九上专题一 一元二次方程(期末复习专题)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

九年级上册 领域一　 数与代数 专题一　 一元二次方程 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 1　 类型 1　解一元二次方程 1. 用合适的方法解下列方程: (1)(2x) 2 -4 = 0; (2)x2 +4x-5 = 0; (3)2x2 = 5x-1; (4)(2x+3) 2 = 3(2x+3); (5)3x2 -6x+4 = 0. 类型 2　一元二次方程根的判别式 2. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2 -5x-m = 0(m 为常数) . (1) 若 x = 2 是该方程的一个实数根, 求 m 的值; (2)若该方程有两个不相等的实数根,求 m 的 取值范围. 解:(1)将 x = 2 代入原方程得 2 × 22 - 5 × 2 - m= 0, 解得 m=-2, ∴m 的值为-2. (2)∵关于 x 的一元二次方程 2x2-5x-m= 0 有 两个不相等的实数根, ∴Δ=(-5) 2-4×2×(-m)>0, 解得 m>-25 8 , ∴m 的取值范围为 m>-25 8 . 3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m+5)x+3m+ 6 = 0. (1) 求证:不论实数 m 取何值,方程总有实 数根; (2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的 长,当这个矩形的对角线长为 5 时,求 m 的值. (1)证明:∵Δ= [-(m+5)] 2-4(3m+6)= m2- 2m+1=(m-1) 2≥0, ∴不论实数 m 取何值,方程总有实数根. (2)解:设矩形的两邻边长为 a,b, 根据根与系数的关系得 a+b =m+ 5 > 0,ab = 3m+6>0,∴m>-2. ∵ a2+b2 = 25,∴ (a+b) 2-2ab= 25, 即(m+5) 2-2(3m+6)= 25, 整理得 m2 +4m-12 = 0,解得 m1 = -6(舍去), m2 = 2, ∴m 的值为 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 类型 3　一元二次方程的实际应用 4. 窗帘的褶皱是按照窗户的实际宽度将窗帘布 料以一定比例加宽制成的,窗宽度的 1. 5 倍为 平褶皱,窗宽度的 2 倍为波浪褶皱. 如图,小莉 房间的窗户呈长方形,其宽度 ( AD) 比高度 (AB)少 0. 5 m,她打算订做一幅与窗户高度相 同的 窗 帘, 已 知 某 种 窗 帘 布 料 的 价 格 为 120 元 / m2,用波浪褶皱的方式制作窗帘所产生 的费用比用平褶皱的方式多 180 元,求小莉房 间窗户的宽度与高度. 解:设小莉房间窗户的宽度为 x m,则高度为 (x+0. 5)m, 由题意得(2-1. 5)x×(x+0. 5)×120= 180, 整理得 x2+ 1 2 x-3= 0, 解得 x1 =-2(不符合题意,舍去),x2 = 1. 5, ∴ x+0. 5= 1. 5+0. 5= 2, 答:小莉房间窗户的宽度为 1. 5 m,高度为 2 m. 5. 在某校运动会入场式的彩排中,国旗护卫队的 20 名学生排成了 4 行 5 列的矩形方阵,为了表 演的需要,又增加了 22 名学生,与之前的学生 一起排成一个新的矩形方阵. 与原方阵相比, 新方阵增加的行数和增加的列数相同. 求新方 阵增加了多少列? 解:设新方阵增加了 x 列,则新方阵增加了 x 行, 由题意得(4+x)(5+x)= 20+22, 整理得 x2+9x-22= 0, 解得 x1 = 2,x2 =-11(不符合题意,舍去) . 答:新方阵增加了 2 列. 6. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货 物的销售单价与日销售量开展项目式学习活 动,请你参与活动,并与他们共同完成该项目 任务. 项目主题:商品销售策略的制定 驱动问题:某玩具店老板欲购进一批进价为 40 元 /个的益智玩具,请你运用所学数学知识 根据市场情况和该玩具店老板的要求,帮助他 制定这种益智玩具的销售策略. 任务一:市场调查 调查附近 A,B,C,D,E 五家玩具店近期销售这 种益智玩具的销售单价 x ( 元) 和日销售量 y(个)的情况,记录如下表: 玩具店 A B C D E 销售单价 x /元 61 60 59 58 57 日销售量 y /个 28 30 32 34 36 任务二:模型建立 (1)该益智玩具的日销售量 y 与销售单价 x 之 间的函数关系式为　 y= 150-2x　 ; 任务三:问题解决 (2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每 天的支出为 300 元,该玩具店老板想要每天获 得 200 元的利润,同时为了尽快减少库存,那 么该益智玩具的销售单价应定为多少元? 解:由题意得:(150-2x)(x-40)-300= 200, 整理得 x2-115x+3 250= 0, 解得 x1 = 65,x2 = 50, 当 x= 65 时,150-2x= 20; 当 x= 50 时,150-2x= 50. ∵20<50,且为了尽快减少库存,∴ x= 50. 答:该益智玩具的销售单价应定为 50 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41　 　 (2)解:∵ sinA+cosA= 4 3 , ∴ (sinA+cosA) 2 = ( 4 3 ) 2 , 即 sin2A+cos2A+2sinA·cosA= 16 9 , ∵ sin2A+cos2A= 1, ∴ 1+2sinA·cosA= 16 9 , ∴ sinA·cosA= 7 18 . 期末复习专题 九年级上册 领域一　 数与代数 专题一　 一元二次方程 1.解:(1)(2x) 2 -4 = 0, 4x2 -4 = 0, 4x2 = 4, x2 = 1, ∴ x1 = -1,x2 = 1. (2)x2 +4x+4 = 9, (x+2) 2 = 9, ∴ x+2 = 3 或 x+2 = -3, ∴ x1 = 1,x2 = -5. (3)2x2 = 5x-1, 2x2 -5x+1 = 0, x= 5± 17 4 , ∴ x1 = 5+ 17 4 ,x2 = 5- 17 4 . (4)(2x+3) 2 = 3(2x+3), (2x+3) 2 -3(2x+3)= 0, (2x+3)(2x+3-3)= 0, ∴ 2x+3 = 0 或 2x= 0, ∴ x1 = - 3 2 ,x2 = 0. (5)3x2 -6x= -4, x2 -2x= - 4 3 , x2 -2x+12 = - 4 3 +12 , (x-1) 2 = - 1 3 . ∵ 实数的平方不会是负数, ∴ 原方程无实数根. 2.解:(1)将 x= 2 代入原方程得 2×22 -5×2-m= 0, 解得 m= -2, ∴ m 的值为-2. (2)∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2 -5x-m= 0 有两个不相等 的实数根, ∴ Δ= (-5) 2 -4×2×(-m)>0, 解得 m>-25 8 , ∴ m 的取值范围为 m>-25 8 . 3. (1)证明:∵ Δ= [-(m+ 5)] 2 - 4(3m+ 6) = m2 - 2m+ 1 = (m- 1) 2 ≥0, ∴ 不论实数 m 取何值,方程总有实数根. (2)解:设矩形的两邻边长为 a,b, 根据根与系数的关系得 a+b=m+5>0,ab= 3m+6>0, ∴ m>-2. ∵ a2 +b2 = 25,∴ (a+b) 2 -2ab= 25, 即(m+5) 2 -2(3m+6)= 25, 整理得 m2 +4m-12 = 0,解得 m1 = -6(舍去),m2 = 2, ∴ m 的值为 2. 4.解:设小莉房间窗户的宽度为 x m,则高度为(x+0. 5)m, 由题意得(2-1. 5)x×(x+0. 5)×120 = 180, 整理得 x2 + 1 2 x-3 = 0, 解得 x1 = -2(不符合题意,舍去),x2 = 1. 5, ∴ x+0. 5 = 1. 5+0. 5 = 2, 答:小莉房间窗户的宽度为 1. 5 m,高度为 2 m. 5.解:设新方阵增加了 x 列,则新方阵增加了 x 行, 由题意得(4+x)(5+x)= 20+22, 整理得 x2 +9x-22 = 0, 解得 x1 = 2,x2 = -11(不符合题意,舍去) . 答:新方阵增加了 2 列. 6. (1)y= 150-2x (2)解:由题意得(150-2x)(x-40)-300 = 200, 整理得 x2 -115x+3 250 = 0, 解得 x1 = 65,x2 = 50, 当 x= 65 时,150-2x= 20; 当 x= 50 时,150-2x= 50. ∵ 20<50,且为了尽快减少库存,∴ x= 50. 答:该益智玩具的销售单价应定为 50 元. 专题二　 二次函数 1.解:(1)由题意得 y = a(x- 1) ( x+ 3) = a( x2 + 2x- 3) = ax2 + bx+3, 则 a= -1,b= -2. (2)由(1)得抛物线的解析式为 y= -x2 -2x+3. 抛物线的对称轴为 x= -1, 设 P(-1,t), ∵ B(-3,0),C(0,3), ∴ BC2 = 18,PB2 = (-1+3) 2 +t2 = 4+t2 , PC2 = (-1) 2 +( t-3) 2 = t2 -6t+10. ①若点 B 为直角顶点,则 BC2 +PB2 =PC2 , 即 18+4+t2 = t2 -6t+10, 解得 t= -2; ②若点 C 为直角顶点,则 BC2 +PC2 =PB2 , 即 18+t2 -6t+10 = 4+t2 , 解得 t= 4; ③若点 P 为直角顶点,则 PB2 +PC2 =BC2 , 即 4+t2 +t2 -6t+10 = 18, 解得 t= 3± 17 2 . 综上所述,点 P 的坐标为 ( - 1, - 2) 或 ( - 1, 4) 或 ( - 1, 3+ 17 2 )或(-1,3 - 17 2 ) . 2.解:(1)当 x= 0 时,y= 3,∴ B(0,3), ∵ OB= 3OC,∴ C(-1,0), 将点 C 的坐标代入 y=ax2 -2ax+3 中, 得 3a+3 = 0,∴ a= -1, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. (2)设 P( t,-t2 +2t+3), ∵ 将点 P 向上平移 2 个单位长度得到点 P′, ∴ P′( t,-t2 +2t+5), ∵ P′关于原点对称的点的坐标为(-t,t2 -2t-5), ∴ t2 -2t-5 = -t2 -2t+3,解得 t= ±2, ∴ P(2,3)或(-2,-5) . (3)平移后的抛物线解析式为 y= -(x-1-n) 2 +4, ∴ 抛物线 L 的对称轴为直线 x= 1+n, ∵ y1 ≥y2 , ∴ | n+1+1 | ≤ | n+1-5 | ,解得 n≤1, ∵ n>0, ∴ 0<n≤1. 3.解:(1)二次函数; 设 y=ax2 +bx+c(a≠0), ∵ x= -2 时,y= 49;x= 0 时,y= 49;x= 2 时,y= 41, ∴ 4a-2b+c= 49, c= 49, 4a+2b+c= 41, { 解得 a= -1, b= -2, c= 49, { ∴ y 关于 x 的函数关系式为 y= -x2 -2x+49. (2)由(1)得 y= -x2 -2x+49, ∴ y= -(x+1) 2 +50, ∵ a= -1<0, ∴ 当 x= -1 时,y 有最大值为 50, ∴ 当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6<x<4. 4. 解:(1)由题意得点 A 横坐标为 2,纵坐标为 1. 6+0. 2 = 1. 8, 设 L1 :y1 =a(x-2) 2 +1. 8, 将 H(0,1. 6)代入函数的解析式 y1 = a( x- 2) 2 + 1. 8 可得, 1. 6 = 4a+1. 8, ∴ a= - 1 20 , ∴ L1 为 y= - 1 20 (x-2) 2 +1. 8, 当 y= 0 时,0 = - 1 20 (x-2) 2 +1. 8, ∴ x1 = 8,x2 = -4(舍去), ∴ 喷出水的最大射程 OC 为 8 米. (2)当 d=4 时,根据题意得 E(7,0),F(7,0. 6), ∴ 当 x= 7 时,y1 = - 1 20 (7-2) 2 +1. 8 = 0. 55, ∵ 0. 55<0. 6, ∴ 当 d= 4 时,灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿 化带. (3)∵ EF= 0. 6,∴ 点 F 的纵坐标为 0. 6, ∴ 0. 6 = - 1 20 (x-2) 2 +1. 8, ∴ x1 = 2+2 6 ,x2 = 2-2 6 (舍去), ∴ d 的最大值为 2+2 6 -DE= 2 6 -1, 当 y= 0 时,0 = - 2 5 x2 +1. 6, 解得 x1 = 2,x2 = -2(不符合题意,舍去), 当下边缘抛物线经过点 D 时,d 的最小值为 2, ∴ d 的取值范围是 2≤d≤2 6 -1. 领域二　 图形与几何 专题三　 平移、旋转、轴对称 1.解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求作的三角形. (2)由图可知点 A1 的坐标为(0,4),点 B1 的坐标为(-1,1). (3)由题意得△ABC 的面积为 1 2 ×4×3 = 6, 设点 P 的坐标为(0,m), ∵ △BCP 的面积是△ABC 面积的 2 倍, ∴ 1 2 ×4× |m-(-2) | = 6×2,∴ |m+2 | = 6, ∴ m+2 = 6 或 m+2 = -6, ∴ m= 4 或 m= -8, ∴ 点 P 的坐标是(0,4)或(0,-8) . 2.解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求. (2)如解图,点 O 和△A2B2C2 即为所求. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案