黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末数学试卷

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置。 3,考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑；非选择题请用0.5室米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无 效，在试卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.在正项等比数列{a}中，a64=64且a,.,10成等差数列，则a,的值为() A81 B.32 C.18 D.24 2 9 2.若{a}是等差数列，Sn表示{a}的前n项和，a+a>0,S。<0,则{S}中最小的项是() A.S3 B.Ss C.Sa D.Ss 3.已知函数f(x)=2,则f'(2)的值为() A.22 B.221n2 C.22 D.12 1n2 221n2 4.已知动点P在椭圆+号=1上，F10),Dg,),则1PD1-PF1的最小值为() 3 A.5 B.v13 C.2 D.1 5.已知过抛物线C:y2=12x的焦点F的动直线交抛物线C于A,B两点.Q为线段4B的中点P为抛 物线C上任意-点则|PF+Pg的最小值为() A.6 B.3 C.12 D.9 6.已知点A(x),B(y2)是曲线y=√(x-4)+4上不同的两点且满足方=则直线 4+2%2+2 AB的斜率的取值范围是() B. c 7.已知等差数列{a}的前n项和为Sn等比数列{b}的前n项和为In且a=4=1,b4=2a4=8,则 S+I=() A.22 B.34 C.46 D.50 8.如图，F、F,是椭圆C与双曲线C,的公共焦点A、B分别是C、C,在第二、四象限的交点若 识1职且∠A0=号则c与c,离心率之积为() F O F B A.2 B.2N5 C.2W5 D.26 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分 分，错选不选不得分) 9. 已知正项等比数列{a,}的公比为g若a+a,=4(a+)且a=号则) A.q=2 8 B.0423 c.1020是数列{a}中的项 3 D.4:a2+4,a4成等差数列 10. 己知椭圆C:之+上-1的左、右焦点分别为F、BP为椭圆c上不同于左、右顶点的任意一 259 点则下列说法正确的是() A.△PEE的周长为16 B.△PFE面积的最大值为12 C.存在点P使得∠EPF2=90° D.PPE的取值范围为(9,25] 11.已知数列{a}满足：a4=1,4=2,an=am1a-2(n23,neN),数列{a}的前n项的 积为Tn,记bn=ana1,则() A数列{1og2b}是等比数列 B.dn2 =22 an C当n为奇数时，Z=2号 D当n为偶数时，工=2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=x,请写出一条过点(10)且与y=f(x)的图象相切的直线方程 二+1(a>0的左、石焦点分别为，F,P为椭园M PRPE 最小值为，则椭园M的离心率是 14.若数列{a}满足a=a=1,a。=an1+a,(n23),则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金 螺旋线是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成。 在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以a为边长的正方形 中的扇形面积为bn数列{仍}的前n项和为Sn给出下列结论： ①ag=21; ②a2o是奇数 ③a2+a4+a6+…+a02m=am3 ④ S28= a202302024 4 则所有正确结论的序号是 四、解答题（本题共5小题，共77分） 1 13分)设3，工分别为数列@}，b,的前n项和，2a1-a,7’4 数列{b} 4 是公比为-2的等比数列，85，=9Z (1)求{a},{b}的通项公式； (2)比较Sn和T的大小 16.(15分)已知抛物线E:y2=2px过A1,2),B(2,3),C(4.4)其中两点，F为E的焦点 (1)求E的方程： (2若过点(2,0)的直线1与E相交于M,W两点，且△FMW的面积为4，求直线1的方程 17.(15分)如图，在四棱锥M-ABCD中，底面4BCD是正方形，侧面M4B是等边三角形且平面 MAB⊥平面ABCD,AB=4E为MD的中点 (1)求点E到平面MAC的距离； (2)求平面MAC与平面E4C夹角的余弦值 18.(17分)动点M(xy)到直线y=x与直线y=-x的距离之积为，记点M的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程： ②若点4(6o)为曲线E与抛物线2=2m0<ps的-个公共点点B(4p.,0 ①求x的取值范围；②当。>0，且%≠1时，求直线AB斜率的取值范围， 19. (17分)在数列{a}中，已知a4=2,a1an=2an-a1（neN）· (1)证明数列 公-小为等数别 (2)记b,=a,a数列{b}的前n项和为Sn,求使得Sn>1.999的整数n的最小值： (3)是否存在正整数m、n、k,且m<n<k,使得a、an、a,成等差数列？若存在，求出m、n、k的 值若不存在请说明理由， 黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在正项等比数列中,,且,,10成等差数列,则的值为( ) A. B. C.18 D.24 2．若是等差数列,表示的前n项和,,,则中最小的项是( ) A. B. C. D. 3．已知函数,则的值为( ) A. B. C. D. 4．已知动点P在椭圆上，，，则的最小值为( ) A.5 B. C.2 D.1 5．已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A,B两点,Q为线段的中点,P为抛物线C上任意一点,则的最小值为( ) A.6 B.3 C.12 D.9 6．已知点,是曲线上不同的两点,且满足,则直线AB的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 7．已知等差数列的前n项和为;等比数列的前n项和为,且,,则( ) A.22 B.34 C.46 D.50 8．如图,､是椭圆与双曲线的公共焦点,A､B分别是､在第二､四象限的交点,若,且,则与离心率之积为( ) A.2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9．已知正项等比数列的公比为q,若,且,则( ) A. B. C.是数列中的项 D.,,成等差数列 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、,P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点,则下列说法正确的是( ) A.的周长为16 B.面积的最大值为12 C.存在点P,使得∠ D.的取值范围为 11．已知数列满足：，，（，），数列的前n项的积为，记，则( ) A.数列是等比数列 B. C.当n为奇数时， D.当n为偶数时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数,请写出一条过点且与的图象相切的直线方程________. 13．椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点，且最小值为，则椭圆M的离心率是__________. 14．若数列满足,,则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为,数列的前n项和为.给出下列结论: ①; ②是奇数; ③; ④. 则所有正确结论的序号是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）设，分别为数列，的前n项和，，，数列是公比为的等比数列，. (1)求，的通项公式； (2)比较和的大小. 16．（15分）已知抛物线过，，其中两点，F为E的焦点. (1)求E的方程； (2)若过点的直线l与E相交于M，N两点，且的面积为4，求直线l的方程. 17．（15分）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是等边三角形,且平面平面,,E为的中点. (1)求点E到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）动点到直线与直线的距离之积为,记点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若点为曲线E与抛物线的一个公共点,点. ①求的取值范围；②当,且时,求直线斜率的取值范围. 19．（17分）在数列中,已知,（）. （1）证明:数列为等比数列; （2）记,数列的前n项和为,求使得的整数n的最小值; （3）是否存在正整数m、n、k,且,使得、、成等差数列?若存在,求出m、n、k的值;若不存在,请说明理由. 黑龙江省牡丹江市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学答案 1．答案：C 解析：在正项等比数列中,设公比为q,, 则,又,,10成等差数列, 则,则, 故, 故选:C 2．答案：B 解析：由数列为等差数列, 则,且, 即,, 所以当时,取最小值, 即数列的最小项为, 故选:B. 3．答案：B 解析：由解析式知,所以. 故选:B 4．答案：D 解析：由题意知点F是椭圆的右焦点，记是该椭圆的左焦点，连接，如图. 由，知点在椭圆外，又，所以， 则，要使最小，只需最小， 连接，则， 当且仅当点P为线段与椭圆的交点时，等号成立，所以的最小值为1.故选D. 5．答案：A 解析：由抛物线可得,其准线方程为, 作垂直于准线,垂足为,如下图所示: 设过的直线方程为,; 联立直线与抛物线方程可得; 因此可得,所以, 可得, 由抛物线定义可知, 当三点共线时,的最小值为, 此时,即动直线垂直于轴时,的最小值为6. 故选:A 6．答案：B 解析：由得,所以曲线为以为圆心,2为半径的上半圆弧. 由,为不同两点,且可转化为, 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图,直线PA的斜率为. 当过点P的直线与圆相切于点T时,设直线方程为,即:, 由圆心到直线的距离,解得(舍),或,即直线PT的斜率为.如图可知,要使直线与半圆弧有两个不同的交点,则直线AB斜率k的取值范围为,即 故选:B. 7．答案：C 解析：设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 因为,, ,, 解得:,. 则, , 所以. 故选:C 8．答案：A 解析：､是椭圆与双曲线的公共焦点,A､B分别是､在第二､四象限的公共点,若,且,则为等边三角形且A,B关于原点对称, 可得,, 代入椭圆方程可得:,可得, 可得,解得. 代入双曲线方程可得,可得, 可得:,解得, 则与的离心率之积为:2. 故选A. 9．答案：ABD 解析：对于选项A:由,可得, 且,所以,故A正确; 对于选项B:所以,故B正确; 对于选项C:可得, 令,即, 显然该方程无整数解,所以不是数列中的项,故C错误; 对于选项D:因为,,, 且,即 所以,,成等差数列,故D正确; 故选:ABD. 10．答案：BCD 解析：椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距, 对于A:的周长为,A错误; 对于B:设,,则,B正确; 对于C:由,得以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆与椭圆相交, 当P为此交点时,,因此存在点P,使得∠,C正确; 对于D:,,D正确. 故选:BCD 11．答案：ACD 解析：显然，.因为，所以，又，所以，即当时，.显然，所以，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以A正确；于是，所以，，两式相除得，所以B错误；当n为奇数时， ，所以有，所以C正确；当n为偶数时，，所以有，所以D正确，故选ACD. 12．答案：或（写出其中一条即可） 解析：,设切点, 则切线方程为,即, 因为过点,所以, 解得或, 所以切线方程为或 故答案为:或（写出其中一条即可） 13．答案： 解析：由基本不等式及椭圆的定义可知 ， 所以 当且仅当 由题意知，解得 所以， 所以, 故答案为： 14．答案：①②④ 解析：对于①,由,,且,可得斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34...故故①正确; 对于②:由斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144..., 可得每三个数中前两个为奇数,后一个偶数,且,所以是奇数,故②正确; 对于③:因为;;…, 相加可得:,故③错误; 对于④:因为斐波那契数列总满足,且, 所以, , , 类似的有,, 其中. 累加得, , 故:,故④正确. 故答案为:①②④. 15．答案：(1)， (2)答案见解析 解析：(1)令，则， 所以，，     ，解得， 所以 ； 由可知，， 所以为等差数列， 所以，故. (2)当时，， 累加可得，， 所以，. 当n是奇数时，， 当n是偶数时，记，， 单调递增，， ， 所以.     综上，当n是奇数时，； 当n是偶数时，. 16．答案：(1) (2)或. 解析：（1）若点A，C在E上，则，，解得， 此时，点B不在E上； 若点A，B在E上，则，，无解； 若点B，C在E上，则，，无解. 综上，E的方程为. （2）如图，可知直线l的斜率可能不存在，但不为0， 设，，. 联立l及E的方程得，则，. 此时，，解得. 故直线l的方程为或. 17．答案：(1) (2) 解析：(1)分别取的中点为O,,连接, 因为底面是正方形,分别为的中点,所以,. 因为侧面是等边三角形,O为的中点,所以, 又平面平面,平面平面,平面, 所以平面, 又平面,所以. 如图所示,以O为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则,,, 所以,,, 设平面的法向量为, 则令,则, 所以平面的一个法向量为, 设点到平面的距离为d,则. 即点E到平面的距离为. (2)由(1),得平面的一个法向量为,,, 设平面的法向量为, 则取,则, 所以平面的一个法向量为, 设平面与平面的夹角为, 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. 18．答案：(1)或. (2)①；②. 解析：(1)依题意,,化简得, 所以曲线E的方程为：或. (2)①由(1)可知,或, 当时,由,得,而,,无解； 当时,由,得,由,解得, 所以的取值范围为. ②直线的斜率,由①知,且, 令,则,则, 当,即时,, 当,时,, 所以直线的斜率取值范围为. 19．答案：（1）证明见解析; （2）10; （3）不存在,证明见解析. 解析：（1）证明:由,得,从而, , 又,故数列为等比数列; （2）由（1）得,,故, 所以, , 令,则, 解得,,. 故使得的整数n的最小值为10; （3）假设存在正整数m、n、满足题意,则, 即, 即 两边同除以得, (*) 由得,,; 所以为奇数,而、均为偶数, 故(*)式不能成立; 即不存在正整数m、n、k,且,使得、、成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $