21章-22章单元作业2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

21章-22章单元作业2025-2026学年人教版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝10（x﹣6）2的顶点坐标是（　　） A．（10，6） B．（10，﹣6） C．（﹣6，0） D．（6，0） 2．一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象解析式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣2）2 B．y＝﹣3x2 C．y＝﹣3（x﹣2）2﹣4 D．y＝﹣3x2﹣4 4．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），都在二次函数y＝x2+x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（　　） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 6．已知二次函数y＝ax2+bx+6的y与x的部分对应值如下表，则下列说法正确的是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y 6 8 6 0 ﹣10 … A．该函数开口向上 B．函数图象与x轴交于（1，0）和（3，0） C．当x＞2时，函数值y随的x增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝4有一个根小于﹣3 7．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏BC的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A． B． C．x（80﹣2x）＝640 D．x（80﹣x）＝640 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝kx2（k为常数，且k≠0）和一次函数y＝kx﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．若y＝（m﹣2）3x是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 12．若抛物线y＝x2﹣4x+k与坐标轴只有两个交点，则k＝　 　 ． 13．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　 　 ． 14．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　 　 只鸡受到传染． 15．已知函数y＝x2﹣4x+3，当﹣1≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差等于　 　 ． 16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1m，那么水面宽度为　 　 m． 三．解答题（共7小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点为（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出抛物线； （3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 19．关于x的方程为（k2﹣1）x2﹣（3k﹣1）x+2＝0，k为实数． （1）若方程有一个根是1，求此时k的值； （2）求证：不管k取任何实数，方程总有实数根； （3）求整数k，使原方程至少有一个整数根． 20．美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化面积达到14.4万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题： （1）求该城区绿化面积的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现． 21．一次校运会上，一名男同学扔铅球时，铅球的运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知铅球距离地面的高度y（单位：米）与铅球距离男同学的水平距离x（单位：米）满足函数关系式y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.3． （1）求铅球出手时与地面的距离（OA的长）； （2）求铅球落地时与该男同学的水平距离（OB的长）为多少米？ 22．已知抛物线y＝ax2﹣2x+4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求a的值和点B的坐标； （2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，再过点P作PH⊥AC于点H，求PQ最大值时点P的坐标以及此时△PQH周长的最大值． 23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． （1）求抛物线的对称轴； （2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； （3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21章-22章单元作业2025-2026学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C C A A C C 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y＝10（x﹣6）2的顶点坐标是（　　） A．（10，6） B．（10，﹣6） C．（﹣6，0） D．（6，0） 【分析】根据抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，则顶点坐标为（h，k），直接确定顶点坐标，解答即可． 【解答】解：由抛物线的解析式为y＝10（x﹣6）2，得h＝6，k＝0，故顶点坐标为（6，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标确定，熟练掌握公式是解题的关键． 2．一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解． 【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4， （1）当2为腰，4为底时，2+2＝4，不能构成三角形； （2）当4为腰，2为底时，4，4，2，能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论． 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象解析式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣2）2 B．y＝﹣3x2 C．y＝﹣3（x﹣2）2﹣4 D．y＝﹣3x2﹣4 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的解析式为y＝﹣3（x﹣1+1）2﹣2+2，即y＝﹣3x2， 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 4．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），都在二次函数y＝x2+x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），分别代入二次函数y＝x2+x解析式，即可比较y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），都在二次函数y＝x2+x的图象上， 对于点 A（﹣2，y1），有 ； 对于点 B（﹣1，y2），有 ； 对于点 ，有 ， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 【点评】本题考查了比较二次函数函数值的大小，正确进行计算是解题关键． 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（　　） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有x（x﹣1）场，再根据共有20场比赛来列出方程，从而求解． 【解答】解：设有x个足球队参加， 根据题意得：x（x﹣1）＝20， 整理得x2﹣x﹣20＝0， ∴（x﹣5）（x+4）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）； ∴共有5个足球队参加比赛． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+6的y与x的部分对应值如下表，则下列说法正确的是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y 6 8 6 0 ﹣10 … A．该函数开口向上 B．函数图象与x轴交于（1，0）和（3，0） C．当x＞2时，函数值y随的x增大而减小 D．方程ax2+bx+c＝4有一个根小于﹣3 【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断． 【解答】解：将（1，0），（﹣1，8）代入二次函数的解析式， 得：， ∴． ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8， ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1． ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，且当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故A错误，C正确． 又∵抛物线过（1，0）， ∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），故B错误，不合题意． ∵抛物线为y＝﹣2（x+1）2+8， ∴当x＝﹣1时，y取最大值为8． ∴当y＝4时，直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+6有两个交点， ∴此时方程ax2+bx+c＝4的根有两个，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式． 7．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【分析】根据根与系数的关系，得到x1+x2＝4，x1x2＝3，整体代入法求值即可． 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴； 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏BC的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A． B． C．x（80﹣2x）＝640 D．x（80﹣x）＝640 【分析】根据AB的长表示出线段AD或线段BC的长，利用矩形的面积列出方程即可． 【解答】解：设AB的长为x米，则AD（80﹣x）， 根据矩形的面积得：x（80﹣x）＝640， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是表示出矩形的宽，难度不大． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝kx2（k为常数，且k≠0）和一次函数y＝kx﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题可分当k＞0和k＜0两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 【解答】解：当k＞0时，则二次函数y＝kx2开口向上，一次函数y＝kx﹣2图象经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当k＜0时，则二次函数y＝kx2开口向下，一次函数y＝kx﹣2图象经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝3时，函数值大于0，则9a+3b+c＞0，即9a+c＞﹣3b；由图象过点（﹣1，0），知a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，再根据抛物线开口向下得a＜0，可得7a﹣3b+2c＝9a＜0；利用抛物线的对称性得到C′（﹣3，y3），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断即可． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝2， ∴， ∴﹣b＝4a， ∴4a+b＝0，故（1）正确； 由函数图象可知，当x＝3时，y＞0，即：9a+3b+c＞0， ∴9a+c＞﹣3b，故（2）正确； ∵图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 又∵b＝﹣4a， ∴a+4a+c＝0，即：c＝﹣5a， ∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴7a﹣3b+2c＝9a＜0，故（3）错误， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴C（7，y3）在图象上的对称轴点坐标为：C′（﹣3，y3） ∵A（﹣3，y1） ∴y1＝y3 而在对称轴的左侧， ∴y随x的增大而增大， ∴y1＝y3＜y2，故（4）错误， ∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（5，0）， 过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为x1和x2， 依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故（5）正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若y＝（m﹣2）3x是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】利用二次函数定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，解方程即可． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）3x是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 12．若抛物线y＝x2﹣4x+k与坐标轴只有两个交点，则k＝　4或0　 ． 【分析】结合题意抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴只有一个交点，得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解出k＝4，即可作答． 【解答】解：由题意可得：当x＝0时，y＝k， 当k≠0时，则方程x2﹣4x+k＝0，有2个相等实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0， 解得k＝4． 当k＝0时，抛物线过原点，符合题意， 综上所述，k＝4或0． 故答案为：4或0． 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　﹣6　 ． 【分析】由已知条件可得x2﹣2x＝3，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴4x﹣2x2 ＝﹣2（x2﹣2x） ＝﹣2×3 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 14．有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 　729　 只鸡受到传染． 【分析】设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染，根据“有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入81+81x中即可求出结论． 【解答】解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1+x）只鸡被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝81， 整理得：（1+x）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴81+81x＝81+81×8＝729， ∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染． 故答案为：729． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．已知函数y＝x2﹣4x+3，当﹣1≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差等于　9　 ． 【分析】根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，即可得出结果． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）， ∵﹣1≤x≤3， ∴当x＝2时，函数值最小为﹣1，当x＝﹣1时，函数值最大为（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8， ∴8﹣（﹣1）＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，关键是掌握二次函数的性质． 16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1m，那么水面宽度为　　 m． 【分析】从图中读取信息，则，设点O是原点，得到点A，B的坐标；设二次函数的解析式为：y＝ax2+b（a≠0），求出解析式；再根据水面上升1米，则OM＝1，代入函数解析式，求出x，即可． 【解答】解：由题意得，AB＝4，ON＝2， ∵抛物线关于y轴对称， ∴， 设点O是原点， ∴点A（﹣2，﹣2），B（2，﹣2）， 设二次函数的解析式为：y＝ax2+b（a≠0）， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为：， 当水面上升1米交抛物线CD，CD交ON于点M， ∴OM＝1， ∴， 解得：， ∴点，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的知识，解题的关键是正确进行计算． 三．解答题（共7小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【分析】（1）方程利用公式法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）移项得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， 分解因式得：（2x﹣5）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点为（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出抛物线； （3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特征得到c＝3，再根据对称轴得到b＝2，即可求出此抛物线的表达式； （2）把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标，然后画出函数图象即可； （3）求得x＝3时的函数值，根据图象求得即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点（0，3）， ∴c＝3， ∵对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的顶点为（1，2）， 在平面直角坐标系xOy中画出抛物线如图： ； （3）当x＝3时，y＝（x﹣1）2+2＝6， x＝1时，y＝2， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是2≤y＜6． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，正确的理解题意是解题的关键． 19．关于x的方程为（k2﹣1）x2﹣（3k﹣1）x+2＝0，k为实数． （1）若方程有一个根是1，求此时k的值； （2）求证：不管k取任何实数，方程总有实数根； （3）求整数k，使原方程至少有一个整数根． 【分析】（1）把x＝1代入方程进行求解即可； （2）分类讨论，当k2﹣1＝0时，k＝1或k＝﹣1，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当k2﹣1≠0时，利用根的判别式Δ＝（k﹣3）2≥0，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证； （3）至少有一实数根为整数，分方程为一元一次方程和一元二次方程，分别求出方程的解，再根据原方程至少有一个整数根，进行求解即可． 【解答】（1）解：由条件可得（k2﹣1）﹣（3k﹣1）+2＝0， 解得k＝1或k＝2； 当k＝1时，方程为﹣2x+2＝0，符合题意； 当k＝2时，方程为3x2﹣5x+2＝0，符合题意； 故k＝1或k＝2． （2）证明：当k2﹣1＝0时，k＝1或k＝﹣1． 原方程为﹣2x+2＝0，或4x+2＝0，两个方程均有实数根． 当k2﹣1≠0时， Δ＝[﹣（3k﹣1）]2﹣8（k2﹣1）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0．方程有实数根． 综上，k为任何实数，原方程均有实数根． （3）解：当k＝1时，方程化为﹣2x+2＝0，解得x＝1，符合题意； 当k＝﹣1时，方程化为4x+2＝0，解得，不符合题意． 当k2﹣1≠0时， ∵Δ＝（k﹣3）2≥0， ∴． 即． 若x1是整数， 则k+1＝±1，±2． ∴k＝0，﹣2，1，﹣3． 取k＝0，﹣2，﹣3． 若x2是整数， 则k﹣1＝±1． ∴k＝2，0． 综上，k＝2，1，0，﹣2，﹣3，原方程至少有一个整数根． 【点评】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20．美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化面积达到14.4万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题： （1）求该城区绿化面积的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现． 【分析】（1）设该城区绿化面积的年平均增长率为x，利用该城区2025年底时绿化面积＝该城区2023年底时绿化面积×（1+该城区绿化面积的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用该城区2026年底时绿化面积＝该城区2025年底时绿化面积×（1+该城区绿化面积的年平均增长率），可求出该城区2026年底时绿化面积，再将其与17万亩比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该城区绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意得：10（1+x）2＝14.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该城区绿化面积的年平均增长率为20%； （2）根据题意得：14.4×（1+20%）＝17.28（万亩）， ∵17.28万亩＞17万亩， ∴该目标能实现． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．一次校运会上，一名男同学扔铅球时，铅球的运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知铅球距离地面的高度y（单位：米）与铅球距离男同学的水平距离x（单位：米）满足函数关系式y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.3． （1）求铅球出手时与地面的距离（OA的长）； （2）求铅球落地时与该男同学的水平距离（OB的长）为多少米？ 【分析】（1）令x＝0，求解即可． （2）令y＝0，求解即可． 【解答】解：（1）由题意，令x＝0， ∴y＝﹣0.1×（0﹣3）2+2.3＝1.4， 答：铅球出手时与地面的距离为1.4米； （2）由题意，令y＝0， ∴﹣0.1（x﹣3）2+2.3＝0， ∴或（舍去）， 答：铅球落地时与该男同学的水平距离（OB的长）为米． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确理解题意是解题的关键． 22．已知抛物线y＝ax2﹣2x+4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求a的值和点B的坐标； （2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，再过点P作PH⊥AC于点H，求PQ最大值时点P的坐标以及此时△PQH周长的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则Q（t，t+4），可得∠ACO＝∠PQH＝45°，分别求得，，则PQ，△PQH的周长都可以表示为t的二次函数，对此利用二次函数求最值即可，并可求出此时的P坐标． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣2x+4过点A（﹣4，0）， ∴将A（﹣4，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x+4得： a×（﹣4）2﹣2×（﹣4）+4＝0， 16a+8+4＝0， ， ∴二次函数解析式为， 令y＝0即， ， ∴； （2）解：二次函数解析式为， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∴OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO＝45°， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入C（0，4），A（﹣4，0）， ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， ∵PH⊥AC，PQ∥y轴， ∴∠ACO＝∠PQH＝45°， ∴，， ∴△PQH的周长， 设，则Q（t，t+4）， ， 当t＝﹣2时，PQ有最大值， 把t＝﹣2代入， 此时P（﹣2，5）， ∵△PQH的周长， ， 当t＝﹣2时，△PQH的周长有最大值． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，利用二次函数求最值，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． 23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． （1）求抛物线的对称轴； （2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； （3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据y＝ax2+bx+c的图象经过点O（0，0），A（4，0），即可求解； （2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为（2，2），可画出图象，则，即可得BO＝AB，即可证明△ABO是等腰直角三角形； （3）根据点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，且抛物线经过（0，0）与（4，0），（2，2）三点，设y＝ax（x﹣4），将（2，2）代入，可解得，即可得y．要使△APQ是正三角形，设点P为，过点P作PC⊥x轴，交x轴于点C，分三种情况：当x＞4时，当0＜x＜4时，当x＜0时，分别求解即可． 【解答】（1）解：∵y＝ax2+bx+c的图象经过点O（0，0），A（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）证明：∵物线的对称轴为直线x＝2，顶点B的纵坐标为2， ∴顶点B的坐标为（2，2）， 如图1， 由勾股定理得：OB2，AB＝2， ∴BO＝AB， 又∵BO2+AB2＝8+8＝16，AO2＝16， ∴BO2+AB2＝AO2， ∴∠OBA＝90°， ∴△ABO是等腰直角三角形； （3）解：存在正三角形APQ；理由如下： ∵点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，且抛物线经过O（0，0）与A（4，0），B（2，2）三点，将点A，点B，点O的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2+2xx（x﹣4）， 要使△APQ是正三角形， 设点P为，过点P作PC⊥x轴，交x轴于点C，如图2， 分三种情况： 当x＞4时，， ∵∠CAP＝60°， ∴， ∴， 解得：x1＝4（与A点重合，舍去），x24（不合题意，舍去）； 当0＜x＜4时，则AC＝4﹣x，CP， ∴， 解得：x， 根据正三角形对称性，点Q在x轴上， ∴点Q坐标为； 当x＜0时，则AC＝4﹣x，CP， ∴， 解得：x＝﹣2， ∴xQ＝2×（）﹣4＝﹣44， ∴点Q的坐标为． 综上所述，存在正三角形APQ，点Q的坐标为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/6 14:50:51；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $