1.2 二次根式的性质（1） 学案 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦八年级下册“二次根式的性质（1）”，以算术平方根意义为基础，通过计算例题、规律归纳、数轴应用等环节，搭建从具体运算到抽象性质的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料设计分层例题与练习，融合几何直观（数轴化简）、推理意识（阅读辨析）、抽象能力（规律探究），引导学生自主归纳性质，培养数学思维，提升解决复杂问题的能力，适合分层教学与自主学习。

数学八年级下册第1章二次根式 1.2 二次根式的性质（1） 【知识重点】 二次根式的性质：  一般地，根据算术平方根的意义有①②. 【经典例题】 例题1、计算 ： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）解：原式= = 2024. （2）解：原式= =. （3）解：原式=7-5=2. （4）解：原式=4-3+4=5. 例题2、计算： （1），　 　，　 　，　 　，　 　． （2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则　 　；②　 　． 【答案】（1）0.5；0；6； （2）解：当时，；当时，， 综合可得． 规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：； （3）； 【解析】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 例题3、已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示. （1）　 　，　 　； （2）　 　； （3）化简：. 【答案】（1）-a；c （2） （3）解：由题图知，，，， . 【解析】（1）∵a＜0，c＞0， ∴，， 故答案为：-a；c； （2）∵c＞b， ∴b-c＜0， ∴， 故答案为：c-b. 例题4、 阅读下面材料， 回答问题： （1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同． 小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由． （2） 请你利用上面所学的方法化简 ． 【答案】（1）解：小李的化简结果正确，小张的化简结果错误。 （2）原式 【解析】（1）在化简这样的根式时，要先确定a的取值范围，然后再根据根式的性质进行化简。 ，a＞0时，；a=0时，；a<0时，； （2）运用完全平方公式把被开方数写成一个数的平方的形式，再根据进行化简即可。注意a的正负不同，结果也不同。 【基础训练】 1． 化简：的结果是（　　）. A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【解析】 故答案为：C. 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，错误，不符合题意； B：，错误，不符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，正确，符合题意. 故答案为：D 3．的值是（　　） A．0 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】原式= + = = ，即得C． 4．化简　 　． 【答案】2025 【解析】原式=|-2025|=2025 故答案为：2025. 5． 化简的结果是　 　. 【答案】 【解析】∵π>3 ∴ 故答案为：. 6．当时，　 　． 【答案】 【解析】∵a<-1， ∴a+1<0， ∴. 故答案为：. 7．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　 　． 【答案】 【解析】根据题目可得： ∴ ∴ 故答案为：. 8．化简的结果是　 　． 【答案】6 【解析】， ， ， ， 故答案为：． 9．（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： （填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ． A． B． （2）化简：． 【答案】（1）小亮，A； （2）， ∴当时，原式；当时，原式． 【解析】（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质； 故答案为：小亮，A。 10． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 【答案】解：由隐含条件得 ∴原式= 11．探究：， ▲ ， ▲ ，，． （1）完成上述计算并根据计算结果回答下面问题： （2）观察可知，　 　； （3）利用你总结的规律计算：； （4）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1） 0.5 ， 5 （2）│a│ （3）解：原式==π （4）解：∵，，为的三边长 ∴， ∴． 【解析】（1）∵，，． ∴ 故答案为：0.5，5， （2）由探究的内容，得出； 故答案为：│a│ 12．阅读理解题，下面我们观察： ．反之，所以，所以． 完成下列各题： （1）把写成的形式； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【培优训练】 13．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是　 　． 【答案】2024 【解析】， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：． 故答案是：2024． 14．若　 　． 【答案】 【解析】∵ ∴ ∴ 故答案为：. 15．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　． 【答案】39 【解析】∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 16．若，则的取值范围是　 　. 【答案】a≤1 【解析】由得|a-1|-|2-a|=-1， ①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意； ②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意； ③当1<a<2时，有a-1-(2-a)=-1，去括号得2a-3=-1得a=1，不符合题意； 综合所述：a≤1 故答案为：a≤1. 【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，1<a<2进行讨论得出a的范围. 17．填空： （1）　 　. （2）　 　. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）原式===； 故答案为： （2）原式===. 故答案为：. 18．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：__________． （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）2 （2）解：，当时，原式， ，符合条件； 当时，原式，（舍去）； 当时，原式， ，符合条件， ∴a的取值范围是或． 【解析】【解答】（1）解：原式， 当时，原式， 故答案为：2． 19． 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ （1）仿上例，化简：； （2）计算：． 【答案】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 20．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （3）计算：． 【答案】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　，点的“横负纵变点”为　 　； （2）化简：； （3）已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是　 　． 【答案】（1）； （2）解：===== （3） 【解析】（1）∵，故点的“横负纵变点”为； ∵，故点的“横负纵变点”为. 故答案为：； （3）∵ ， ∵1≤a<2， ∴0<a-1<1. ∴. 故. ∵点是点M的“横负纵变点”， ∴ 点的坐标是. 故答案为：. 22．阅读下列材料，然后回答问题。 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求的值． 【答案】（1）解： = = = ； （2）解：，， ，，， ， ∵a+b+2ab=2024 ∴4m＋2+2=2024 ∴m=505 （3）解：设，，则， ∵， ， ， ， ， ， ．（舍去）， ． 【期末常考】 23．将 化简， 正确的结果是（　　) A．5 B．-5 C． D．25 【答案】A 【解析】解：=5，故选A. 24．下列选项中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】=|2|=2，=|-3|=3，故A、B、D错误，C正确. 故答案为：C. 25．化简的结果是　 　． 【答案】5 【解析】， 故答案为：5． 26．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察数轴可知：，， 所以，，， 所以，， 故答案为：C. 【课后作业】 1．下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A.，原选项计算错误，故选项A不成立； B.，原选项计算错误，故选项B不成立； C.，原选项计算错误，故选项C不成立； D.，原选项计算错误，故选项D成立． 故答案为：D 2．计算 +|-11|- ，正确的结果是（　　） A．-11 B．11 C．22 D．-22 【答案】B 【解析】原式=11+11-11=11，故选B． 3． 计算：　 　. 【答案】3 【解析】3， 故答案为：3 . 4． 计算： 　 　　 　。 【答案】5； 【解析】 故答案为：5，. 5．若1，a，3是三角形的三边长，化简=　 　. 【答案】2a-6 【解析】∵1，a，3是三角形的三边长， ∴3－1<a<3+1，即 2<a<4 ∴， ∴ 故答案为：2a-6. 6．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为　 　. ② 已知 ， 且 ， 则 的值为　 　. 【答案】70；-2或-12 【解析】 ①∵n是自然数， 是整数， ∴20-n的值为0， 1，4 ，9，16， ∴n的值为20，19，16，11，4 20+19+16+11+4＝70 故答案为：70 ② ∵ ∴a=，b= ∵，∴a+b≥0 ∴a=， b=7 ∴a-b=-2或a-b=-12 故答案为：-2或-12 7．已知，则式子化简的结果为　 　. 【答案】1 【解析】∵ ， ∴x-1>0，x-2<0， ∴， 故答案为：1. 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　 　. 【答案】-2 【解析】由数轴上的点所表示数的特点得a＜-1＜0＜1＜b， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ 故答案为：-2. 9．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为　 　． 【答案】 【解析】由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：， ，， 故答案为：． 10．计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）解：原式=3-1=2； （2）解：原式=0.5+=1； （3）解：原式=5-3+3=5； （4）解：原式=-0.4+9=8.85. 11．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 【答案】（1）小亮 （2）＝﹣a（a＜0） （3）解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 将a＝﹣2024代入， 原式＝6+2024＝2030． 【解析】 (1) 小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. (2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝﹣a（a＜0）. 故答案为：＝﹣a（a＜0）​​​​​​​. (3)解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 当a＝﹣2024时， 原式＝6+2024＝2030． 12．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问：长为a，b，c的三条线段能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请说明理由；若不能构成直角三角形，请说明理由． 【答案】（1）解：， ∴， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴长为a，b，c的三条线段不能构成直角三角形． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学八年级下册第1章二次根式 1.2 二次根式的性质（1） 【知识重点】 二次根式的性质：  一般地，根据算术平方根的意义有①②. 【经典例题】 例题1、计算 ： （1） （2） （3） （4） 例题2、计算： （1），　 　，　 　，　 　，　 　． （2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则　 　；②　 　． 例题3、已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示. （1）　 　，　 　； （2）　 　； （3）化简：. 例题4、 阅读下面材料， 回答问题： （1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同． 小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由． （2） 请你利用上面所学的方法化简 ． 【基础训练】 1． 化简：的结果是（　　）. A．-4 B．-2 C．2 D．4 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．的值是（　　） A．0 B． C． D．以上都不对 4．化简　 　． 5． 化简的结果是　 　. 6．当时，　 　． 7．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　 　． 8．化简的结果是　 　． 9．（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： （填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ． A． B． （2）化简：． 10． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 11．探究：， ▲ ， ▲ ，，． （1）完成上述计算并根据计算结果回答下面问题： （2）观察可知，　 　； （3）利用你总结的规律计算：； （4）已知a，b，c为的三边长．化简：． 12．阅读理解题，下面我们观察： ．反之，所以，所以． 完成下列各题： （1）把写成的形式； （2）化简：； （3）化简：． 【培优训练】 13．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是　 　． 14．若　 　． 15．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　． 16．若，则的取值范围是　 　. 17．填空： （1）　 　. （2）　 　. 18．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：__________． （2）若，求a的取值范围． 19． 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ （1）仿上例，化简：； （2）计算：． 20．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （3）计算：． 21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　，点的“横负纵变点”为　 　； （2）化简：； （3）已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是　 　． 22．阅读下列材料，然后回答问题。 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求的值． 【期末常考】 23．将 化简， 正确的结果是（　　) A．5 B．-5 C． D．25 24．下列选项中，化简正确的是（　　） A． B． C． D． 25．化简的结果是　 　． 26．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【课后作业】 1．下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．计算 +|-11|- ，正确的结果是（　　） A．-11 B．11 C．22 D．-22 3． 计算：　 　. 4． 计算： 　 　　 　。 5．若1，a，3是三角形的三边长，化简=　 　. 6．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为　 　. ② 已知 ， 且 ， 则 的值为　 　. 7．已知，则式子化简的结果为　 　. 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　 　. 9．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为　 　． 10．计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 11．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 12．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问：长为a，b，c的三条线段能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请说明理由；若不能构成直角三角形，请说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $