精品解析：吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级期末质量监测 数学 2026.1 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 先根据有理数的大小比较法则比较大小，再选出即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2， 故选：D． 2. 下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可． 【详解】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项． 【详解】解：A选项中：，因此错误； B选项中：，因此错误; C选项中：，因此正确； D选项中：，因此错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6. 人行天桥的示意图如图所示，若高长为10米，斜坡长为30米，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义以及勾股定理，理解正切的定义是解题关键． 先用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜坡长为30米， ∴米， 根据题意得：， 故选：C． 7. 如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形，等腰三角形的性质，圆周角和圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据圆的内接四边形对角互补，可得，连接，根据等角对等边可得，再根据圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵，四边形是的内接四边形， ∴， 连接，如图所示： 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（ ） A. B，C，D B. A，B，C C. A，B，D D. A，C，D 【答案】C 【解析】 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可判断． 【详解】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，； A、B、C组成的二次函数开口向上，； B、C、D三点组成的二次函数开口向下，； A、D、C三点组成的二次函数开口向下，； 即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可． 设二次函数为， 当抛物线过A、B、C三点时，则， 解得； 当抛物线过A、B、D三点时，则， 解得， 故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法并正确计算是解题的关键． 按解一元一次不等式的步骤移项、合并同类项和系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：． 10. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 11. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程无实数根的条件为判别式小于零，且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程无实数根的条件是判别式小于零，且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， ， 化简得，解得， 满足， 则a的取值范围是． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，．以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，连接，则的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长计算公式、矩形的性质及三角函数，熟练掌握弧长计算公式、矩形的性质及三角函数是解题的关键；由题意易得，根据三角函数可得，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为； 故答案为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、二次函数的对称性等知识点，掌握二次函数的性质以及图像的对称性是解题的关键． 根据题意可得二次函数对称轴直线为，由题意可得点C到对称轴直线的距离为3，点关于对称轴对称，据此即可解答． 【详解】解：∵点、点在抛物线上， ∴二次函数对称轴直线为， ∵抛物线与y轴相交于点C， ∴点C到对称轴直线的距离为3， ∵轴， ∴点关于对称轴对称， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据对称可得，证出，可得，即可得，当时，根据勾股定理求出，根据“点到直线之间，垂线段最短”求出的最小值，即可判断，根据圆的切线性质和等边三角形的性质判断，再根据对称的性质和点运动的特点可判断． 【详解】解：连接， 点与点关于对称， ， ， ， ， ∴，， ， ， ，故正确； 当时， 是半圆的直径， ， ，， ，，， ，， ， 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为， ， ， 的最小值为，故不正确； 当时，连接，如图所示， ，， 是等边三角形， ∴，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， 是等边三角形，直径， ， 与半圆相切，故正确； 点与点关于对称， 当点由点运动到点时，， 点经过的路径长为，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，准确计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可． 【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键． 16. 在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、C、D．这4张书签除图案不同外，其余均相同．现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据树状图求概率，正确进行计算是解题关键． 根据题意画树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的情况有2种， （1张为“立春”，1张为“立冬”）． 17. 如图，两条笔直的公路、相交于点O，，指挥中心M设在路段上，与O地的距离为16千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：，，】 【答案】王警官能实现与指挥中心用对讲机通话 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的性质的应用，结合题意，求得指挥中心到路段上的点的最小距离，从而比较即可得解． 【详解】解：如图，过点M作于点N． 在中，，， ∵， ∴（千米）． ∵， ∴王警官能实现与指挥中心用对讲机通话． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的边上画点P，连接，使平分的面积； （2）在图②中的边上画点Q，连接，使； （3）在图③中的边上画点M，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，使用无刻度直尺作图，三角形中线的性质，勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）根据三角形的中线等分三角形面积即可作图； （2）取格点，连接与交点即为点，根据勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可得，则为等腰直角三角形，故； （3）取格点，，，连接、交于点，连接与交点即为点，同上可得，由得，则． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求； 【小问3详解】 解：如图③，即为所求； 19. 如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，可证，可得，可得结论； （2）证明，得，，由勾股定理得，再证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴． 故答案 为：． 20. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 【答案】（1）①80，77；②180 （2）①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即． ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个． 故答案为：①80；77；②180． 【小问2详解】 解：①乙款软件的评分（分）； ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91． 故答案为：①；②91． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、众数、中位数的定义、加权平均数、用样本估计总体等知识点．熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出80份．该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售的总份数不变．设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元． （1）调价后A种快餐每天可卖出______份，B种快餐每天可卖出______份；（用含x的代数式表示） （2）求y与x之间的函数关系式； （3）求x为何值时y取得最大值，并求出y的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）时，y取得最大值，y的最大值1264 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用． （1）根据题意列代数式即可； （2）将两种快餐利润相加即可； （3）将函数解析式化为顶点式，即可作答． 【小问1详解】 解：设每份A种快餐降低的利润为x元， ∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份， ∴A种快餐可多卖份， ∴调价后A种快餐每天可卖出份， ∵这两种快餐每天销售的总份数不变， ∴B种快餐每天可卖出份； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ∴当时，y取得最大值，y的最大值1264． 22. 【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点． （1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______． 【答案】（1）；（2），见解析；【问题变式】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据条件证明两个三角形全等及相似是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出; （2）证明，由相似三角形的性质则可得出结论： 【问题变式】分两种情况讨论：点F在上或点F在的延长线上，证，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）． 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【问题变式】分情况讨论：点F在上或点F在的延长线上． 当点F在上时，如图 四边形为平行四边形， ， ，即， ， ， ， ，， ，即， ， ； 当点F在的延长线上时，如图 四边形为平行四边形， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ，即， ， ． 综上，的长为或． 故答案为：或． 23. 如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，． （1）______度； （2）求证：； （3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； （4）当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的定义求解即可； （2）利用余弦函数的定义推出，根据，得到，即可证明； （3）过点作于，由（2）知，推出点在过点且垂直于的垂线上，当，即点与点重合时，线段有最小值，过点作于，据此求解即可； （4）求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于， ∵， ∴， ∴点在过点且垂直于的垂线上， ∴当，即点与点重合时，线段有最小值， 过点作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连接．点P是抛物线上的一点（点P不与点B重合），设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）过点P作y轴的平行线交线段于点C，当线段的长为2时，求m的值； （3）当时，抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与m之间的函数关系式； （4）过点P作y轴的垂线交直线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．设抛物线在内部的图象（含交点）为G，当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）， （3）当时，；当时，；当时， （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合、正方形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得直线的解析式为，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后根据题意可分当时，当时，当时，进而分类求解即可； （4）由题意可分当点P在对称轴的左侧时，当点P在对称轴的右侧时，然后画出图象分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可把点、代入抛物线得： ，解得：， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且， ∴， ∵， ∴， 解得：，； 【小问3详解】 解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为， ∵， ∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分： 当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为， ∴； 当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5， ∴； 当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5， ∴； 综上所述：当时，；当时，；当时，； 【小问4详解】 解：令时，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示： 设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F， ∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，， ∴点D的纵坐标为， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1， ∴， ∵点Q到y轴的距离为1， ∴点E与点B重合， ∴， 解得：，； 当点P在对称轴的右侧时，如图所示： 设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H， ∴四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1， ∴， ∴点N的横坐标为2， ∴当时，则有，即， ∴， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末质量监测 数学 2026.1 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 6. 人行天桥的示意图如图所示，若高长为10米，斜坡长为30米，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（ ） A. B，C，D B. A，B，C C. A，B，D D. A，C，D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 不等式的解集是______． 10. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 11. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是______． 12. 如图，在矩形中，，．以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，连接，则的长为______．（结果保留） 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为______． 14. 如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、C、D．这4张书签除图案不同外，其余均相同．现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率． 17. 如图，两条笔直的公路、相交于点O，，指挥中心M设在路段上，与O地的距离为16千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：，，】 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的边上画点P，连接，使平分的面积； （2）在图②中的边上画点Q，连接，使； （3）在图③中的边上画点M，连接，使． 19. 如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，则的长为______． 20. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 21. 某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出80份．该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售的总份数不变．设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元． （1）调价后A种快餐每天可卖出______份，B种快餐每天可卖出______份；（用含x的代数式表示） （2）求y与x之间的函数关系式； （3）求x为何值时y取得最大值，并求出y的最大值． 22. 【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点． （1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______． 23. 如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，． （1）______度； （2）求证：； （3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； （4）当时，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连接．点P是抛物线上的一点（点P不与点B重合），设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）过点P作y轴的平行线交线段于点C，当线段的长为2时，求m的值； （3）当时，抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与m之间的函数关系式； （4）过点P作y轴的垂线交直线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．设抛物线在内部的图象（含交点）为G，当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $