第21章 一元二次方程 期末填空题真题专题演练2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版九年级上册数学 期末真题专题演练 第21章《一元二次方程》   填空题真题演练   1.（25-26·广东月考）是一个一元二次方程，则_________． 2.（24-25·吉林月考）把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是______________． 3.（24-25·福建月考）若是关于的方程的一个根，则的值是__________． 4.（25-26·甘肃期中）将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为___________． 5.（25-26·全国月考）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当_______________时，． 6.（25-26·江苏模拟）已知关于的一元二次方程有实数根，当取最大整数值时，代数式的值为__________． 7.（25-26·全国期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为________________． 8.（25-26·四川期中）已知，则___________． 9.（25-26·江苏月考）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为_____________． 10.（25-26·甘肃模拟）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 11.（25-26·江苏期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为___________． 12.（25-26·山东期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则_________秒时，的面积是． 13.（25-26·山东期中）如图在一块长为米，宽为米的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，道路与矩形边所夹的锐角，剩余部分种上草坪，使草坪面积为米，求图中的值．请根据题意，列出关于的方程：___________． 14.（25-26·全国期中）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________． 15.（25-26·吉林期中）如图，在中，，，，动点、分别从点、同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点后停止，点也随之停止运动.若使的面积为，则点运动的时间是________． 16.（25-26·福建月考）已知，且，那么的值为____________． 17.（24-25·江苏模拟）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为______． 18.（25-26·江苏月考）阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是___________． 19.（25-26·安徽模拟）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为______________． 20.（24-25·新疆期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当__________时最大；当 __________时的值为．   2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册数学 期末真题专题演练 第21章《一元二次方程》   填空题真题演练   1.（25-26·广东月考）是一个一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】本题主要考查一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的概念，含有个未知数，未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程． 根据题意列出关于的方程，得到结果即可． 【解答】解：由题可得：， 解得：， ， 故答案为：．  2.（24-25·吉林月考）把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项是_________________． 【答案】 【解析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程化成一般形式之后， 变为， 故常数项是：． 故答案为：． 3.（24-25·福建月考）若是关于的方程的一个根，则的值是________4______． 【答案】 【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左边两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ， ， 故答案为：． 4.（25-26·甘肃期中）将一元二次方程化成的形式，则方程可变形为_____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：．  5.（25-26·全国月考）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当__________________时，． 【答案】 【解析】首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根. 【解答】解：由题意可得． 整理得 ， 解得． 故答案为 6.（25-26·江苏模拟）已知关于的一元二次方程有实数根，当取最大整数值时，代数式的值为______4______． 【答案】 【解析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，则， ，且， 解得， 取最大整数为，此时原方程为， 即， ， 代数式的值为， 故答案为：4 7.（25-26·全国期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为_____或_____________． 【答案】或 【解析】先求出的两个根，再根据“倍根方程”的定义求值即可． 【解答】解方程得 是倍根方程， 或 当时，， 当时，， 故答案为：或． 8.（25-26·四川期中）已知，则_____5_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出的值即可得到答案． 【解答】解：设，则， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为： 5 9.（25-26·江苏月考）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为_______2025_______． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【解答】解：是方程的根， ，即． 又， ． 故答案为：． 10.（25-26·甘肃模拟）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为________16_________． 【答案】 【解析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【解答】解：和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 故答案为：16 11.（25-26·江苏期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为_____2_______． 【答案】 【解析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【解答】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 12.（25-26·山东期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则_____或_______秒时，的面积是． 【答案】或 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设运动时间为 秒，则，， ， ， 整理得：， 解得：，， 或秒时，的面积是． 故答案为：或3 13.（25-26·山东期中）如图在一块长为米，宽为米的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，道路与矩形边所夹的锐角，剩余部分种上草坪，使草坪面积为米，求图中的值．请根据题意，列出关于的方程：____________． 【答案】 【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形面积草坪面积两条道路的面积两条道路重合部分的面积列出方程即可． 【解答】解：如图：过点作， ， ， 由题意，，米， 米，米， 矩形面积草坪面积两条道路的面积两条道路重合部分的面积， 根据题意，可列方程为：． 即， 故答案为：． 14.（25-26·全国期中）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_______________． 【答案】 【解析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【解答】解：，， 由根与系数的关系得：，；，；…，； 原式 故答案为： 15.（25-26·吉林期中）如图，在中，，，，动点、分别从点、同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点后停止，点也随之停止运动.若使的面积为，则点运动的时间是___3________． 【答案】 【解析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间． 【解答】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ． 故答案为：． 16.（25-26·福建月考）已知，且，那么的值为_______205_______． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【解答】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 17.（24-25·江苏模拟）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为_____24______． 【答案】 【解析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，，，，，，根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【解答】解：， 之间共有个或个整数， 个连续的整数满足， ． 当时， 间有个整数， 则，之间的个整数设为，，， ，之间的个整数为，，，， ， 或． 当上有个整数，，无整数解． 当时，间有个整数， 则，之间的个整数设为，，，， ，之间的个整数为，，， ， 或， 当，间有个整数时， 则，之间的个整数设为，，，， ，之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则，之间的个整数设为，，，，， ，之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则，之间的个整数设为，，，，，， ，之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ， 故答案为：．  18.（25-26·江苏月考）阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是________________． 【答案】 【解析】将原函数化为的一元二次方程，再利用∆求解即可得到答案. 【解答】将原函数化为的一元二次方程，得， 为实数， ， ， 函数的最小值是， 故答案为： 19.（25-26·安徽模拟）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为_______或_________． 【答案】或 【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的两腰相等，可分两种情况求解，当等腰三角形的腰是时，则方程有一根是，把代入方程，可得关于的方程，解方程即可求出的值；当是等腰三角形的底边长时，则有，所以方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：，解方程即可求出的值． 【解答】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时， 则方程有一个根是， 可得：， 解得：； 当等腰的底边长是时， 则有， 则方程有两个相等的根， ， 解得：； 当时，三边长为、、，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为、、，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 20.（24-25·新疆期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧作，且，点在射线上．设点的运动时间为．与的重叠部分的面积为，则当____________时最大；当 _____或_________时的值为． 【答案】,或 【解析】根据题意得出，然后根据题意画出图形，找到临界点，分情况讨论，得出，根据二次函数的性质，求得最值，进而根据面积为，建立方程，解方程即可求解． 【解答】解：在中，，，， ，， 作于点， 由题意得，， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， ，， ，，则， 当点运动到与点重合时， ， 当点运动到与点重合时， ，， 当时，， 当时，如图所示， ，则， 则是等边三角形， 则，， ，， ，， ， ， ， ， 综上所述，， 当时，取得最大值， 当时， ，解得：（负值舍去）， 或， 解得：或（舍去）， 故答案为：；或．   2 1 学科网（北京）股份有限公司 $