精品解析：吉林省长春市宽城区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级期末质量监测 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则实数a可能是（ ） A. B. C. D. π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数和数轴，实数大小的比较．根据数轴判定出，再比较实数的大小，即可求解． 【详解】解：由数轴得：， ∵ ∴a可以是． 故选：B． 2. 如图是一个顶部为圆锥、底部为圆柱形的粮仓，关于它的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图定义，可知该几何体的三视图如图所示 　主视图和左视图相同． 故选：A． 3. 近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】， 故选：B． 4. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设降尘量的年平均下降率为，则 ， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 6. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形最大面积为：， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面结论正确的是（ ） A. B. 若点在此抛物线上，则 C. D. 若点在此抛物线上且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线开口方向判断A；由函数的性质判断C；由对称轴可判断B；由抛物线的对称性即可判断D． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第二象限， ∴，故选项A不符合题意； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故选项C不符合题意； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点， ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故选项B符合题意； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且，则或，故选项D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 10. 一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，这个两位数是____________．（用代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，这个两位数是． 【详解】解：一个两位数的个位数字是a，十位数字是b， 这个两位数是． 故答案为：． 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据判别式的意义得到，然后代入所求的式子计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 记的中点为，连接，可知，然后根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由图可知，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为．若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出抛物线与y轴的交点坐标为，根据对称性求出抛物线的对称轴，进而求出点A坐标，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴； 故答案为：4． 14. 如图，在中，，，M是斜边上一点，连结．将绕点C逆时针旋转得到，连结交于点E，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，进而可得，由可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，则，，由此即可判断结论①；由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，即，由对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可判断结论②；由，可证得，于是可得，即，由勾股定理可得，进而可得，由此即可判断结论③；由，可证得，于是可得，由可得，将代入，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确结论的序号． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 故结论①正确； ，， ， ， 即：， ， ， ， 故结论②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， 故结论③错误； ，， ， ， ， ， ， 故结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程－公式法．根据公式法即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 16. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，所画三角形的面积均为，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画一个，使； （2）在图②中画一个，使； （3）在图③中画一个，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C，构造等腰直角，使，即为所求； （2）取格点D，构造直角，使，，则，即为所求； （3）取格点H，J，连接交格线于点，则即为所求．由网格的性质得，则，即，所以，所以，所以即为所求． 【小问1详解】 解：如图②中，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图①中，即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，即为所求． 18. 某快递公司对其业务量进行统计分析，随机抽取了某日发往相邻城市的1000件快递，称重并记录每件快递的质量（单位：，精确到0.1）．下面给出了部分信息： a．每件快递质量的频数分布直方图如下图（数据分成11组，每小组质量的取值范围含左边界值不含右边界值，如：）． b．这一组的数据如下： 3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9 c．这1000件快递质量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 快递质量（kg） 3.6 m n 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的1000件快递的总质量为______，m的值为______； （2）已知下面四个结论： ①n的值一定在这一组；②n的值可能在这一组； ③n的值不可能在这一组；④n的值不可能在这一组； 所有正确结论的序号是______； （3）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中共有4000件发往相邻城市，估计这批快递质量小于的件数． 【答案】（1）3600；3.3 （2）②④ （3）576件 【解析】 【分析】本题主要考查的是频数分布直方图、用样本估计总体、中位数和众数等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用总数量乘以快递质量的平均数即可求出总质量；首先判断出中位数在中，然后结合中位数的定义进行求解即可； （2）根据众数的定义并结合频数分布直方图可知：在的频数是，的频数是336，相对其他来说，都是远多于其他区间（的频数为15）的频数的，而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值，因此众数出现在这两个区间，的可能性都有的，且可能性较大，出现在，可能性还是有的，但可能性不大，自然众数不可能出现在，其频数都太小了，由此逐一判断各选项即可； （3）用样本估计整体求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的1000件快递的总质量为； ∵前三组，即，，中的快递件数为：， ∴中位数在中， 根据这一组的数据如下： 3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9 ∴． 【小问2详解】 解：结合频数分布直方图可知：在频数是，的频数是336， 相对其他来说，都是远多于其他区间（的频数为15）的频数的， 而众数是出现次数最多的一组数据，这是区间，不是具体数值， ∴众数出现在这两个区间，的可能性都有的，且可能性较大， 出现在，可能性还是有的，但可能性不大， 自然众数不可能出现在，其频数都太小了， ∴①n一定在，说法太绝对，错误； ②n可能在，正确； ③n不可能出现，说法太绝对，错误； ④n不可能出现，正确； 故选：②④． 【小问3详解】 解：（件） ∴估计这批快递质量小于的件数有576件． 19. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点A，以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得，，量得的长为300米，求河的宽度．（结果精确到1米） 【参考数据：，，】 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用（其他问题），一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，读懂题意，根据锐角三角函数的定义正确列出方程是解题的关键． 过点A作于点D，则，设米，在中，由可得，在中，由可得，根据可得，解方程即可求出河的宽度． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 设米， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 解得：， 河的宽度约为米． 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若的半径为2，，求的长．（结果保留π） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长公式等知识． （1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）连接，求得，利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵为半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴的长为． 21. 一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分且与斜坡交于点A，建立如图所示的平面直角坐标系，点O为坐标原点，小球到达最高点的坐标为，点A的横坐标为7． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）小球在斜坡上的落点A距地面（x轴）的垂直高度为______米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小球M能飞过这个广告牌，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案； （2）联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出A点坐标即可； （3）把分别代入和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点A的横坐标为7， 把代入得， ∴， ∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线的解析式为， 当时，，， ∵， ∴小球M能飞过这个广告牌． 22. 【问题引擎】如图①，P是外的一点，直线分别交于A、B两点，则线段的长是点P与上的点之间最长距离． 【问题验证】为验证上面的结论，在如图②所示的上任取一点C（不与点A、B重合），连接、．试证明：． 【问题应用】如图③，在中，，，，点D是边上一点，且．将线段绕点A旋转一定的角度，得到线段，连接，求线段的最大值． 【问题升华】在“问题应用”的条件下，点H是线段上一点，且，连接，则线段的最大值为______． 【答案】【问题验证】见解析；【问题应用】：；【问题升华】 【解析】 【分析】问题验证：根据三角形任意两边之和大于第三边进行证明即可； 问题应用：先根据勾股定理求出，根据，求出，再根据题干提供信息求出最大值即可； 问题升华：过点H作交于点N，连接，过点B作于点M，证明，得出，求出，，根据等积法求出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系求出最大值即可． 【详解】解：问题验证：在上任取一点C（不与点A、B重合），连接、． 则， 根据三角形三边关系可知：， ∴， 即； 问题应用：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知：当点、、在一条直线上，且点在延长上时，最大， ∴最大值：； 问题升华：过点H作交于点N，连接，过点B作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系的应用，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 如图，在中，，，，D是边中点．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位的速度向终点B运动，连接，以为邻边作．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长是______； （2）当点Q在内部时，求t的取值范围； （3）连接，当是轴对称图形时，求与边夹角的正切值； （4）作点A关于直线的对称点，当点与点B在同侧，且直线与的某一条边垂直时，直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或 （4）t的值为或或． 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理可求出，进而根据点D是边的中点可得的长； （2）当点Q落在边上时，依题意得，根据平行线分线段成比例求得，得到，据此计算即可得出t的取值范围； （3）当是轴对称图形时，①当是矩形时，②当是菱形时根据矩形和菱形的性质结合三角函数的定义，计算即可得出答案； （4）依题意有以下三种情况：①当时，②当时，③当时，分别利用相似三角形的判定和性质结合勾股定理，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当点Q落在边上时，如图2所示： 依题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，t的取值范围是：； 【小问3详解】 解：∵是轴对称图形，有以下两种情况： ①当是矩形时， ∴， 此时点Q落在边上，如图2所示： 由（2）可知：是的中位线， ∴，， ∴； ②当是菱形时，如图2所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 综上所述：当是轴对称图形时，与边夹角的正切值为或； 【小问4详解】 解：当直线与的某一条边垂直时，有以下三种情况： ①当时，过点D作于点H，如图4， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， 根据对称性可知：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，延长交于点E，如图5， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，延长交于点F，如图6， ∵， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当直线与的某一条边垂直时，t的值为或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，轴对称图形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的判定和性质，勾股定理等，理解平行四边形，矩形，菱形的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直． ①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值； ②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2）m的值为或； （3）①8；②m的取值范围为：或． 【解析】 【分析】（1）先求出点A坐标，再把代入抛物线即可得b的值，从而可得抛物线表达式，再求顶点即可； （2）分时和时两类情况分别求解即可； （3）①根据，，可得，再根据列式配方求最值即可； ②当时，即时，即P点在N点左边，根据，可得M的坐标为，又当时，矩形内部无抛物线经过，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，可得，故，即；当时，即时，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，当时，无法构成矩形；当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意，则，综上可得m的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 故点， 再把代入抛物线中， 得， ∴抛物线表达式为， 对称轴为直线， 当时，， 故顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时， P点右侧部分最低点为顶点，即，则； 当时， P点右侧部分最低点为点P， 设， 即， 解得：（负值舍去）， 故， 综上，m的值为或； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∴， 则当时，，即矩形面积的最大值为8； ②Ⅰ：当时，即时，即P点在N点左边， 又当时，矩形内部无抛物线经过， 则当时， ∵，， 点N的横坐标为， 故点M的坐标为， 如图1所示，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小， 则， 整理可得：， 从而可得：（正根舍去）， 故，即； Ⅱ：当时，即时，即P点在N点右边， 抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，如图2所示， 当时，无法构成矩形； 当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意， ∴， 综上所述，m的取值范围为：或． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握以上内容并能利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期末质量监测 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则实数a可能是（ ） A. B. C. D. π 2. 如图是一个顶部为圆锥、底部为圆柱形的粮仓，关于它的三视图描述正确的是（ ） A 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 3. 近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/平方公里下降至2022年的3.6吨/平方公里月，若设降尘量的年平均下降率为，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，某汽车车门底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面结论正确的是（ ） A. B. 若点在此抛物线上，则 C. D. 若点在此抛物线上且，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：a3－a=___________ 10. 一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，这个两位数是____________．（用代数式表示） 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为．若点在抛物线上，则的长为______． 14. 如图，在中，，，M是斜边上一点，连结．将绕点C逆时针旋转得到，连结交于点E，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，所画三角形的面积均为，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画一个，使； （2）图②中画一个，使； （3）在图③中画一个，使． 18. 某快递公司对其业务量进行统计分析，随机抽取了某日发往相邻城市的1000件快递，称重并记录每件快递的质量（单位：，精确到0.1）．下面给出了部分信息： a．每件快递质量的频数分布直方图如下图（数据分成11组，每小组质量的取值范围含左边界值不含右边界值，如：）． b．这一组的数据如下： 3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.4 35 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9 c．这1000件快递质量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 快递质量（kg） 3.6 m n 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的1000件快递的总质量为______，m的值为______； （2）已知下面四个结论： ①n的值一定在这一组；②n的值可能在这一组； ③n的值不可能在这一组；④n的值不可能在这一组； 所有正确结论的序号是______； （3）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中共有4000件发往相邻城市，估计这批快递质量小于的件数． 19. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为传承弘扬黄河文化，某校组织学生到黄河某段流域进行研学．数学兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要测量黄河某处的宽度（不能到对岸）．在如图所示的该段河对岸岸边有一点A，以A为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得，，量得的长为300米，求河的宽度．（结果精确到1米） 【参考数据：，，】 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若的半径为2，，求的长．（结果保留π） 21. 一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分且与斜坡交于点A，建立如图所示的平面直角坐标系，点O为坐标原点，小球到达最高点的坐标为，点A的横坐标为7． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）小球在斜坡上的落点A距地面（x轴）的垂直高度为______米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 22. 【问题引擎】如图①，P是外的一点，直线分别交于A、B两点，则线段的长是点P与上的点之间最长距离． 【问题验证】为验证上面的结论，在如图②所示的上任取一点C（不与点A、B重合），连接、．试证明：． 【问题应用】如图③，在中，，，，点D是边上一点，且．将线段绕点A旋转一定的角度，得到线段，连接，求线段的最大值． 【问题升华】在“问题应用”的条件下，点H是线段上一点，且，连接，则线段的最大值为______． 23. 如图，在中，，，，D是边的中点．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位的速度向终点B运动，连接，以为邻边作．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长是______； （2）当点Q在内部时，求t的取值范围； （3）连接，当是轴对称图形时，求与边夹角的正切值； （4）作点A关于直线的对称点，当点与点B在同侧，且直线与的某一条边垂直时，直接写出所有符合条件的t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； （2）这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）最低点的纵坐标为，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直． ①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值； ②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$