专题1.2 整式与因式分解（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题1.2 整式与因式分解（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 2 【题型1 代数式的概念及意义】 2 【题型2 列代数式】 3 【题型3 代数式求值】 5 【考点二 整式的相关概念】 7 【题型4 整式的相关概念】 7 【题型5 与整式有关的开放性问题】 9 【题型6 整式有关的规律探究】 10 【考点三 合并同类项与去括号法则】 11 【题型7 同类项的概念】 11 【题型8 合并同类项】 13 【题型9 添（去）括号法则】 14 【考点四 整式的运算】 15 【题型10 整式的加减】 15 【题型11 整式加减的应用】 17 【题型12 幂的运算及其逆运算】 21 【题型13 整式的乘除】 23 【题型14 乘法公式】 24 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 27 【题型16 整式混合运算的应用】 29 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 32 【考点五 因式分解】 36 【题型18 提公因式分解因式】 36 【题型19 公式法分解因式】 37 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 39 【题型21 因式分解的应用】 41 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 【题型1 代数式的概念及意义】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）代数式表示的意义是（      ） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的意义．表示的是a的2倍，据此可得答案． 【详解】解：代数式的意义可以a的2倍与b的差， 故选：B． 2．（2025·河南新乡·三模）给赋一个实际意义： （答案不唯一） 【答案】一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写出实际意义即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一）， 故答案为：一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一）． 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式书写规范，掌握正确的书写规范是解题关键．直接根据代数式的书写规范进行判断即可． 【详解】解：A．应写成，故不符合题意； B．应写成，故不符合题意； C．的正确写法是，故不符合题意； D． 书写正确，符合题意． 故选：D． 4．（2025·安徽·一模）在下列各式中，不是代数式的是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是代数式的定义，掌握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是一个代数式． 【详解】解：、、是代数式，是不等式，不是代数式． 故选：B． 【题型2 列代数式】 5．（（2025·重庆江津·模拟预测）如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据图形及代数式的意义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为或或， 所以不能表示阴影部分面积的只有C选项； 故选C． 6．（（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，能够读懂题意是解题关键； 根据题意，逐步表示出“体音美选修课程”和“科技类选修课程”的人数． 【详解】∵参加“学科类选修课程”的人数为 人， ∴参加“体音美选修课程”的人数为 人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的 多 5 人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为 ． 故选：B． 7．（2025·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积是解题的关键．根据计算线段的长度、长方形的周长及长方形的面积逐一判断即可求解． 【详解】解：A、整条线段长度为：，则错误，故本选项不符合题意； B、整条线段的长为：，则错误，故本选项不符合题意； C、这个图形的面积为：，则错误，故本选项不符合题意； D、这个长方形周长为：，则正确，故本选项符合题意， 故选：D． 8．（2025·河北·一模）如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为． （1）这个四位数可以表示为 ； （2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意列出代数式是解题的关键． （1）根据千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为，即可进行表达； （2）根据百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍可列出式子，得到，分析与的值即可解答． 【详解】（1）∵该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个四位数可以表示为； （2）由题意得，， ∵， ∴，则或， ∴四位数为或， ∵，， ∴满足条件的四位向阳数为． 【题型3 代数式求值】 9．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ，， ，， ． 故答案为：． 10．（2025·浙江金华·模拟预测）已知当时，的值为3，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，把a、b的关系式看作一个整体参与运算是解题的关键． 把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，， 整理得，， 当时， ． 故答案为：． 11．（2025·青海西宁·一模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：0． 12．（2025·重庆云阳·模拟预测）按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】把各个选项的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、当，时，， ∴ ，故本选项不符合题意； B、当，时，， ∴，故本选项符合题意； C、当，时，， ∴，故本选项不符合题意； D、当，时， ， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，熟练掌握运算法则，理解运算程序是解本题的关键． 【考点二 整式的相关概念】 【题型4 整式的相关概念】 13．（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【答案】D 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 的次数是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 14．（2025·四川宜宾·模拟预测）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，确定，结合题意得出，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 15．（2025·吉林长春·二模）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据单项式的系数和次数的定义求出a、b的值，再将a、b的值代入中即可求解． 本题主要考查了单项式，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是a，次数是b， ，， 故答案为： 16．（2025·浙江·专题练习）在代数式中，整式有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查整式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式；单项式与多项式统称为整式，据此解题． 【详解】解：所给代数式中： ，是多项式，属于整式， ，是单项式，属于整式， 即不是多项式，也不是单项式，不属于整式， 综上可知，整式有4个， 故选：B． 【题型5 与整式有关的开放性问题】 17．（2025·河南南阳·三模）请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项或次数，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念． 根据多项式的次数是次数最高项的次数，写出一个符合条件的多项式即可． 【详解】解：只含有字母x、y的三次多项式为：， 故答案为：(答案不唯一)． 18．（2025·广西河池·模拟预测）写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是 ． 【答案】或 （写一个即可） 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义即可求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：和是一个只含有字母，且系数为的次单项式， 故答案为：或（写一个即可）． 19．（2025·北京海淀·模拟预测）写出一个只含有字母a的二次三项式 ． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题考查了多项式的含义，熟练掌握多项式的多项式的次数与项数含义是解题的关键； 几个单项式的和称为多项式，其中每个单项式称为多项式的项，有几项称为几项式，其中次数最高的那项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：只含有字母的二次三项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 20．（2025·江苏无锡·模拟预测）请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数和次数的定义求解即可. 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母x、y且系数为3，次数为3的单项式可以写为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了单项式，要注意所写的单项式一定要符合单项式系数和次数的定义． 【题型6 整式有关的规律探究】 21．（2025·江西抚州·二模）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 【详解】解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案为：． 22．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 23．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为 块．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，仔细观察图形的变化并找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：∵1个门洞共需要块大理石， 2个门洞共需要块大理石， 3个门洞共需要块大理石， …， 按此规律，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为块， 故答案为：． 24．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有 （用含的代数式表示）根小木棒． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律；根据图案找出规律即可，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键． 【详解】解：∵第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， 第个图案中有小木棒（根）， ， ∴第个图案中有小木棒（根）， 故答案为：． 【考点三 合并同类项与去括号法则】 【题型7 同类项的概念】 25．（2025·广东中山·模拟预测）请写出的一个同类项 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】含有相同的字母，且相同字母的指数分别相等的项是同类项，根据同类项定义解答． 【详解】解：的一个同类项是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了同类项的定义，正确理解定义是解题的关键． 26．（2025·湖北孝感·模拟预测）下列各组整式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．根据“同类项是字母相同且相同字母的指数也相同”，可得答案． 【详解】解：A、与字母相同且相同字母的指数也相同，故该选项正确，不符合题意； B、常数也是同类项，故该选项正确，不符合题意； C、与字母相同且相同字母的指数也相同，故该选项正确，不符合题意； D、与相同字母的指数不同，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 27．（2025·贵州贵阳·二模）若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 28．（2025·广东东莞·模拟预测）若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减，同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 先根据整式加减法法则得出与是同类项，再根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 【题型8 合并同类项】 29．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项计算法则求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（2025·河北邯郸·模拟预测）数、在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，数轴与绝对值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴判断出a、b的情况以及的正负情况． 再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可， 【详解】解：由数轴得，， ． ． 故答案为∶． 31．（2025·江西南昌·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 32．（2025·贵州毕节·模拟预测）若与另一个多项式的和是，则这个多项式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握整式的加减法则是解答本题的关键．根据题意，这个多项式是：，然后去括号，合并同类项得到答案． 【详解】解：由题意知， 与另一个多项式的和是， 这个多项式是：， 故答案为：． 【题型9 添（去）括号法则】 33．（2025·河南·三模）将代数式去括号，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 34．（2025·江苏苏州·二模）已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 35．（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，根据加法交换律和添括号法则，进行判断即可． 【详解】解：； 故选B． 36．（2025·山东临沂·模拟预测）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律． 【考点四 整式的运算】 【题型10 整式的加减】 37．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 38．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】该题考查了整式的加减-化简求值，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 39．（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查整式的加减运算、合并同类项以及代数式求值．整式加减运算中合并同类项是关键步骤，而对于不含某一项即该项系数为这一概念的运用是解题的重要依据．在准确对进行整式运算并合并同类项，然后根据不含一次项得出一次项系数为的方程求解及正确将值代入并化简，再代入的值进行准确计算是解题的关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为，据此建立方程求解的值． （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【详解】（1）解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． （2）解：当时，． 当时，． 40．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 【题型11 整式加减的应用】 41．