第14讲 解二元一次方程组（2知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第14讲解二元一次方程组 Q风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个 方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数 式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解 该一元一次方程.③利用己求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解 ☑知识点2：加减消元法解二元一次方程组 1)加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或 相减，消去一个未知数的方法， 2)加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别 相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求 解出另一个未知数的值 02练题型强知识 【题型1用含一个字母的代数式表示另一字母】 例1.(25-26八年级上江西鹰潭·月考)把方程7x-5y=2改写成用含x的式子表示y的形式是」 例2.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)将方程5x-6y=12变形：若用含y的式子表示x,则 x= 变式1.(25-26七年级上内蒙古兴安盟·期中)将方程2x+3y=6写成用含x的代数式表示y,则 y= 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=3+t 变式2.(25-26八年级上山东济南月考)已知 y=3-2’则用含的式子表示y为 【题型2代入消元法解二元一次方程组】 例3.（25-26七年级下·全国·课后作业)用代入法解下列方程组： 、y=2x-3 03x+2y=8 4x-y=27 22x+3y=3 例4.(2025八年级上·全国专题练习)用代入消元法解下列二元一次方程组： y=2x-5 (1) x-2y=1 [2s=3t (2)3 2t+5 S=- 3 变式1.(2025八年级上·全国.专题练习)用代入法解方程组： y=x-5 四2x+y=4 y=5-x (2) x-y=-19 变式2.(24-25七年级下·全国·周测)用代入法解下列方程组： ∫2x-y=2① 4x+5y=11② x+y=3① (2②)5x-3x+yW=1② 【题型3加减消元法解二元一次方程组】 例5.(25-26八年级上陕西西安·月考)解方程组： x+y=7 (1) 2x+4y=16 x-y+1=1 (2)23 3x+2y=10 例6.(25-26七年级下·全国·课后作业)用加减消元法解下列方程组： 、x-y=1① (03x+2y=82 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [2x+3y=7① (2②3x+2y=82 变式1.(25-26七年级下·全国课后作业)用加减消元法解下列方程组： x+3y=6① (1) x-y=2② [3x-2y=11① (2) x+2y=1② 变式2.(25-26七年级上·黑龙江绥化期中)解方程组 「4x+y=15 03x-2y=3 [2(x+1)=y-5 240y-1)=2(x+3) 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 例7.(25-26八年级上河北保定·月考)有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： x-y=2① 2x+y=4② 解：①+②，得x=6...第一步 将x=6代入①，得6-y=2..第二步 解得y=4..第三步 x=6 所以原方程组的解为 y=4第四步 (①)该解答过程在第 步开始出现错误. (2)请写出正确的解答过程 例8.(25-26八年级上江西九江月考)下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 的任务， 2x-3y=-7① 解方程组： 3x+2y=-4②1 解：①×2，得4x-6y=-14,③第一步 ②×3，得9x+6y=-12,④第二步 ③+④，得13x=-26,解得x=-2,第三步 把x=-2代入①，得y=-1,第四步 :原方程组的解为 x=-2 y=-11 第五步 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)小贤求解二元一次方程组的方法叫作法，以上求解步骤中，第 步开始出现错误 (2)请写出此题正确的解答过程， 变式1.(25-26八年级上·山西运城月考)下面是小林同学解二元一次方程组 x-y=3 2x+3y=16的过程，请认真 阅读并完成相应任务. 解： x-y=3,① 2x+3y=16.②0得，x=3+y③ 第一步 把③代入②，得2(3+y+3y=16. 第二步 整理，得6+y+3y=16. 第三步 解y-号 第四步 x=1 把-号代入@，得 2 第五步 2 .所以该方程组的解为 1 y=2 任务一： ①以上求解过程中，小林用了 消元法.（填“代入”或“加减”) ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解。 x-y=1 变式2.(25-26八年级上山西大同月考)(1)解方程组： 5x+2y=4 2m-3n=-2① (2)小明在解方程组 3m+2n=10②’具体解法如下： 解： ①×3得：6m-9n=-6③（第一步) ②×2得：6m+4n=20④（第二步) ④-③得：-5n=26(第三步) 所以：n= 26 将a答代入①待：m 44 (第四步) 5 44 m=- 所以这个方程组的解是 5 26 n=- 5 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做 (填“代入消元法”或“加减消元法”)，以上求解步 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 骤中，第一步的依据是 任务2：以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是 【题型5己知二元一次方程组的解求参数】 x=2 例9.若关于x、y的方程kx+2y=6的一个解是 y-4'则k= ax+y=1 x=-1 例10.(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)关于x5的方程组 x+by=-3 的解为 则a+b的 值是() A.-2 B.-1 C.0 D.1 2x+3y=■ x=2 变式1.(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)方程组 的解为 x+2y=6 y=★'则“。★”表示的数分 别是() A.10,2 B.10,3 C.12,2 D.12,3 ax+y=2 (6r-y=6的解是 x=2 变式2.(2025山东·模拟预测)若关于，y的二元一次方程组 y=-4'则a=, b= 【题型6己知二元一次方程组解的情况求参数】 2x-y=5k+6 例11. (24-25七年级下·全国.单元测试)若关于x,y的方程组 的解满足x+y=2024,则k 4x+7y=k 的值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 x-y=k+5 例12.(24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习)若关于x,y的二元一次方程组 3x+2y=k 的解满足x+y=2, 则k的值为」 4x-3y=6 变式1.已知m是整数，方程组 6x-m=26有正整数解，则m的值为() A.4 B.-4 C.±4 D.4或5 2x+y-6=0① 变式2.(24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习)已知关于x,y的二元一次方程组 2x-2y+my+8=0② (1)若方程组的解满足x-y=0,求m的值 (2)无论数m取何值，方程2x-2y+1y+8=0总有一个固定的解，请求出这个解. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型7构造二元一次方程组求解】 例13.(24-25七年级下广东广州期中)若实数x,y满足(4x+3y-1)2+√2x-y+7=0,则x= 例14.（2025八年级上全国.专题练习)已知方程2x2m-"+4y3m-2m=1是关于x和y的二元一次方程，则 m- 变式1.(23-24七年级下·全国·单元测试)对于有理数x,y定义新运算：x*y=ax-by+5(a,b为常数).已 知1*3=10，（-3)*3=2，则ab= 变式2.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨月考)对于x、y定义一种新运算“”：xy=x-y,其中a、b 为常数，已知2(-1)=17,13=5，那么2(-3=_ 【题型8利用同解方程组的问题求解】 2x+ay=10 例15.(25-26八年级上·全国·期末)若方程组 x-y=-2.5 3x+4y=135和 x-y=-1.5同解，则a的值是() A.2 B.3 C.4 D.不存在 例16.（25-26八年级上·全国·课后作业)已知关于x,y的方程组 x+y=5 2x-y=1 l4ar+5by=-22与 r-,-8=0有相同的 解，则a+b的值为 2x+3y=19,3x-2y=9 变式1.(24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔期末)关于x,y的方程组{ ar+y=】与bx+aw=7有相同的 解，则a+4b-3的值为 2x+y=-2 变式2.(24-25七年级下·四川泸州阶段练习)己知方程组 ar-y=-g和方程组 [bx+ay =-4 3x-y=12 的解相同，求 (2a+b)2025的值. 【题型9二元一次方程组的有关的新定义型问题】 例17.(24-25七年级下·山东威海期中)定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中α，b为常数，且1*2=5 ,2*1=6,则2*3=() A.8 B.4 C.3 D.10 例18.（24-25七年级下·浙江湖州·期中)对x,y定义一种新运算“※”，规定：x※y=x+y(其中m,n 均为非零常数)，若1※1=4,1※2=3，则2※1的值是（) A.3 B.5 C.9 D.11 变式l.规定新运算：m★n=am+bn,其中a,b是不等于0的常数，且a≠b.已知x★y=a,y★x=b, 则y的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(24-25七年级下·浙江杭州阶段练习)对于实数，规定新运算：x*y=ax+by,其中a、b是常数.已 知2*3=7，(-1)*(-3=-5. (I)求a、b的值： (2)求1*5的值. 03 串知识识框架 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未 知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程， 解 进而求解这个二元一次方程组的方法 二元 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方 知识点1：代入消元法解 程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代 二元一次方程组 入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一 次方程.③利用已求解的末知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将 这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个末知数的方法. 次方程组 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对橡的系数化为相等或相反形 知识点2：加减消元法解 式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元 二元一次方程组 一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个 未知数的值 过关测稳提升 一、单选题 5x-3y=9 1.(25-26八年级上河南郑州月考)用代入消元法解二元一次方程组 y-2x=6 时，将y-2x=6变形为() A.y=6-2x B.y=6+2x C.y=2x-6 D.y=-2x-6 x-3y=2① 2.(25-26八年级上·河北张家口月考)解二元一次方程组 过程中，下列变形正确的是()· 3x-y=0② A.由①得x=3y-2代入②消去x B.由①得x=2-3y代入②消去x C.由②得y=3x代入①消去y D.由②得y=-3x代入①消去y 3.(25-26八年级上河南鹤壁期中)若(3x+2y-18)2+2x+y-11=0,则x+y的平方根是() A.7 B.7 C.±√万 D.√7 2x+y=3k+2 4.(25-26七年级上贵州铜仁期末)已知关于x,y的方程组 3x-2y=-k+5’若x-3y=1,则k的值为 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 1 B. 4 C. D.2 1 a b 5.（25-26七年级上·安徽阜阳·月考)对于任意有理数a,b,c,d,我们规定 =ad-bc,已知x, c d y同时满 x=-5, 5 y -14 =-1则满足条件的x和y的值是() -3x x=2 x=-2 X=-2 x=2 A. D y=-3 y=3 y=-3 y=3 2x-y=6。，则下列结论错误的 x+3y=5-3a 6.(25-26八年级上陕西西安·月考)已知关于x,y的二元一次方程组 是() A.当a=-5时，方程组的解x,y的值互为相反数 B.无论a为何值，4x+5y的值始终不变 C。当a=时，方程组的解x,y的值相等 D.当a=-}时，方程组的解满足方程x+y=2 3 二、填空题 7.(25-26八年级上山东·期末)以方程组 x-y=5 的解为坐标的点(x,y),在直角坐标系中所在的象限 x+y=-1 是」 8.(25-26八年级上·山东青岛月考)已知|x-3y+61+(x+2y-2)2=0,则x= y= 3x+2y= 9.(25-26八年级上广东深圳期中)若 少=6是二元一次方程组 X= 2x+3y=3 3的解，则 2a-2b+2025= 2x+y=4 10.(25-26八年级上·广东揭阳月考)已知关于x,y的二元一次方程组 4x+3y=2m+2的解满足x+y=2, 则实数m的值为一· ax+by=4,① 11.(24-25七年级下，全国课后作业)已知关于x,y的方程组 ax-by=-5.② 现甲看错了①中的a,得到方 x=1 x=1 程组的解为 y=-2 乙看错了②中的b,得到方程组的解为 ,则a= y=- ，b= 12.(23-24九年级上浙江温州自主招生)关于x、y的方程组 ax+by=G的解是 x=4 则方程组 ax+bay=C2 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [ax-by=3a-b+2c的解为」 a2x-b2y=3a2-b2+2c2 三、解答题 13.(25-26八年级上·山东枣庄·月考)解下列方程组： y=2x+2 003x-y=3 2x-5y=4 213x+2y=6 14.（25-26八年级上·广东深圳期中)解二元一次方程组： y=3x-1① (1) 2x-y=-3② (x+2-y=0① (2)3 5x+3y=5② 15.(25-26八年级上山西太原·月考)下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的 任务 2x-3y=-4① 解方程组： 4x-5y=-20② 解：①×2得4x-6y=-8③第一步 ②-③得-y=-12...第二步 y=12第三步 将y=12代入①得x=16..第四步 x=16 所以，原方程组的解为 第五步 y=12 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 消元法，其中第一步的依据是 (2)第 开始出现错误，这步的正确结果应为 (3)直接写出该方程组的正确解： 16.(24-25七年级下·陕西汉中期末)已知关于x,y的二元一次方程组 8 (ar-=6的解相 同，求a+5b的值. 17.(25-26七年级上·安微阜阳·月考)已知关于x,y的方程组 3-2=+3 -2x+3y=-3k-1 (1)若k=4,求这个方程组的解： (2)若这个方程组的解满足x+y=7,求k的值. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(25-26八年级上江苏扬州月考)在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义： 专-号和无-名两个值中的最大值叫做点P的领斜系数么. (1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值； (2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,且a+b=3,求点P的坐标. 10/10 第14讲 解二元一次方程组 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点2：加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 【题型1 用含一个字母的代数式表示另一字母】 例1．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）把方程改写成用含的式子表示的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 例2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键；把看作已知数，根据等式的性质求出即可． 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时除以5，得，即； 故答案为． 变式1．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）将方程写成用含的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程．把方程看作是关于y的一元一次方程，然后解关于y的方程即可． 【详解】解：移项得：， 整理得：， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·山东济南·月考）已知，则用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另一个未知数． 根据，把用表示出来，然后再把代入进行化简即可． 【详解】， 将①变形为③， 将③代入②中， 即， 所以， 故答案为：． 【题型2 代入消元法解二元一次方程组】 例3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键： （1）直接利用代入法进行求解即可； （2）将第一个方程变形后，利用代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （2）， 由①，得， 把③代入②，得，解得； 把代入③，得； ∴方程组的解为． 例4．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入消元法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法成为解题的关键． （1）将代入消去y，即可求得x，进而求得y即可； （2）将代入消去s，即可求得t，进而求得s即可； 【详解】（1）解：， 将代入， 可得：， 解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． （2）解：， 将代入， 可得：， 解得：， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． （1）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； （2）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； 【详解】（1）解：， 代入消元：将①代入②得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 将代入①式，得 ， ∴方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； 变式2．（24-25七年级下·全国·周测）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把①变形为③，把③代入②即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把①代入②即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （2）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 【题型3 加减消元法解二元一次方程组】 例5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法与步骤是解本题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可． （2）先将方程组整理变形，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得． ∴． 把代入①，得， 解得． ∴原方程组的解是； （2）解：∵， ∴方程组整理为， 得． ∴． 把代入②，解得． ∴原方程组的解是 例6．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2），得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 变式2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用加减消元法消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解． （1）将第一个方程乘2，与第二个方程相加消去，求出后代入求； （2）先整理方程组为标准形式，再通过两方程相减消去，求出后代入求． 【详解】（1）解： ①得： ③ ③②得：，解得 将代入①得：，解得． ∴方程组的解为． （2）解：整理方程组得 ①②得：， 将代入①得：，． ∴方程组的解为． 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 例7．（25-26八年级上·河北保定·月考）有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 (1)该解答过程在第___________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．①加②消去未知数，把二元一次方程组化成一元一次方程，求出，再把值代入①求出即可． 【详解】（1）解：该解答过程在第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解答过程如下： ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 例8．（25-26八年级上·江西九江·月考）下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③  第一步 ，得，④  第二步 ，得，解得，第三步 把代入，得，  第四步 ∴原方程组的解为．  第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作_____法，以上求解步骤中，第_____步开始出现错误. (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1) 加减消元法 四 (2) 过程见解析 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据加减消元法的步骤判断即可； （2）将两方程同一未知数的系数变成相同或相反，然后相加或相减消去一个未知数进行求解即可． 【详解】（1）解：根据解题步骤分析，这种解方程组的方法是加减消元法； 在第四步代入的值解时运算出现错误， 故答案为：加减消元法；四； （2）解：正确的解答过程为： 得：③ 得：④ 得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为． 变式1．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 变式2．（25-26八年级上·山西大同·月考）（1）解方程组：； （2）小明在解方程组，具体解法如下： 解： 得：③（第一步） 得：④（第二步） 得：（第三步） 所以： 将代入①得：（第四步） 所以这个方程组的解是． 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________； 任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________； 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________． 【答案】（1） （2）任务1：加减消元法，等式的性质 任务2：三，时合并同类项计算出错 任务3： 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可． 【详解】解：（1） ，得 ， ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． （2）任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； 任务2： 第三步出现错误，原因是时，合并同类项计算出错； 故答案为：三；时合并同类项计算出错． 任务3： 得：③ 得：④ 得： 所以： 将代入①，得 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 例9．若关于、的方程的一个解是，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入原方程，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为7． 故答案为：7． 例10．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将代入得出关于的二元一次方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程组的解为， ∴，解得： ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组即可得到以“■”“”为未知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：A． 变式2．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【题型6 已知二元一次方程组解的情况求参数】 例11．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出，代入计算即可求出k的值． 【详解】解：记， 则①②，得， 整理，得． 代入得， 解得． 故选：B． 例12．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】15 【分析】通过加减消元法先解二元一次方程组，用k表示x、y，再将x、y代入，解关于k的方程即可；本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得， 解得； 把代入得， 解得； 把、代入得， 解得． 故答案为：15． 变式1．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． （1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出； （2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 【题型7 构造二元一次方程组求解】 例13．（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 例14．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 变式1．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么 ． 【答案】19 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：利用题中的新定义化简得：， 解得：， ． 故答案为：19． 【题型8 利用同解方程组的问题求解】 例15．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 例16．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】将与组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，即可得到结论． 【详解】解：由题意可将与组成方程组， 解得：， 把代入得：①， 把代入得：②， ①与②组成方程组得， 解得， ∴． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由题意可得方程组，利用加减消元法解方程组得出，把代入方程组，得，利用加减消元法求出，的值，最后把，的值代入计算即可． 【详解】解：由题意，得方程组， 解得：， 把代入方程组，得， 解得：， ． 【题型9 二元一次方程组的有关的新定义型问题】 例17．（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 例18．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 变式1．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）若，则的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求平方根． 利用平方和绝对值的非负性，得到二元一次方程组，解方程组求出x和y，再计算，最后求平方根． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即方程组：， 解得：， ∴， 7的平方根是． 故选：C． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求出，进而根据求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·山东·期末）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 ． 【答案】第四象限 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点．通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组， 将两方程相加得，解得； 代入得，解得， 故点的坐标为， 由于，，符合第四象限点的坐标特征， 故答案为：第四象限． 8．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由非负数的性质，得，， 解方程组，将两式相减，得，， 即， 解得， 代入第二式，得，， 解得， 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是二元一次方程组的解，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查二元一次方程组的解以及已知式子的值求代数式的值，解题关键在于熟练掌握加减消元法； 先把解代入方程组，然后利用加减消元法得到的值，再整体代入即可． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 得：， ∴， 故答案为：2023． 10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可． 【详解】解：由， 解得， 将代入得， 解得． 故答案为：3． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和灵活运用代入消元法与加减消元法是解题的关键． （1）观察方程组，方程①已给出关于的表达式，将其代入方程②消去，求解一元一次方程即可得到的值，再回代求出； （2）先将方程①去分母整理，然后利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得， ， 将代入①，得 所以原方程组的解是； （2）解：①，得③ ③+②，得： 将代入②，得 所以原方程组的解是． 15．（25-26八年级上·山西太原·月考）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 16．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 17．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入方程组得，再利用加减法解答即可求解； （）利用加减法可得，即得，再解方程即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②，得， ， ， 解得． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $