精品解析：天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高二上学期1月自主检测数学试卷

蓟州一中高二年级2025-2026第一学期自主检测 数学学科试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将抛物线方程写成标准形式，然后确定其焦点坐标即可. 【详解】抛物线的标准方程为，据此可得抛物线的焦点坐标为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点坐标的求解，属于基础题. 2. 在等差数列中，若，则的值等于（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：C. 3. 非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为为非零数列，由，可得，对任意且都成立， 则是等比数列，充分性成立； 若是等比数列，则，即，对任意且都成立，必要性成立， 所以非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的充要条件. 故选：C 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率求出，然后结合的关系求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线C：的离心率为, 故，， . 故双曲线C的渐近线方程为：. 故选：A 5. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D． 考点：双曲线的标准方程． 6. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 7. 已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，可得，，即可判断①正误；由条件得，根据等差数列求和公式及性质，可判断②正误；根据数列的单调性，可判断③、④的正误. 【详解】对于①：因为，所以，， 所以，故①正确； 对于②：因为，所以， 所以，故②正确； 对于③：因为，所以为单调递增数列， 所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且为单调递增数列，且， 所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确. 故选：D 8. 已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出的通项公式，再根据，利用累乘法求出时的表达式，验证，即可确定的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知是公比为的等比数列，， 则； 故当时，， 则， 当时，也适合上式， 故，则. 故选：A 9. 双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的倾斜角为，得出，根据三角函数定义得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】过点作，垂足为，如图所示：则 因为，所以， 设，根据双曲线的定义得： 则， ， 所以， 所以， 则， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得： ， 整理得，， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知实数成等比数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式即可得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：. 11. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出公差，根据前项和公式得到方程，求出公差，从而得到，求出答案. 【详解】设公差为，因为，所以，， ，故，即， 所以， 故. 故答案为： 12. 正项等比数列中，，若存在两项使得，则的最小值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式可构造方程求得，进而化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由得：，则，解得：（舍）或， 由得：，，即； 所以（当且仅当，时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_____ . 【答案】3 【解析】 【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解. 【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点， 到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标， 所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下： 过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF， 根据抛物线定义有：， 即动点到直线和距离之和等于， 当三点共线时，最小，即点F到直线的距离， 所以动点到直线和距离之和最小为. 故答案为：3 14. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 15. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知的前项中有项，有项，利用分组求和法即可求出答案. 【详解】由题意可得中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 中间插入项，中间插入项， 所以的前项中有项，有项， 所以 . 故答案为：. 三、解答题（共5小题，共60分） 16. 如图，是边长为的正方形，DE⊥平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 根据题意以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得平面与平面 夹角的余弦值. （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有， ， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 17. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） 由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以． 所以 ； 【小问3详解】 由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 18. 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得和，从而求得椭圆的标准方程. （2）以为直径的圆恰好过坐标原点，即，设出直线的方程与椭圆方程联立，整理成关于的二次方程，结合韦达定理，计算，得出直线的斜率，从而求得直线的方程. 【小问1详解】 由得， 又∵短轴长为2，可得，∴， ∴椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为， 设直线的方程为：，则联立， 消元得：， ，即. 设，， ∴，， 由题意可知，即： ， ∴，解得， ∴，所以直线的方程为：. 19. 已知椭圆C：的焦距长为2，左，右顶点分别为，左，右焦点分别为，上顶点为D，过点的直线与椭圆相交于点A，B，且的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且满足，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得，，求出，，得到椭圆方程； （2）直线l的方程为，设，，联立椭圆方程，得到，，根据求出，求出直线方程，联立求出P点坐标，从而根据得到方程，求出，得到直线l的方程. 【小问1详解】 由题意得，故， 由椭圆定义可知， 故的周长，解得， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由题意得，故直线l的方程为， 与联立得， 设，， 恒成立， 由韦达定理得，解得， 故， 令，解得， 又， 则直线方程为，即， 联立，解得，故， 中，令得，故 又， 故， 即， 解得，所以直线l的方程为， 即. 20. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）集合共有4个元素，求实数范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用换递推公式中的，然后两式相减，化简得，利用等比数列通项公式可得，利用等差数列的通项公式可得； （2）代入和，裂项相消，可求和； （3）令，研究数列的单调性，要求  恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个 ， 使得 ，只需. 【小问1详解】 当时，用替换得：， 将原式与  时的式子相减得： ， 两边乘以  得， ； 当  时，有，上式也成立， 故  是首项为 、公比为  的等比数列， 因此， 点  在直线  上， 所以， 故是首项为、公差为的等差数列， 因此， 【小问2详解】 由 (1) 知 ，，， 所以， 故. 【小问3详解】 由 (1) 知 ，，所以，该表达式对有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当时， 故对恒成立， 在时单调递减，所以对恒成立. 集合的元素是满足的自然数（）， 要求恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个，即， 使得， 当时，均满足，至少有 5 个元素； 当 （即时， 满足， 而不满足，恰好 4 个元素； 当时，满足条件的 减少至 2 个或更少. 因此， 恰有 4 个元素当且仅当， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓟州一中高二年级2025-2026第一学期自主检测 数学学科试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则的值等于（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 26 3. 非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 6. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知实数成等比数列，则________. 11. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则_________. 12. 正项等比数列中，，若存在两项使得，则的最小值是_______. 13. 已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为_____ . 14. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 15. 已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则_____. 三、解答题（共5小题，共60分） 16. 如图，是边长为的正方形，DE⊥平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 18. 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程. 19. 已知椭圆C：的焦距长为2，左，右顶点分别为，左，右焦点分别为，上顶点为D，过点的直线与椭圆相交于点A，B，且的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且满足，求直线l的方程. 20. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）集合共有4个元素，求实数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $