第21章《一元二次方程》期末解答题真题专题演练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册数学 期末真题专题演练 第21章《一元二次方程》   解答题真题演练    1.（25-26·江苏月考）解下列方程∶ （1） （2） （3） （4）． 【答案】 【解析】（1）用直接开方法计算即可； （2）用求根公式法计算即可； （3）先化为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法计算即可； （4）用因式分解法求解即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ．  2.（25-26·新疆期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】 ，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】（1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【解答】（1）解：原方程为一元一次方程， ， 解得：． （2）解：原方程为一元二次方程， ， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3.（25-26·河北期中）若一个一元二次方程有一个实数根为，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． （1）判断一元二次方程：___是____“归一方程”．（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 【答案】是； ，． 【解析】（1）把代入方程判断即可求解； 根据“归一方程”的定义可得，再根据即可求解； 本题考查了一元二次方程的根，根的判别式，理解题意是解题的关键． 【解答】（1）解：把代入方程得，左边右边， 是方程的解， 方程是“归一方程”， 故答案为：是； （2）解：为“归一方程”， ， ． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得，， 解得， ． 4.（25-26·陕西月考）阅读理解： 解方程：， 解：当时，原方程化为， 解得：，（舍去）． 当时，原方程化为， 解得：（舍去），． 故原方程的解为，. 请参照上述方法解方程：. 【答案】解：当即时， 原方程化为，即， 解得，， ∵ ， ∴ 或均不符合题意；  当即时， 原方程化为，即， 解得，  ∴ 原方程的解为，． 【解析】类比例题，分和分解化简原方程，利用因式分解法分别求每个一元二次方程的根． 【解答】解：当即时， 原方程化为，即， 解得，， ∵ ， ∴ 或均不符合题意；  当即时， 原方程化为，即， 解得，  ∴ 原方程的解为，．  5.（25-26·全国期中）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 【答案】， ， 【解析】（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【解答】（1）解：， 设，则原方程化为， ， 或（舍去）， 即， ，； （2）解：， 设，则原方程化为， ， 或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ， 该方程无解， 原方程的解为，． 6.（25-26·江苏月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】； 【解析】（1）根据题意可知方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）在（1）中的范围内可得的最小整数，代入后再解方程即可． 【解答】（1）解：．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， （2）．为符合条件的最小整数，∴ ∴ 原方程变为 7.（25-26·全国同步）对于代数式，若存在实数，当＝时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当＝时，代数式等于；当＝时，代数式等于，我们就称和都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则＝． （1）代数式的不变值是 ____1和____ ，＝ ________ ． （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若＝，求的值． 【答案】1和 见解答； 或 【解析】（1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值； （2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值； （3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论． 【解答】（1）依题意，得： 即 解得： 故答案为和； （2）依题意，得： ∴ …该方程无解，即代数式没有不变值． （3）依题意，得：方程即有两个相等的实数根， 答：的值为或．  8.（21-22·湖南月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是负整数，求实数的整数值． 【答案】且. 、、或． 【解析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可； （2）根据根与系数的关系可得，由是是负整数，即 可得是正整数．根据是整数，即可求得的值． 【解答】（1）解：原方程有两实数根， 所以 解得且. （2）是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴ 是负整数，即是正整数． 是整数， ∴ 的值为、、或， 的值为、、或． 9.（25-26·广西月考）解：， 二次项系数化为，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，既，……第三步 由此，可得，……．第四步 所以，．……．第五步 （1）任务一：小华同学的解答过程是从第______三____步开始出错的，错误的原因是____配方配错了，两边应该同时加上，而不是_______． （2）任务二：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】三；配方配错了，两边应该同时加上，而不是； ， 【解析】（1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； 按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． 此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【解答】（1）解：三，配方配错了，两边应该同时加上，而不是． 故答案为：三；配方配错了，两边应该同时加上，而不是； （2）， 二次项系数化为，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此，可得， 所以，． 10.（25-26·吉林期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____16______． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 【答案】 当时，代数式有最小值，这个最小值是 当时，围成的生物园最大面积为． 【解析】（1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【解答】 （1）解：， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． 11.（25-26·宁夏月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）当__1___时，的值最大，且最大值为__4___； （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当为何值时，多项式的值最小及最小值； （3）求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】， 时，的值最小，且最小值为 见解答 【解析】（1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值； （2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可； （3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证． 【解答】（1）解：， 当时，的值最大，且最大值为； 故答案为：，． （2）解： =19 无论为何值， 当，即时，的值最小，且最小值为． （3）证明： ， ，即多项式的值总为正数． 12.（25-26·全国期中）已知：关于的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时的值． 【答案】，；， 【解析】（1）将代入方程中，求出值，再代入到方程中，求出另一个根； （2）根据根与系数的关系求出，，再根据，利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形，求出值即可． 【解答】 （1）解：将代入中， 得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； （2）由题意可得：，， ， ，则， ， 解得：，， 当时，方程无解， ． 13.（25-26·广东模拟）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为__________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式__________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ， 的最小值是． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有，请求出，的值；若没有，请说明理由． 【答案】 ①；②；③ 存在， 【解析】（1）利用因式分解求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得出答案； （2）①利用因式分解求出方程的解，即可得出答案； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得出答案； ③先求得，再根据，得到，得出答案； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可． 【解答】（1）， ， 解得：，（满足）， 这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：； （2）①， ， ， 解得，（满足）， 该方程的衍生点的坐标为； ②该方程的衍生点的坐标为， 所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：； ③，， ， ， ， ， 的最大值为； （3）将代入直线得：， 直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ， 解得：， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时  14.（25-26·全国期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围并化简 （2）设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】； 存在使得成立 【解析】（1）根据题意可得判别式大于，再结合二次根式有意义的条件列出不等式组求出的取值范围，再化简绝对值和计算算术平方根即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， ； （2）解：是原方程的两个实数根， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 存在使得成立． 15.（25-26·甘肃期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当___7____时，矩形是正方形，此时正方形的边长是____3____． 【答案】见解答 ， 【解析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； 【解答】（1）解：证明：关于的一元二次方程， ， 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， 当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ， 解得，， 即， 故答案为：，； 16.（25-26·黑龙江期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 【答案】见解答 【解析】（1）证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后利用完全平方公式求解即可． 【解答】（1）解：证明：，， 方程有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理： 解得：．  17.（25-26·江苏期中）某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上，设的长为米． （1）_______米；（用含的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】 米 【解析】（1）根据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】（1）解：的长为米， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为米． 18.（25-26·甘肃月考）嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过人，门票价格为元/人； 标准二：如果人数超过人，每超过人，门票价格降低元，但门票价格不低于元/人． （1）若某单位组织人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】 名 【解析】（1）利用单价原价超出人的人数，可求出人去旅游时门票的单价，再利用总价单价数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有名员工去该景区旅游，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，即可解答． 【解答】（1）解：， 故购买门票费用为元． （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， ， 故， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 故舍去， 该单位共有名员工去该景区旅游． 19.（25-26·广东月考）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，在某城市销售一段时间后发现，当零件售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 解决问题 任务 若月平均增长的百分率保持不变，求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件应在原售价的基础上上涨多少元？ 【答案】任务；任务元 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务：设平均增长率为未知数，根据该零件月份生产个，月份生产个列一元二次方程，求解后舍去不合理值； 任务：设该零件应在原价的基础上上涨元，则月销售量为个，每个零件单利润元，根据月销售利润达到元列方程求解，并保留符合题意的解． 【解答】解：任务：设该车间月份到月份生产数量的平均增长率为， 根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍去）， 答：该车间月份到月份生产数量的平均增长率为； 任务：设该零件应在原价的基础上上涨元，则月销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽可能让车企得到实惠， ， 答：该零件应在原价的基础上上涨元．  20.（25-26·广东模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件． 素材 该商品的网上销售价定为元/件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元/件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件． 问题解决 任务 计算所获利润 当该商品网上销售价为元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润网上毛利润+实体店毛利润）达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 【答案】任务元，元；任务：每件商品的网上销售价下降元；任务：网上销售价下降元时，总毛利润最大 【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 任务：根据题意列式求解即可； 任务：设网上售价下降元，根据题意列出一元二次方程得到，，然后根据题意列出不等式求解即可； 任务：首先根据题意列出不等式得到且为正整数，然后分情况求解即可． 【解答】解：任务： 由题意，当网上售价降至元/件时，下降幅度为：（元）， 网上总销量为（件）． 网上毛利润为：（元）． 实体店销量减少：（件）， 实体店总销量为（件）． 实体店毛利润为：（元）．； 任务： 由题意，设网上售价下降元， 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总利润方程为： 整理得， 解得，． ， ． 每件商品的网上销售价下降元． 任务： 由题意，且为整数， 且为正整数． 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 网上销售价下降元时总毛利润最大． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册数学 期末真题专题演练 第21章《一元二次方程》   解答题真题演练    1.（25-26·江苏月考）解下列方程∶ （1） （2） （3） （4）． 2.（25-26·新疆期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． （2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 3.（25-26·河北期中）若一个一元二次方程有一个实数根为，则称为“归一方程”例如：就是“归一方程”． （1）判断一元二次方程：_____“归一方程”．（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元二次方程为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求和的值． 4.（25-26·陕西月考）阅读理解： 解方程：， 解：当时，原方程化为， 解得：，（舍去）． 当时，原方程化为， 解得：（舍去），． 故原方程的解为，. 请参照上述方法解方程：.   5.（25-26·全国期中）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 6.（25-26·江苏月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 7.（25-26·全国同步）对于代数式，若存在实数，当＝时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当＝时，代数式等于；当＝时，代数式等于，我们就称和都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则＝． （1）代数式的不变值是 _______ ，＝ _______ ． （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若＝，求的值． 8.（21-22·湖南月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是负整数，求实数的整数值． 9.（25-26·广西月考）解：， 二次项系数化为，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，既，……第三步 由此，可得，……．第四步 所以，．……．第五步 （1）任务一：小华同学的解答过程是从第_________步开始出错的，错误的原因是_________． （2）任务二：请写出该方程的正确解答过程． 10.（25-26·吉林期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 11.（25-26·宁夏月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）当____时，的值最大，且最大值为_____； （2）用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当为何值时，多项式的值最小及最小值； （3）求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 12.（25-26·全国期中）已知：关于的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时的值． 13.（25-26·广东模拟）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解：． ， 的最小值是． 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有，请求出，的值；若没有，请说明理由．  14.（25-26·全国期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围并化简 （2）设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 15.（25-26·甘肃期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是_______． 16.（25-26·黑龙江期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 17.（25-26·江苏期中）某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上，设的长为米． （1）______米；（用含的代数式表示） （2）若围成的篮球场的面积为平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 18.（25-26·甘肃月考）嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过人，门票价格为元/人； 标准二：如果人数超过人，每超过人，门票价格降低元，但门票价格不低于元/人． （1）若某单位组织人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 19.（25-26·广东月考）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，在某城市销售一段时间后发现，当零件售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 解决问题 任务 若月平均增长的百分率保持不变，求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件应在原售价的基础上上涨多少元？ 20.（25-26·广东模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件． 素材 该商品的网上销售价定为元/件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元/件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件． 问题解决 任务 计算所获利润 当该商品网上销售价为元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润网上毛利润+实体店毛利润）达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $