寒假提前学系列第十一讲：立方根（知识点总结+典例精讲+综合训练）2025-2026学年人教版 七年级数学下册

2025-2026学年人教版（2024）七年级数学下册寒假提前学系列 第十一讲：立方根 （知识点总结+典例精讲+综合训练） 知识点总结 一、立方根的概念及特征 正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0的立方根是0. 一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 立方根的特征： 1、正数的立方根是正数， 2、负数的立方根是负数， 3、0的立方根是0. 2、 互为相反数的两个数的立方根之间的关系 ①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变； ②“先开立方，再立方”与“先立方,再开立方”的结果相同，都等于原数. 典例精讲 1、 求数的立方根 64的立方根是（ ) A． -4 B．4 C．±4 D．8 二、已知立方根求数 立方根是的数是（ ） A． B． C． D． 三、立方根的实际应用 如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（ ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 四、求立方根有意义时，数的取值范围 若有意义，则x的取值范围是 ． 5、 平方根与立方根的综合应用 若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 综合训练 一、选择题 1．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下面有四种说法，其中正确的是（　　） A．的立方根是4 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D． 3．如果，，则（　　） A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872 4． 下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A．9 B． C． D．3 6．若，则的值为（　　） A． B．5 C．15 D．25 7．已知正方体的体积为64，则这个正方体的棱长为（　　） A．4 B．8 C． D． 8．设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（　　） A． B． C． D． 9．现对实数定义一种运算：．则等于（　　） A． B． C．2 D．6 10．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 二、填空题 11． 的立方根是　 　． 12．若，则　 　． 13．如果，那么约等于　 　． 14．比较两个数的大小：　 　2（填“>”或“＜”或“=”） 15． 已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是　 　． 16．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为　 　． 17．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为　 　． 三、解答题 18．计算：． 19．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的算术平方根． 20．我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值． 21．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）化简：； （2）若的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 22．【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数； 第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是； 第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是． 综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则的立方根是________位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 参考答案 1-5 CCBCA 6-10AAABC 11．【答案】-3 12．【答案】3 13．【答案】13.33 14．【答案】＜ 15．【答案】-3 16．【答案】8 17．【答案】 18．【答案】 解： ． 19．【答案】（1）解：∵的平方根是， ∴． ∴． ∴c是的整数部分， ∴． ∵的立方根是2， ∴． ∴． ∴； （2）解：∵， ∴． ∴的算术平方根是5． 20．【答案】解：（1）举例： ，且 ，互为相反数， 则 与 互为相反数（举例不唯一）， ∴结论“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”成立； （2）∵与互为相反数， ∴ ， 解得： ， ∴． 21．【答案】（1） （2）算术平方根为1 22．【答案】（1），，，； （2）解：，，， ， 的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 的个位数字是． 如果划去后面的三位得到数，而，，， ， ，即的十位数字是． ． 学科网（北京）股份有限公司 $