微专题01 幂的运算8种题型（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题01 幂的运算 题型1 直接应用幂的运算性质 幂的运算的核心公式： 1. 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加）； 2. 幂的乘方： （底数不变，指数相乘）； 3. 积的乘方：（每个因式分别乘方，再相乘）； 4. 同底数幂相除：（底数不变，指数相减）。 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选C． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识．根据相关运算法则计算后，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂乘法、除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算正确，符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；     B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型2 幂的运算法则逆用 逆向运用幂的运算公式，将高次幂转化为低次幂，或拆分指数以简化计算： 1. 观察指数关系； 2. 逆向拆分高次幂，转化为已知的低次幂或易计算的形式； 3. 结合乘法分配律等简化计算。 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算法则将原式化为，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，，则_____． 【答案】 48 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用， 幂的乘方的逆用． 将分解为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：48． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为________． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：由，得， 由，得． 故答案为． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）若，，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方． 逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型3 幂的混合运算 综合运用多种幂运算规则（如同底数幂乘除+幂的乘方+积的乘方），需注意运算顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内）： 1. 遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 2. 同类项合并； 3. 符号与系数单独处理。 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是幂的运算，零次幂，负整数指数幂的含义； （1）先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，除法运算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 3．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）先计算同底数幂的乘法和积的乘方，然后计算同底数幂的除法，再合并同类项即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，整式的加减运算，幂的混合运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握有理数、整式、幂的运算法则和解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 题型4 幂的大小比较 通过同底数化或同指数化比较幂的大小： 1. 同底数化：将不同底数的幂转化为同底数； 2. 同指数化：将不同指数的幂转化为同指数； 3. 中间值法：引入中间数（如0、1）比较。 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 4．（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 题型5 求字母或式子的值 通过已知条件，求关于a的高次幂或代数式的值： 1. 逆向运用幂的运算公式； 2. 将未知式子转化为已知条件的组合； 3. 代入已知值计算。 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）若，，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了幂的相关计算． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用以及幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴ 2．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式， ． ∵，， ∴原式． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． ∵，， ∴原式． 4．（25-26八年级上·重庆长寿·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的运算相关知识点，解题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方．运用幂的运算法则对原式进行化简，然后将的值代入即可求解． 【详解】解：化简： 当时，原式． 5．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 6．（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 题型6 幂的等式求解 根据幂的运算等式，求未知指数或底数： 1. 利用幂的运算性质化简等式两边； 2. 等式两边底数相同，则指数相等； 3. 解关于未知数的方程。 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若，，求________；若，则________． 【答案】 12 4 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①根据幂的乘方的逆用和同底数幂乘法的逆用，可得，然后代入计算即可；②等式右边根据幂的乘方的逆用，可得，从而可知，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故答案为：12；4． 5．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为____________． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据已知求值： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)32 (2)11或－5 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘，代数式求值， （1），先逆用幂的乘方，再根据同底数幂相乘法则计算，然后整体代入求值； （2），先逆用幂的乘方求出a，b，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：由， 得， ∴或． 由， 得， 则或． 题型7 新定义运算问题 题目定义新的运算规则，要求根据规则计算： 1. 仔细阅读新定义的运算规则，明确输入与输出的关系； 2. 将具体数值代入规则，按照运算顺序计算； 3. 注意符号与指数处理（如负数的幂）。 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 2．（22-23七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空：_；_；_． (2)计算_，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：_；_；_． (2)计算_，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 5．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 6．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为_． (2)计算：_． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 题型8 实际应用问题 将幂的运算应用于实际问题，考查数学建模能力： 1. 分析实际问题中的数量关系； 2. 建立幂运算模型； 3. 代入数值计算。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）地球的质量约为，太阳的质量大约是地球质量的倍．求太阳的质量． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用和科学记数法，太阳的质量是地球质量的倍，因此将地球质量与倍数相乘即可得到太阳的质量．计算时注意科学记数法的乘法和有效数字的规则． 【详解】解： 太阳质量 ， ∴ ， 答：太阳的质量为． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 【答案】答：该水龙头一天大约漏水立方米 【分析】本题考查科学记数法，用一天漏水的滴数乘以一滴水的体积，进行计算即可． 【详解】解：； 答：该水龙头一天大约漏水立方米． 3．（25-26八年级上·山西朔州·月考）在微生物实验中，为了准确计算细菌菌落数量，常常需要将样品进行稀释，稀释后计数得到的菌落数量需要乘以稀释倍数才能得到原始样品中的实际菌落数量．某次实验的稀释倍数为倍． (1)如果稀释后计数得到的菌落数量为个，求原始样品中的实际菌落数量．（请用幂的形式表示结果） (2)如果原始样品中的实际菌落数量为个，且稀释后计数得到的菌落数量为个，求的值． 【答案】(1)个 (2)4 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意列出算式，求出结果即可； （2）根据原始样品中的实际菌落数量为个，稀释倍数为倍，求出稀释后计数得到的菌落数量，即可得出x的值． 【详解】（1）解：原始样品中的实际菌落数量为： （个）； 答：原始样品中的实际菌落数量为个； （2）解：稀释后计数得到的菌落数量为： ， ∴． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 【答案】1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完． 【分析】此题考查负整数指数幂计算，先求出1滴水的质量，再除以1个水分子的质量即可得到1滴水中水分子的数量；求出每分钟数的数量，利用工作时间=工作总量除以每分钟的工作量求出工作时间． 【详解】解：1滴水的质量为1克克千克， 1滴水中水分子数量为个； 10亿人人， 每分钟计数数量总量为个， 总工作量为个， 总时间为分钟， 分钟年， ∴大约需要31773年才能数完． 5．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． 【详解】（1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01幂的运算 直接应用幂的运算性质 幂的运算法则逆用 幂的混合运算 幂的大小比较 幂的运算 求字母或式子的值 幂的等式求解 新定义运算问题 实际应用问题 点量破 题型1直接应用幂的运算性质 啸方法 幂的运算的核心公式： 1. 同底数幂相乘：a"·a”=a*”(底数不变，指数相加)； 2. 幂的乘方：(am）”=amm(底数不变，指数相乘)； 3. 积的乘方：(ab)”=a"b”(每个因式分别乘方，再相乘)； 4. 同底数幂相除： a=a"(a≠0（底数不变，指数相减）。 1. (25-26八年级上·吉林长春期末)下列计算正确的是() A.a4.a4=2a B.a'b.a'b2=ab2 C.（-3a2bj=9ab2 D.a6÷a3=a2 2.（25-26八年级上·辽宁铁岭期末)下列运算正确的是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.d2+a2=2aB.(a2°=a C.a2.a3=a6 D.a2÷a2=a0 3.（25-26七年级上·上海普陀期中)下列运算正确的是() A.as+as=alo B.as.as=alo C.a3÷a3=0 D.(a）=ao 4.(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)下列计算正确的是() A.a.a=a B.a6÷a2=a C.(2a23=6a D.3a2+a2=4a 5.(25-26八年级上全国期末)计算： 0-3a-(-引 2a2）°-a)÷-a2)月 6.(25-26八年级上北京朝阳期中)计算： (0(xx2-(x: (2-2m2n°+(-3mn2°. 题型2幂的运算法则逆用 嫩方法 逆向运用幂的运算公式，将高次幂转化为低次幂，或拆分指数以简化计算： 1. 观察指数关系； 2. 逆向拆分高次幂，转化为己知的低次幂或易计算的形式： 3. 结合乘法分配律等简化计算。 1. (25-26八年级上甘肃天水期末)已知x3=m,x3=n,则x4用含m、的式子可表示为() A.3mn B.m3+n C.mn D.（mn月 2023 2024 2.