（2025·河北石家庄·三模）定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 【答案】(1)是；不是 (2)同意，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据定义计算即可； （2）设这个三位平衡数为，整理可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：，357是平衡数； ，314567不是平衡数； 故答案为：是；不是； （2）解：同意． 理由：设这个三位平衡数为， ， 一定能被3整除， 即任意一个三位平衡数一定能被3整除． 42．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 43．（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据各线段的数量关系列出代数式，并正确进行计算是解题关键． 根据题意可表示出正方形A、的边长，再根据图中长方形的周长为，可求出的值；根据图的周长比阴影部分的周长多个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 44．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 【答案】(1)或 (2)①，不成功；② 【分析】本题考查的是整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式； （1）计算，结合可以用完全平方公式进行因式分解，再进一步求解即可； （2）①计算可得结果，从而可得答案；②计算，结合结果为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：； 结合题意可得：可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴或； （2）解：① ， ∵ ， ∴闯关不成功； ② ， 结合题意可得： ， ∴， 解得：. 【题型12 幂的运算及其逆运算】 45．（2025·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 46．（2025·新疆·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 47．（2025·河南南阳·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 48．（2025·安徽·二模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 【题型13 整式的乘除】 49．（2025·山西运城·模拟预测）若计算的结果不含项，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，得到关于m的方程是解题关键． 先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“不含项”列出关于m的方程求解即可． 【详解】解： ∵的结果不含项， ∴，解得：． 故答案为：5． 50．（2025·四川成都·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、整式乘法的运算律等知识点，掌握整式乘法的运算律成为解题的关键． 先根据平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 51．（2025·吉林·一模）若被除后余3，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键． 52．（2025·重庆·一模）对于三个整式A、B、C按顺序组成“”，在每个“▱”中任意添加“+、−、×”中的一个符号组成算式，并按运算法则计算结果，称为对A、B、C进行“添号操作”．例如：对三个整式的“添号操作”可以是：，也可以是．给出下列说法： ①对三个整式进行“添号操作”后的结果可能是x； ②当时，对三个整式进行“添号操作”后，得到的整式的值可能是； ③对三个整式进行多次“添号操作”后，最多可得到8个不同的整式． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算．对三个整式进行“添号操作”后可以是：，即可判断①；当时，对三个整式进行“添号操作”后，可以是，即可判断②；对三个整式进行多次“添号操作”后，得到不同的整式，即可判断③． 【详解】解：对三个整式进行“添号操作”后可以是：， ∴结果可能为x， 故①正确； 当时，对三个整式进行“添号操作”后，可以是， ∴最后结果是， 故②正确； ③对三个整式进行多次“添号操作”后，可以是或或或或或或或，共8个，故③正确； 故选：D． 【题型14 乘法公式】 53．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若，则（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式，平方根计算解答即可． 本题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ， 故 故，（舍去）， 故选：B． 54．（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并灵活应用． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 或 解得或， 故答案为：11或． 56．（2025·陕西西安·模拟预测）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】(1)，A (2)21 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：21； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为7， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 57．（2025·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、整式的混合运算、解不等式等知识点，掌握整式混合运算法则成为解题的关键． （1）由题意列式表示出C，然后再运用整式的乘法运算法则计算即可； （2）将B、C代入运用整式的混合运算发展化简可得，最后根据整式的值大于5列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 程序自动呈现的整式为． （2）解： ， 整式的值大于5， ，解得， 为正整数， 的最小值为1． 58．（2025·安徽合肥·模拟预测）(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25. (2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值． 【答案】(1)x-2y；50；(2)0. 【分析】根据整式的乘除法则和加减法则进行计算化简，再代入已知值计算,要灵活运用乘法公式. 【详解】解：(1)[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x) =(9x2-4y2-5x2-8xy+4y2)÷(4x) = x-2y 当x=100，y=25时. 原式=100-50=50； (2) [(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b) =（a2+2ab+b2－a2－b2＋4ab-4b2）÷(2b) =（6ab-4b2）÷(2b) =3a-2b 因为，3a＝2b 所以，原式=0 【点睛】掌握整式的乘除法则，特别是乘法公式. 59．（2025·山东枣庄·二模）现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为7张． 故选：A． 60．（2025·江苏·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法等知识点，利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，完全平方公式，合并同类项的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 【题型16 整式混合运算的应用】 61．（2025·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 62．（2025·陕西榆林·二模）矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积． 【答案】原矩形的面积为 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，一元一次方程的应用，先设原矩形的长为，则宽为，再分别表示，，再建立方程求解即可． 【详解】解：设原矩形的长为，则宽为， ∴， ， ∵比多， ∴， 解得：， ∴原矩形的面积为； 答：原矩形的面积为． 63．（2025·河北·二模）发现  将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指向一个数字，记为a，b，c，d，则为一个常数． 验证  （1）方框放到图中的位置①时， ，放到图中的位置②时， ； 探究  （2）设方框的每个顶点指向一个数时，方框中间的数为n，请论证“发现”中的结论． 【答案】（1）；；（2）见解析 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，整式的乘法运算，利用平方差公式，理解题意进行计算是解题的关键． （1）代入题干中的式子，即可解答； （2）根据日历的特征，表示出方框的每个顶点指向一个数，再列式子化简即可证明． 【详解】解：（1）根据题意可得， 方框放到图中的位置①时，； 方框放到图中的位置②时，， 故答案为：；； 证明：（2）根据日历的规律，当方框中间的数为n，可得： ， ， 即为一个常数． 64．（2025·贵州安顺·模拟预测）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ (2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 【答案】(1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗； (2)大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，整式的求值，理解题意正确列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）把，代入（1）中的结果求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗； （2）解：当，时， ， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗． 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 65．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 66．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的运算． 根据新定义，将和代入公式，然后利用整式的乘法公式和合并同类项进行化简 【详解】解：由新运算定义，， 则 ． 故答案为：． 67．（2025·河北保定·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 68．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到： 观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 【考点五 因式分解】 【题型18 提公因式分解因式】 69．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 70．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确确定公因式是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 71．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】解：． ∴提取的公因式是． 故答案为：． 72．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键． 先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：因为，， 故答案为： 【题型19 公式法分解因式】 73．（2025·河南周口·三模）对于任意整数m，多项式都能被 整除．（填符合题意的最大整数） 【答案】8 【分析】本题考查因式分解，原多项式分解因式得到，进而可得结论． 【详解】解： ， ∵能被8整除， ∴多项式都能被8整除， 故答案为：8． 74．（2025·广西·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，其为首项平方、末项平方数，且中间项为两数乘积的二倍，符合完全平方公式的特征． 【详解】解：． 故答案为：． 75．（2025·四川绵阳·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 76．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式因式分解，由，则，所以，然后把代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 77．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】D 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：， ， ． 故只有乙的正确， 故选：D． 78．（2025·北京·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 79．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．①根据平方差公式求解即可；②第二步中前面的符号在去括号时没有变号；③先利用平方差公式分解因式，再提取公因式，据此去括号合并同类项即可得到答案． 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 80．（2025·江西·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题考查了整式的化简，因式分解，熟知平方差和完全平方公式是解题的关键。 （1）根据因式分解的概念和整式的化简，即可解答； （2）按照整式的化简，将过程补充完整即可。 【详解】（1）解： ，为整式的乘法； ，为因式分解， 故选：A； （2）解：选择甲同学的解法： 原式． 选择乙同学的解法： 原式． 【题型21 因式分解的应用】 81．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 82．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，证明见解析 (2)（或）， 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可； （ⅱ）根据表中规律即可得出能被8整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 83．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 84．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法解答即可． 本题考查整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法，熟练掌握公式和运算是解题的关键. 【详解】解：∵ 选项A: , 错误; 选项B: , 错误; 选项C: , 错误; 选项D: , 正确. ∴ 正确答案为D. 故选：D． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知一个圆的半径为，若这个圆的半径增加，则它的面积增加（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式分解因式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 利用圆的面积公式表示出圆的半径增加前后的圆的面积，再作差即可得出答案． 【详解】解： ， ∴它的面积增加， 结合选项可知，A、B、C均不符合题意； 故选：D． 3．（2025·河北邢台·模拟预测）关于代数式，下列选项中表述正确的是（    ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与的和 D．表示与的乘积 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据代数式意义判断即可． 【详解】解：表示与的乘积， 故选：B． 4．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 5．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 二、填空题 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2025·天津·模拟预测）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因数，然后根据平方差公式进行计算即可求解，也可直接计算． 【详解】解： 故答案为：． 11．（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 12．（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子因式分解． 先由和可求出A，B，C，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数． ∴，，， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 13．（2025·上海普陀·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 15．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）根据平方差公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可； （3）根据平方差公式分解因式，进而合并同类项即可； （4）将原式化为，分组分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 【答案】(1)扩建前：，扩建后： (2) 【分析】本题主要考查代数式的表示，多项式乘法运算以及通过建立方程解决的能力，准确计算是解题的关键． （1）扩建前后的面积均通过长宽计算，注意代数式的展开与化简； （2）利用扩建后面积与原面积的差建立方程，求解出未知数的值，进而求出原面积． 【详解】（1）矩形草坪的长为，宽为， 扩建前矩形草坪的面积为； 由题意可得，扩建后矩形草坪的长为，宽为， 扩建后矩形草坪的面积为； （2）由可得，扩建后矩形草坪的面积增加了， 。 解得：， ． 扩建前这个矩形草坪的面积为． 17．（2025安徽宣城·模拟预测）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【答案】(1)903； (2)84和12． 【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． （1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果； （2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知代数式x+2y的值是3，则1-2x-4y的值是（　　） A．-2 B．-4 C．-5 D．-6 【答案】C 【分析】先得到等式x+2y=3，后运用添括号法则变形被求式，代入计算即可． 【详解】∵x+2y=3， ∴2x+4y=6， ∴1-2x-4y=1-（2x+4y） =1-6 = -5， 故选C． 【点睛】本题考查了代数式的值，添括号，灵活运用添括号进行等式变形是解题的关键． 2．（2025·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 3．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B． 4．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 5．（2025·上海·模拟预测）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 6．（2025·浙江金华·模拟预测）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 二、填空题 7．（2025·江西九江·模拟预测）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、求代数式的值，根据，可得：、，因为，根据有理数的乘法法则可得：，或，，分情况把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ， ，或，， 当，时， 可得：； 当，， 可得：． 综上所述， 8．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是关键． 根据，，由得，即可求解． 【详解】解：∵，， 由得， ∴ 故答案为：1． 9．（2025·河北保定·一模）若，其中，都是大于1的整数，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法．熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得，即， ， ． ，都是大于1的整数，， 符合题意的只有，， ． 故答案为：． 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行变形求值，解决此题的关键是正确的计算；先运用完全平方公式得到，再运用平方差公式即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴， 故， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·湖南·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 12．（2025·重庆万州·模拟预测）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ． 【答案】 384 82 【分析】本题主要考查代数式的运算和有理数的混合运算，根据题意可知，且，利用已知定义即可求得；设，则，可求得，结合题意可知能被5整除，则能被5整除，令，分情况计算求得满足条件的最大“过数”与最小“过数”并作差即可． 【详解】解：当，则， ∴， 设， 则， ， ∵与的个位数字之和能被5整除，且， ∴， 则能被5整除， 令， 当时，或或或； 当时，或或或或或或或； 当时，或或或； 满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是， 故答案为：384，82． 三、解答题 13．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 14．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 15．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 16．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 17．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，多项式与多项式的乘法，单项式与多项式的乘法，解题的关键是找到规律，正确推理． （1）观察规律：题目中的例子均为十位数字相同、个位数字之和为10的两位数相乘，其结果可分解为两部分：十位数字与比十位数字大1的乘积扩大100倍，加上个位数字的乘积． （2）代数表达：将具体数字抽象为代数形式，通过展开验证规律的正确性． 【详解】（1）和41的十位均为4，个位，符合题目规律． 按照规律，结果应为：； 故答案为：； （2）规律表达式：， 证明：展开左边：， 代入条件：由，得：， 整理右边：， 左右两边相等， 18．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 【答案】(1)B，A (2) 【分析】本题考查了乘法公式在几何图形中的应用，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）由题意可得，，，均为等腰直角三角形，设，则，用代数式分别表示，再代入化简即可． 【详解】（1）解：图②中大正方形的面积为，也可以表示为两个正方形和两个长方形的面积和，则为， ∴， ∴图②对应等式B； 图③中实线部分的两个长方形的面积和可以表示为大正方形面积减去小正方形面积即为，当把右下角的小长方形移至大长方形左边，则两个长方形的面积和可以表示为， ∴得到， ∴图③对应等式A； 故答案为：B，A； （2）解：由题意可得，，，，均为等腰直角三角形， 设，如图： 则， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式与因式分解（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 2 【题型1 代数式的概念及意义】 2 【题型2 列代数式】 2 【题型3 代数式求值】 3 【考点二 整式的相关概念】 3 【题型4 整式的相关概念】 3 【题型5 与整式有关的开放性问题】 4 【题型6 整式有关的规律探究】 4 【考点三 合并同类项与去括号法则】 5 【题型7 同类项的概念】 5 【题型8 合并同类项】 5 【题型9 添（去）括号法则】 5 【考点四 整式的运算】 6 【题型10 整式的加减】 6 【题型11 整式加减的应用】 6 【题型12 幂的运算及其逆运算】 7 【题型13 整式的乘除】 8 【题型14 乘法公式】 8 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 9 【题型16 整式混合运算的应用】 10 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 11 【考点五 因式分解】 12 【题型18 提公因式分解因式】 12 【题型19 公式法分解因式】 12 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 12 【题型21 因式分解的应用】 13 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 代数式的概念与代数式求值】 【题型1 代数式的概念及意义】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）代数式表示的意义是（      ） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 2．（2025·河南新乡·三模）给赋一个实际意义： （答案不唯一） 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·一模）在下列各式中，不是代数式的是（　　） A．7 B． C． D． 【题型2 列代数式】 5．（（2025·重庆江津·模拟预测）如图，下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．（（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北宜昌·开学考试）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 8．（2025·河北·一模）如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为． （1）这个四位数可以表示为 ； （2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为 ． 【题型3 代数式求值】 9．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ． 10．（2025·浙江金华·模拟预测）已知当时，的值为3，则当时，的值为 ． 11．（2025·青海西宁·一模）已知，则的值是 ． 12．（2025·重庆云阳·模拟预测）按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点二 整式的相关概念】 【题型4 整式的相关概念】 13．（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 14．（2025·四川宜宾·模拟预测）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 15．（2025·吉林长春·二模）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 16．（2025·浙江·专题练习）在代数式中，整式有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5 与整式有关的开放性问题】 17．（2025·河南南阳·三模）请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 18．（2025·广西河池·模拟预测）写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是 ． 19．（2025·北京海淀·模拟预测）写出一个只含有字母a的二次三项式 ． 20．（2025·江苏无锡·模拟预测）请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式： ． 【题型6 整式有关的规律探究】 21．（2025·江西抚州·二模）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 22．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为 块．（用含n的代数式表示） 24．（2025·山西运城·模拟预测）如图是用若干根相同长度的小木棒拼成的图案．第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，，依此规律，第个图案中有 （用含的代数式表示）根小木棒． 【考点三 合并同类项与去括号法则】 【题型7 同类项的概念】 25．（2025·广东中山·模拟预测）请写出的一个同类项 ． 26．（2025·湖北孝感·模拟预测）下列各组整式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 27．（2025·贵州贵阳·二模）若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 28．（2025·广东东莞·模拟预测）若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 【题型8 合并同类项】 29．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算 ． 30．（2025·河北邯郸·模拟预测）数、在数轴上的位置如图所示，化简 ． 31．（2025·江西南昌·模拟预测）化简： ． 32．（2025·贵州毕节·模拟预测）若与另一个多项式的和是，则这个多项式是 ． 【题型9 添（去）括号法则】 33．（2025·河南·三模）将代数式去括号，得 ． 34．（2025·江苏苏州·二模）已知代数式，则代数式的值是 ． 35．（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 36．（2025·山东临沂·模拟预测）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点四 整式的运算】 【题型10 整式的加减】 37．（2025·河北唐山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 39．（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 40．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【题型11 整式加减的应用】 41．（2025·河北石家庄·三模）定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数；314567____________平衡数；（均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． 42．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 43．（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 44．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 【题型12 幂的运算及其逆运算】 45．（2025·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 46．（2025·新疆·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河南南阳·开学考试）计算： ． 48．（2025·安徽·二模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【题型13 整式的乘除】 49．（2025·山西运城·模拟预测）若计算的结果不含项，那么的值为 ． 50．（2025·四川成都·模拟预测）计算： ． 51．（2025·吉林·一模）若被除后余3，则的值为 ． 52．（2025·重庆·一模）对于三个整式A、B、C按顺序组成“”，在每个“▱”中任意添加“+、−、×”中的一个符号组成算式，并按运算法则计算结果，称为对A、B、C进行“添号操作”．例如：对三个整式的“添号操作”可以是：，也可以是．给出下列说法： ①对三个整式进行“添号操作”后的结果可能是x； ②当时，对三个整式进行“添号操作”后，得到的整式的值可能是； ③对三个整式进行多次“添号操作”后，最多可得到8个不同的整式． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型14 乘法公式】 53．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若，则（   ） A．3 B．6 C． D． 54．（2025·江苏·一模）已知代数式的值为3，则代数式的值为 ． 55．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 56．（2025·陕西西安·模拟预测）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【题型15 整式的混合运算及其化简求值】 57．（2025·河北石家庄·三模）有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式； (2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值． 58．（2025·安徽合肥·模拟预测）(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25. (2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值． 59．（2025·山东枣庄·二模）现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 60．（2025·江苏·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【题型16 整式混合运算的应用】 61．（2025·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 62．（2025·陕西榆林·二模）矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积． 63．（2025·河北·二模）发现  将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指向一个数字，记为a，b，c，d，则为一个常数． 验证  （1）方框放到图中的位置①时， ，放到图中的位置②时， ； 探究  （2）设方框的每个顶点指向一个数时，方框中间的数为n，请论证“发现”中的结论． 64．（2025·贵州安顺·模拟预测）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ (2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 【题型17 与整式混合运算有关的新定义问题】 65．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 66．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）定义一种新运算： 则 ． 67．（2025·河北保定·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 68．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【考点五 因式分解】 【题型18 提公因式分解因式】 69．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 70．（2025·山东泰安·一模）分解因式的结果是 ． 71．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是 72．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ． 【题型19 公式法分解因式】 73．（2025·河南周口·三模）对于任意整数m，多项式都能被 整除．（填符合题意的最大整数） 74．（2025·广西·一模）分解因式： ． 75．（2025·四川绵阳·二模）分解因式： ． 76．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型20 综合提公因式和公式法分解因式】 77．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 78．（2025·北京·一模）分解因式： ． 79．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 80．（2025·江西·二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式 … 解：原式 … (1)对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是__________． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解    B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法    D．甲、乙都是因式分解 (2)请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【题型21 因式分解的应用】 81．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 82．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 83．（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 84．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知一个圆的半径为，若这个圆的半径增加，则它的面积增加（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（2025·河北邢台·模拟预测）关于代数式，下列选项中表述正确的是（    ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与的和 D．表示与的乘积 4．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 5．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 二、填空题 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 8．（2025·天津·模拟预测）计算的结果等于 ． 9．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）计算： ． 11．（2025·广东江门·三模）多项式的次数是 ． 12．（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 三、解答题 13．（2025·上海普陀·模拟预测）计算：． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 15．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 16．（2025·河北·一模）如图，一块矩形草坪的长为（a＋1）m，宽为（a）m（a1），现将草坪扩建后，长和宽都分别增加了2m． (1)求扩建前与扩建后矩形草坪的面积（用含a的代数式表示）； (2)若扩建后矩形草坪的面积增加了36，求扩建前这个矩形草坪的面积． 17．（2025安徽宣城·模拟预测）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． B组 一、单选题 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）已知代数式x+2y的值是3，则1-2x-4y的值是（　　） A．-2 B．-4 C．-5 D．-6 2．（2025·上海静安·一模）下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·上海·模拟预测）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江金华·模拟预测）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·江西九江·模拟预测）已知，且，则 ． 8．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 9．（2025·河北保定·一模）若，其中，都是大于1的整数，，则 ． 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知 ，则 ． 11．（2025·湖南·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 12．（2025·重庆万州·模拟预测）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ． 三、解答题 13．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 14．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 15．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如： ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 16．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 17．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 18．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $