级上·浙江衢州·期中)将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm).刻度尺上的1cm”和“9cm”分别对应数轴上的数x”和“√5”，则x的值为一· √3 pmmpmmmmpmmpmmpmmpmmpmmmmpmm 0 1cm2 34 5 6 8910 变式1.(25-26八年级上·河南南阳·期中)如图1，将两个1×2的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角 三角形，它们与一个边长为1×1的正方形可拼成一个大正方形，将一个1×2的长方形如图2放置，则点A表 示的数是 图1 图2 变式2.(25-26七年级上·浙江温州期中)将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm), 数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为2cm的正方形其中一个顶点落在 点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点C mpmmmmfm 2 3 4 cm (1)点C在刻度尺上对应的数为 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 【题型6实数的大小比较】 例11 (25-26八年级上江西九江月考)比较大小：5 -2 （填“>”、“<”或“=”) 例12. (25-26八年级上辽宁沈阳期末)比较大小：V 3 2(填“>“<或“=”) 变式1.(25-26八年级上四川成都月考)比较大小：2 V5-2 (填“>”、“≥”或“<”) 2 变式2.(25-26八年级上山东青岛期中)比较大小7-1 2 3 3 【题型7实数的混合运算】 例13.（2025八年级上全国专题练习)计算： 5-2+5-2-2-: es+v可-得 例14.(25-26八年级上江苏扬州·期中)计算： (1)V-5)2+9-(5)月 21-2+-27-16 变式1.(25-26八年级上江苏无锡·月考)计算： (0)4+3-27-(-1）2； 2)5-V-22+π-3. 变式2.(25-26八年级上河北石家庄·期中)计算： 0)5+125+V3-2: ②5+4+ 27 64 +(-1)2025 【题型8程序设计与实数运算】 例15.(25-26八年级上·四川达州·月考)按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y 的值是一· 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是无理数 输入x 取算术平方根 是有理数 是无理数 输出y 取立方根 是有理数 例16.(24-25七年级下·安徽芜湖期中)有一个数值转换器，流程如图：当输入x的值为36时，输出y的 值是 输入x 是否无理数 是 取算术平方根 输出y 否 变式1.(25-26七年级上山东济宁月考)如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为-64时，输 出的值是」 是 X 输入x x≥0 少是有理数 输出y 变式2. (25-26七年级上·浙江杭州·期中)小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： 是有理数 输入x值 取算术是有理数、 是无理数 平方根 取立方根 输出y 是无理数 (1)当输入x的值是64时，输出的y值是 (2)分析发现，当实数x取时，该程序无法输出y值.（写出所有的情况） 【题型9新定义下的实数运算】 例17.(25-26八年级上黑龙江大庆期末)现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab-a+b.则√※-8的 值为 例18.(24-25七年级下·全国周测)定义：对于任意的实数a,b,有a*b=a2+6+1.例如： 1*(-8)=12+-8+1=0,则[(-2)*64]*1= 变式1.(25-26八年级上江西吉安·月考)定义新运算：对于任意实数a、b,都有，比如a⊕b=a-b+1 ,数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：2田5=2-5+1=4，则√5⊕3的值为一 变式2.(25-26七年级上全国期末)对于实数P,我们规定：用{√D}表示不小于√下的最小整数.例如： {4=2,{V5=2.现在对72进行如下操作：721*→{V72=9第2→{)=3*→{V5=2,即 对72只需进行3次操作就变为2.类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为一 03 串知识识框架 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数无 限不循环小数又叫无理数 知识点：无理数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数 2实数的分类 实数及其简单运算 知识点2：实数 3实数与数轴上的点一一对应. 1性质：一个正实数的绝对值是它本身：一个负实数的 绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 2实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0 知识点3：实数的性质及运算 乘方运算，而目正数及0)可以进行开平方运算，任意一 个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有 理数的运算法则及运算性质等同样适用. 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26七年级上山东东营·月考)在实数刀，√5， 49 V100 -1,314.27,-写01010101中，有理 数的个数是() A.5个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26八年级上·全国期末)数轴上表示1，√2的点分别为A,B,点A是BC的中点，则点C所表示 的数是() C A B 0 1 v2 A.√2-1 B.1-√2 C.2-√2 D.2-2 3.(2425七年级下全国周测)若a=3,b=丽，c=54,则a,6,c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 4.(25-26七年级上·浙江杭州期中)如图，将直径为2的圆形纸片上的点与数轴上表示-1的点重合，将纸 片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则B点表示的数是() 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 A.-1-π B.-2π C.-1-2π D.-2π+1 5.（24-25八年级上广东佛山期末)在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是() 是有理数 是无理数 输入x值 取算术是有理数 取立方根 平方根 输出y 是无理数 A.2 B.2 C.√2 D.8 二、填空题 6.(25-26八年级上江苏宿迁期中)比较大小：-√5 -√6（填“>”或“<”或“=”). 7.(25-26七年级上山东临沂期中)若m,n是两个连续整数，且m<-√22<n,则m+n= 8.(24-25八年级上四川成都期中)若3+√的整数部分是a,3-√5的小数部分是b,则 2a-b= 9.(25-26八年级上·河北邢台月考)如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴 上表示-√97的点重合，乙的右端与数轴上表示√⑨7的点重合，则纸条重叠部分的长度为 乙13 B -V97 甲15 97 10.25-26八年级上江苏泰州月考)对于实数a,b,定义min{a,b的含义为：当a<b时，min{a,b}=a .例如：min1,-2=-2.已知min{√29，a=a,min{V29,b}=29,且a和b为两个连续正整数，则 √ab-min2,a的值为 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏无锡·月考)计算： (1)-32+V16+27 2)-8+-22-1-2 12.(25-26七年级上黑龙江绥化期末)计算： ()8+4-V-3)2+1-V2 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 o--〔 13.(25-26八年级上江苏徐州期中)把下列各数填在相应的横线上 125,125,√2,5，-3， 有理数： 无理数： 14.(25-26八年级上，安徽宿州月考)如图，一只瓢虫从点M沿数轴向右爬了2个单位长度到达点N,点 M表示的数m为-√3.设点N表示的数为n ，4 -2M10N12→ (1)实数的值为； (2)数轴上还有P,Q两点分别表示实数P和q,且2p+4与√g-3互为相反数，求m2+p+9的算术平方根. 15.(25-26八年级上江苏泰州期中)我们用[a]表示不大于a的最大整数，a-[a的值称为数a的小数部 分，如[3.43]=3,3.43的小数部分为3.43-3.43引=0.43. )V8]=- (2②)设5的小数部分为a,求a+[2-3的值： (3)已知6-√5=x+,其中x是整数，且0<y<1,求x-y的值. 9/9