(2025八年级上·全国专题练习)计算 的结果是() A c.3 4 D.3 4 3.(25-26八年级上甘肃天水期末)已知am=4,a”=3,则a2m+"=。 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下.陕西咸阳期末)若am=4,am+n=64,则a的值为 5.(25-26八年级上甘肃天水期末)计算2016+(-22015= 6.(25-26八年级上全国期末)若a"=2,a”=3,则a2m-"=一 7.(23-24七年级上·上海浦东新期中)若3=2,3=5，则32-y= 题型3幂的混合运算 啸方法 综合运用多种幂运算规则（如同底数幂乘除+幂的乘方+积的乘方），需注意运算顺序（先乘方，再乘除， 后加减，有括号先算括号内)： 1.遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 2.同类项合并； 3. 符号与系数单独处理。 1. (24-25七年级下·江苏宿迁期末)计算： 0-2+3--得周 (2)x5x2-(2x}+x0÷x2. 2.(24-25七年级下·重庆·期末)计算： a-×-24++-202s (22a}2-3a5.a+a÷a2 3.(24-25七年级下·江苏徐州月考)计算： -+-2+-2 (2a2）3+a3.a-a8÷a2 4.(2025七年级下全国专题练习)(1)计算：a°÷a2a+(a2)-(-2a)月 (2)计算：(x2x3-(-x2x°÷x2 5.(24-25七年级上·四川成都期末)计算或化简： 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0-3f--25+月+ (2)3r2y-(2y2-x2y)+4x2y; (3)a2.a+-a2）'÷a2; ④x-75x4=1. 4 3 题型4幂的大小比较 啸方法 通过同底数化或同指数化比较幂的大小： 1.同底数化：将不同底数的幂转化为同底数； 同指数化：将不同指数的幂转化为同指数； 3. 中间值法：引入中间数（如0、1）比较。 1. （24-25七年级下，全国·课后作业)在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数a,b,c,若b>C ,a≠1，则a>a°；若a>c,则a>c.请运用此规律解决下列问题 (1)比较大小：32095（填>6<”或=”） (2)已知a=35,b=44,c=533,试比较a,b,C的大小. 2.(24-25七年级下·江苏宿迁期中)【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较2,2的大小：当a>b时，2°>2，所以当同底数时，指数越大，值越大： 方法二：比较30和20的大小：因为30=(32)”=920,20=(2)”=820,9>8，所以30>20. 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大. 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：23 24,4327（直接填写>”或“=”或“<”). (2)已知x=45,y=60,试比较x,y的大小. 3.(24-25七年级下，陕西西安期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的 情况下，比较指数（或底数）的大小，如：2>2,55>4，在底数（或指数)不相同的情况下，可以 化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较27与325的大小，因为27=(3)”=3”，30>25，所 以330>325，即2710>325. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)比较16,643的大小： (2)比较255,34,4333的大小. 4.（24-25六年级下·山东淄博·月考)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和41的大小. 解：：4"=2”=22，且3>2， 322>22,即32>41. 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小. 材料二：比较28和82的大小 解：82=(2)2=26，且8>6， 28>25,即28>82. 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. 【方法运用】 (1)比较34、43、522的大小； (2)比较8131、271、91的大小： (3)已知a2=3,b3=4,a>0,b>0,比较a、b的大小； (4)比较32×510与310×52的大小. 题型5求字母或式子的值 啸方法 通过已知条件，求关于a的高次幂或代数式的值： 1. 逆向运用幂的运算公式： 2. 将未知式子转化为己知条件的组合： 3. 代入已知值计算。 1. (25-26八年级上福建漳州期中)若a=2,a”=5,求值： (1)am+"; (2)a3m-2m. 2.(2025八年级上全国专题练习)先化简，再求值：(ab)2-(ab)”,其中a=6,b2”=8. 3.(25-26八年级上全国课后作业)先化简，再求值：(ab)2”-(a2b4)，其中a=6,b2m=8. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上重庆长寿期中)先化简，再求值：(2x2)°-x3x,其中x=-1. 5.(25-26八年级上湖北黄石期中)求值： (I)已知3=a,3y=b,求3+y的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知2"=3,2”=5，求23m+2的值. 6.(25-26八年级上湖北期中)求值： (1)已知2+3×3+3=36+，求x的值； (2)已知n是正整数，且x3m=2,求(3x3m)3+(-2x2")3的值. 题型6幂的等式求解 嫦方法 根据幂的运算等式，求未知指数或底数： 1.利用幂的运算性质化简等式两边： 2. 等式两边底数相同，则指数相等； 3. 解关于未知数的方程。 1.(24-25七年级下.全国课后作业)若(-a3bm)3=-a2m-b2,则2m-n的值为（) A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.(24-25七年级下·全国课后作业)已知2”=x,5”=y,20”=z,则x,y,z之间满足的等量关系式为 () A.x+y=z B.xy=z C.xy2=z D.x2y=z 3.(25-26八年级上山东德州月考)已知32m*2=81,则的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 4.（25-26八年级上·安徽淮南·月考)若ad=2,a=3,求a2+y= ;若32+4=27，则x= 5.（25-26八年级上·云南怒江·月考)若a"=a”(a>0,a≠1)，则m=n.根据此结论，解决问题：若 (8）=26，则x的值为 6.(25-26八年级上，全国·课后作业)根据已知求值： (1)若2x+5y-5=0,求4.32'的值； 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若26=a2=4,求a+b的值. 题型7新定义运算问题 妹方法 题目定义新的运算规则，要求根据规则计算： 1. 仔细阅读新定义的运算规则，明确输入与输出的关系； 2. 将具体数值代入规则，按照运算顺序计算； 3. 注意符号与指数处理（如负数的幂）。 1. (25-26八年级上·福建泉州·期中)在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的 窗口.有一种名为“幂记号的新定义：如果a、b、c是整数，且a=b,那么我们规定一种记号 (a,b)=c,例如：42=16，那么记作(4,16)=2.现已知a、b是正整数，且(2，a=x,(2,b)=y, (2,ab)=z,利用定义可以得到：=·（用含x、y的代数式表示） 2.(22-23七年级上湖南永州期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)，如果a=b,则 (a,b)=c,我们叫(a,b)为“雅对”. 例如：因为23=8，所以2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明 如下： 设(3,3)=m,(3,5)=n,则3m=3,3”=5, 故3m,3”=3m+"=3×5=15, 则(3,15)=m+n, 即(3,3)+(3,5)=(3,15). (1)根据上述规定，填空：(2,4)=_；(5，)=_；(3,27)=_· (2)计算(5,2)+(5,7)=，并说明理由. (3)利用“雅对”定义证明：(2”，3")=(2,3)，对于任意自然数n都成立. 3.(24-25七年级上上海杨浦期中)如果10=n·那么称b为的劳格数，记为b=d(n),由定义可知， 10=n和b=d(n)所表示的b、n两个量之间具有同一关系. (1)根据定义，填空：d(10)= (2劳格数有如下性质：d(mn)=d(m+d(n),dm=d(m-d(n),根据运算性质。回答问题： 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04a] (a为正数) d(a ②若d(2)=0.3010.求d(4、d(5)的值。 4.(24-25七年级下·安徽安庆期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果a=b.我们叫 (a,b)为“雅对”. 例：因为23=8，所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,2)+(3,5)=(3,10)成立.证明如 下：设(3,2)=m,(（3,5)=n,则3m=2,3”=5,故3m.3”=3m+"=2×5=10,则(3,10)=m+n,即 (3,2+(3,5=(3,10). Q)限摆上述规定，填空：(2,16=：(51=；28 (2)计算6,3)+(6,12)=，并说明理由. (3)利用“雅对”定义证明：(3”，2”=(3,2)，对于任意自然数n都成立. 5.(24-25七年级下北京房山期中)定义：如果a=b,那么c为a,b的“甜幂指数”，记为a.b·例如 3=9,那么2为3.g的“甜幂指数”，记为3g·根据定义回答以下问题： (1)若a16,则m=；若元9，则n=: 2 (2)已知a,16,a,4'a,m,x,y,z为正整数，且x+y=2，求m的值： (3)已知当，y为正整数，且a>0时，g-岁成立，且满足a-(a=a,若a,,b,m,n 11 为正整数，且a>0,b>0时，求mm的值. m+n 6.(24-25八年级上·吉林期末)阅读材料. 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉(1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系。 对数的定义：一般地，若a=N(a>0,a≠1)，那么x叫做a为底N的对数，记作x=log。N,比如 指数式23=8可以转化为对数式3=log28,对数式4=log81可以转化为指数式34=81.我们根据对数的 定义可得到对数的一个性质为log。M·N)=log。M+log。N(a>0,a≠1，M>0,N>0).理由如 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 下： 设log。M=m,log。N=n,则M=a",N=d”, .M.N=ama”=am+n, 由对数的定义，得m+n=logM·N), 又：m+n=log。M+log。N, .log.M·V=log。M+log。N. 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题， (1)将指数式5=125转化为对数式为· (2)计算：1og232=_ 求证：1og。=1ogM-10gN(a>0,a≠1，M>0,N>0 (4)直接写出log,2+log:6-1og34的值. 题型8实际应用问题 煤方法 将幂的运算应用于实际问题，考查数学建模能力： 1. 分析实际问题中的数量关系； 2. 建立幂运算模型； 代入数值计算。 1.(25-26七年级下，全国课后作业)地球的质量约为5.98×1024kg,太阳的质量大约是地球质量的3.3×10 倍.求太阳的质量 2.(24-25七年级下·江苏淮安·月考)一滴水约为5x10m3,有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴 水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 3.(25-26八年级上山西朔州·月考)在微生物实验中，为了准确计算细菌菌落数量，常常需要将样品进行 稀释，稀释后计数得到的菌落数量需要乘以稀释倍数才能得到原始样品中的实际菌落数量.某次实验的 稀释倍数为2倍。 (1)如果稀释后计数得到的菌落数量为23个，求原始样品中的实际菌落数量.（请用幂的形式表示结果） (2)如果原始样品中的实际菌落数量为20个，且稀释后计数得到的菌落数量为2个，求x的值. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·全国课后作业)通常分子的质量和体积都很小，己知1个水分子的质量约是 3×1026kg,1滴水（以20滴水为1g计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子， 每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 5.(25-26七年级上·贵州贵阳·月考)某银行去年新增加居民存款10亿元人民币.（结果用科学记数法表 示) (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人 民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面 值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ /