第06讲 平方根（3知识点+13大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第06讲平方根 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：x2=a,那么数x就叫做a的平方根，记作±√a, 读作“正负根号a”, (2)表示方法：一个数a(a≥0)的平方根记作±√a(a≥0，读作根号a,“正负根号a”, (3)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 ☑知识点2：算术平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根， 记作√a,读作“根号a”, (2)表示方法：非负数a的算术平方根记作√a,读作根号a, (3)性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即√0=0；③负数没有算 术平方根，当式子Va有意义时，a一定是一个非负数。 ☑知识点3：开平方 (1)定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； (2)Va2与（√a)2(a≥0的性质： 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a(a>0), 1)a=la={ 0(a=0), -a(a<0) (2)(a)2=a(a≥0) (3)√a2与(a)2的区别与联系 区别：取值范围不同：√a2中a为任意实数； a中a20; 被开方数不同：√2中被开方数为d: (Va中被开方数为a: 运算顺序不同：√匠先平方再开方； a 先开方再平方。 联系：√结果为非负数； a'中≥0时，va-Wa)i 练题型强知识 【题型1平方根概念理解】 例1.下列哪个数没有平方根() A.1.21 B.-4 C.0 D.(-2 变式1.下列说法正确的是() A.0的平方根是0 B.4的平方根是2 C.负数有2个平方根 D.正数只有1个平方根 变式2.下列说法中，正确的是() A.√4的平方根是±2 B.(-3)的算术平方根是-3 C.0的平方根与算术平方根都是0 D.带根号的数都是无理数 【题型2求一个数的平方根】 例2 81的平方根是 1 变式1.化简：±√4=一· 变式2.16的平方根是；2的算术平方根是 【题型3己知一个数的平方根，求这个数】 例3.已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3-4a,则这个正数是 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.一个数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则这个数是」 变式2.若3a-7和a+3是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 【题型4求代数式的平方根】 例4.若a是√90的整数部分，b是√3的小数部分.则a+b-√5+1的平方根是一 变式1.若Vx+2+y+8=0,则√罗的平方根为 变式2.已知实数x,y满足y=√-3+√3-x+2,则的平方根为 【题型5利用平方根解方程】 例5.求下列各式中x的值. (1)4x2=9; (2)x-22=16. 变式1.求x的值：(x-1)2-36=0 变式2.解方程：（2x-1-64=0. 【题型6算术平方根概念理解】 例6.下列说法正确的是() A.√25表示25的算术平方根 B.-√2表示2的算术平方根 C.2的算术平方根记作±√2 D.2是√2的算术平方根 变式1.算术平方根是它本身的数是() A.0和1 B.1和-1 C.2和-2 D.0和±1 变式2.如果2-6a有算术平方根，那么a可以取的值为() A.3 B.2 C.1 D.0 【题型7求一个数的算术平方根】 例7. 49的算术平方根是」 1 变式1.0.09的算术平方根是 9 变式2 的算术平方根是 V4 【题型8利用算术平方根的非负性解题】 例8.己知x,y为实数，且x-2+√y+1=0,则y的值为 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.已知有理数a,b满足a-1+√a+b-3=0,则(a-b)25=_ 变式2.若a,b,c是ABC的三边，且a-8+(b-15)2+√c-17=0,则ABC的面积为 【题型9求算术平方根的整数部分和小数部分】 例9.若设4+√5的整数部分为a,则a的值为 变式1.√5的整数部分是a,小数部分是b,则a-b的值是 变式2.己知：m、n为两个连续的整数，且m<√0<n,则m-n= 【题型10利用算术平方根的性质化简】 例10.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简V匠+V-a)的结果为 a 0 变式1.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：Va-b2+Vb-c+3a+c a 0b 变式2.(1)计算5F=-6-:=-:=- (2)根据(1)中的计算结果可知，√a2= (3)利用上述规律计算：实数a、b在数轴上的位置，化简√匠-√B-Va-b2 2 【题型11与算术平方根有关的规律探索题】 例11.观察下表，并解决问题 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或 向左)移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位， (2)已知V0.2≈0.4472，√2≈1.414，则√20≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知0.3≈0.6694,5≈1.442,30≈3.107，则300≈ 变式1.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)观察算式规律，计算√5×9+4=-；V16×20+4=-· (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：一 (3)计算：V1×5+4-√2×6+4+V3×7+4-√4×8+4+…+√2021×2025+4. 变式2.(1)填表： 0 0.000001 0.0001 0.01 100 10000 √m 0 0.001 0.1 100 (2)规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动 位，则√m的小数点就相应地 移动 位： ②当m>1时，若正数m越大，则√m也越大。 (3)尝试运用：已知V169=13,√m=1300,求m的值； (4)灵活应用：当m≥0时，比较√m和m的大小 【题型12算术平方根的实际应用】 例12。天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离5（单位：千米）可用公式y_125h米估计，其中方（单 8 位：米)是眼睛离海平面的高度 (1)如果小天站在岸边观察，当眼晴离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A,已知小天眼晴离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10 千米处的一个货轮B,则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 变式1.在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为400℃m2的正方形框架，该同学计划用同样 长的一根铁丝围一个面积为300℃m的长方形框架，且长与宽的比为5：3. (1)求正方形框架的边长， (②)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断， 变式2.小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系。 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间： 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间2· 己知一个物体从高处自由下落时，下落高度h(米)和下落时间t（秒)可以用公式t= h 来表示。 V5 (1)请利用公式，求的值： (②)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半.”小悦说：“你一定是记录错了.” 两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由， 【题型13算术平方根与平方根综合问题】 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例13.已知2a-1的平方根是3，a+3b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值： (2)求ab+5的平方根. 变式1.已知3a+3的平方根为3,4+2b的算术平方根为4. (1)求a,b的值： (2)求b-3a的平方根. 变式2.己知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和4-3n. (1)求m和的值； (2)若a-4+Vb+(c-n)=0,求a+b+c的算术平方根. 03 串知识识框架 定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于ā，那么 数x就叫做a的平方根 知识点：平方根 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数： 0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根 平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于 a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根 性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为 知识点2：算术平方根 正；②0的算术平方根为0；③负数没有算术 平方根 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上海南海口·期中)下列结论中，正确的是（) A.-4的平方根是±2 B.0没有平方根 C.1的算术平方根是1 D.V16的平方根是±4 2.(24-25七年级下·全国课后作业)下列各式中，正确的是() A.V22=2 B.±√8I=9 C.16=8 D.-V(-3)2=3 3.(25-26八年级上山东聊城月考)一个正数b的平方根为a+1和2a-7,则b=() A.2 B.3 C.9 D.±3 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上河南开封期中)若√x+3+(y-2)2=0,则x的平方根是() A.-3 B.3 C.3 D.2 5.(24-25八年级下·云南红河·期末)按一定规律排列的单项式：a,√2a3,√3a3，√4a,V5a，; 第n个单项式为() A.na" B.Vn+la2-1 C.Vna2n-1 D.Vna2m刊 二、填空题 6.(2025九年级上江苏南京.专题练习)16的平方根是 √25的算术平方根是 7.(25-26八年级上河北石家庄期中)一个正数的两个平方根分别是3a-2和12-5a,则a的值为一· 8.(25-26八年级上福建泉州·月考)已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是一 9.(25-26八年级上·四川内江·期中)已知实数x,y满足y=√x-5+√5-x+2,则x'的平方根为 10.(25-26八年级上江苏泰州期中)小明利用计算器得到√26.86≈5.183，√2.686≈1.639.根据这些数据 猜想：√268.6≈」 三、解答题 11.(2025八年级上·全国.专题练习)求下列各数的算术平方根和平方根： (1)36; (2)0.64: (4)7; 3, o 12.(24-25七年级下全国·课后作业)解方程： (1)(x-1)2-4=0. (2)4(3x+1)2-1=0. 13.(25-26八年级上江苏盐城期中)已知：一个正数的两个不同平方根分别是x+2和-2x+2. (I)求x的值； (2)求2x+1的算术平方根. 14.(25-26七年级上山东威海·期中)(1)已知一个正数m的两个不相等的平方根a+6与2a-9,求这个正 数m的值； 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知3a+1的平方根是±5,2a+b-11的算术平方根是4，求√2a+3b的平方根 15.(25-26八年级上山东枣庄期中)一个数值转换器，如图所示： 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x为16时，输出的y值是 (②)若输出的y是√5，请写出两个满足要求的x值： (3)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由 16.(25-26八年级上·福建漳州·月考)【实践与探究】 计算：(1)32=一，V0.52=,V02=，-62= 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想Va2与α有怎样的关系？请用数学式子描述出来： (3)利用你总结的规律，计算： ①若x<2,则Vx-2}2=；②3.14-π2= 8/8 第06讲 平方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点2：算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点3：开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【题型1 平方根概念理解】 例1．下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B． 变式1．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 变式2．下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数 【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答． 【详解】解：A、 的平方根是，故该选项错误； B、 的算术平方根是3，故该选项错误； C、 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确； D、 带根号的数不一定都是无理数，如，故该选项错误． 故选C． 【题型2 求一个数的平方根】 例2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 变式1．化简：＝ ． 【答案】±2 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】±＝±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 变式2．16的平方根是 ；2的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得． 【详解】解：16的平方根是， 2的算术平方根是， 故答案为：，． 【题型3 已知一个数的平方根，求这个数】 例3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 变式1．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义． 根据平方根的定义列方程求出a的值，即可求出原数． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故答案为：． 变式2．若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由和是某正数m的两个平方根得，求出a的值，进而求出m的值． 【详解】解：和是某正数m的两个平方根， ， 解得：， ， ， 故答案为：16． 【题型4 求代数式的平方根】 例4．若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【答案】/3和/和3 【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，, ∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则， ∴， ∴9的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 变式1．若|，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对值的非负性得到，先求出，再求出的平方根即可． 【详解】解：因为， 所以0，， 解得， 所以， 所以的平方根为： 故答案为：． 变式2．已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【题型5 利用平方根解方程】 例5．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 变式1．求x的值： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程；移项得，由平方根定义得，即可求解． 【详解】解：移项得：， 则有， 解得：或． 变式2．解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型6 算术平方根概念理解】 例6．下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 变式1．算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可． 【详解】解：算术平方根是它本身的数是0和1； 故选A． 变式2．如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 【题型7 求一个数的算术平方根】 例7．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 变式1．的算术平方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根；据此进行求解即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是． 故答案为：． 变式2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的概念计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根是． 故答案为：． 【题型8 利用算术平方根的非负性解题】 例8．已知，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算，掌握非负数原理是解题的关键． 根据非负数原理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1． 变式1．已知有理数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性． 先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 变式2．若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 【题型9 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例9．若设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围是解题的关键．先确定的取值范围，再据此推出的取值范围，从而得到其整数部分 ． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 在不等式两边同时加，可得， 即， ∴的整数部分 ． 故答案为： ． 变式1．的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．已知：、为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵、为两个连续的整数，且 ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型10 利用算术平方根的性质化简】 例10．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查数轴上的数的大小，算术平方根的求法等，理解题意，熟练掌握算术平方根的化简方法是解题关键． 根据数轴得出，根据算术平方根化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 变式1．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 变式2．（1）计算 ； ； ； （2）根据（1）中的计算结果可知，__________． （3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ． 【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可； （2）根据计算结果归纳可得； （3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简． 【详解】解：（1）3，6，，0； （2）由计算结果可知：； （3）由数轴可得：a＜0＜b， ∴a-b＜0， ∴ = = = 【题型11 与算术平方根有关的规律探索题】 例11．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 变式1．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 变式2．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 【题型12 算术平方根的实际应用】 例12．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【答案】(1)5千米 (2)米 【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． （1）将代入，即可求解； （2）根据题意代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以（舍）或， 答：能看到5千米远； （2）解：当时，可得， 解得， （米）． 则观望台至少离海平面高为米． 变式1．在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为的长方形框架，且长与宽的比为． (1)求正方形框架的边长． (2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2)不能围出这个长方形框架，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用平方根解方程求出，比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为； （2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下： 由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为，得 ， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， ∵， ∴不能围出这个长方形框架． 变式2．小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)小涵说得对． 【分析】本题考查算术平方根的应用． （1）把代入进行计算即可； （2）根据求出，即可判断． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 【题型13 算术平方根与平方根综合问题】 例13．已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 变式1．已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 变式2．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 一、单选题 1．（25-26八年级上·海南海口·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 3．（25-26八年级上·山东聊城·月考）一个正数b的平方根为和，则（ ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根互为相反数的性质，先求出 a 的值，再代入计算 b 的值，即可求解． 【详解】解：∵ 正数 b 的平方根为和， ∴， 解得， ∴ ， 或 ， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南开封·期中）若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 二、填空题 6．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）16的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的知识，16的平方根是平方等于16的数，有两个值；表示25的算术平方根，其值为5，再求5的算术平方根即可． 【详解】解：16的平方根是，，5的算术平方根是，即的算术平方根是． 故答案为：，． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：5 8．（25-26八年级上·福建泉州·月考）已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积是9，则这个正方形的边长是 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的定义，根据算术平方根的非负性求出，再代入求的值，然后计算，最后求其平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根：； (2)算术平方根：；平方根：； (3)算术平方根：；平方根：； (4)算术平方根：；平方根：； (5)算术平方根：；平方根：； (6)算术平方根：；平方根：． 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的正平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，依据质数的开方性质，确定其算术平方根与平方根的表达式； （5）针对，通过二次根式化简的方法，得到它的算术平方根与平方根； （6）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 14．（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 15．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的值是_____； (2)若输出的是，请写出两个满足要求的值：______； (3)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)5和25 (3)0或1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数， 是有理数， 是无理数， ∴当输入的为16时，输出的值是； （2）解：∵输出的是， ∴若输入一次就输出，那么输入的输为， ∴若输入两次就输出，那么输入的输为， ∴若输入三次就输出，那么输入的输为， ……， ∴满足题意的x的值可以为5和25； （3）解：符合要求的x的值为0或1，理由如下： ∵输入有效的值后，始终输不出值， ∴x取算术平方根后一定是有理数，且x的算术平方根再取算术平方根后有一定是有理数， ......， ∴x取算术平方根后的结果再一直取算术平方根的结果都是有理数， ∴x的算术平方根一定要满足等于它本身， ∴x的值为0或1 16．（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $