精品解析：2025年重庆市第二十九中学校九年级5月中考诊断测试数学试卷

2025年重庆二十九中中考数学诊断试卷（5月份） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，与互余，则的补角是（ ） A. 132° B. 138° C. 122° D. 128° 5. 某市为了解95000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中3000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 95000名初中毕业生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是个体 C. 3000名学生是样本容量 D. 本次调查属于抽样调查 6. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. π 9. 在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算 ________． 12. 一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是_______边形． 13. 如图，在的小正方形网格中，已有5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为________． 14. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为________． 15. 如图，在等腰梯形中，，以为直径的交于点E，连接，的切线交于点F，连接．若，，则 ________，__________． 16. 定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“事事如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令，则________；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数，令．若被143除余110，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为________ ． 三、解答题（本大题共8小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算线过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简求值，其中． 18. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳更是近年来中考体育考试的重要项目之一．某校为了解九年级学生一分钟跳绳情况，现从九年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（组：：组：；组：；组：；组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： I．被抽取的男生跳绳个数在组的数据是：181 187 187 187 187 185 II．被抽取的女生跳绳个数在组的数据是：183 185 185 188 188 188 188 188 III．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 188 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 19. 如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 20. 成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． （1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 21. 如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） （1）求路线①的长度．（结果精确到个位） （2）由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 24. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接，求证：； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆二十九中中考数学诊断试卷（5月份） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，最小的数是， 故选：A． 2. 如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱． 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，直接利用积的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 已知，与互余，则的补角是（ ） A. 132° B. 138° C. 122° D. 128° 【答案】A 【解析】 【分析】由余角的定义可求出的度数，再由补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， ∴的补角的度数为：． 故选∶A． 【点睛】本题主要考查余角和补角，解答的关键是熟记余角与补角的定义． 5. 某市为了解95000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中3000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 95000名初中毕业生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是个体 C. 3000名学生是样本容量 D. 本次调查属于抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、95000名学生的身高是总体，故A不符合题意； B、每名初中毕业生的身高是个体，故B不符合题意； C、3000是样本容量，故C符合题意； D、本次调查属于抽样调查，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在3和4之间， 故选：C． 8. 如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. π 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点E是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 9. 在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先根据邻补角求出，再由等腰三角形“等边对等角”得，最后利用三角形外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：B． 10. 已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了整式的定义，多项式与单项式的定义，合并同类项，解题的关键是掌握整式的定义． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①：时， 为正整数且，取值序列有 共10个， ∴该选项正确； ②：有三种情况:，和，， 为整数时， 整除5，，和为， ∴该选项正确； ③: n整除24，由题意和可知： 当时，，不满足； 当时，，不存在满足的正整数； 故的取值只能为：， 时对应序列:; 时对应序列:; 时对应序列:和; 时对应序列:; 时对应序列:（11个1）; 时对应序列:全1，共7个序列， ∴ 该选项正确； 正确的选项有①、②、③； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是_______边形． 【答案】7 【解析】 【分析】设多边形的边数为n，根据边数与对角线的关系计算即可； 【详解】设多边形的边数为n， ∴， ∴， ∴这个多边形是7边形； 故答案是7． 【点睛】本题主要考查了多边形与对角线的关系，准确计算是解题的关键． 13. 如图，在的小正方形网格中，已有5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，正方体的表面展开图，熟知正方体的表面展开图是解题的关键．由正方体表面展开图的形状可知，可在图中下方四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，剩下7个小正方形． 由正方体的表面展开图的形状可知，在这7个小正方形中任取一个涂上阴影，可在图中下方4块相连的空白正方形中任意取一个，能构成这个正方体的表面展开图， ∴从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是． 故答案为：． 14. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组．首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a为整数，为正整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且， ∵， ∴，，，1， ∴所有满足条件的整数a的值的和为： ． 故答案为：． 15. 如图，在等腰梯形中，，以为直径的交于点E，连接，的切线交于点F，连接．若，，则 ________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点C作，设，，根据等腰梯形的性质可得出，，再根据，得出y与x的关系式，然后将此关系式代入即可得出答案；先根据，求得，易证，然后根据对应边成比例，表示出，解出的表达式，进而代入可得出的值． 【详解】解：如图，过点C作，连接， 设，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：，即可得：， ∴（负值舍去）， ∴； ∴； ∵， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰梯形的性质，矩形的判定与性质、勾股定理，三角形相似的判定与性质，直径所对的圆周角等于90度，解答本题的关键是设出线段的长度，利用方程的思想进行线段比值的求解． 16. 定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“事事如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令，则________；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数，令．若被143除余110，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为________ ． 【答案】 ①. 11 ②. 8954 【解析】 【分析】本题考查新定义的知识的相关应用．理解并应用新定义解决问题是解决本题的关键．难点是根据所给的条件判断出m十位上的数字．对于第一问，求得的值，按照所给计算方法计算即可；对于第二问，易得，根据可得a和b的最大值，分别得到和的值，进而根据被143除余110，可得能被143整除，即可判断出c的值，进而可得d的值，即可求得满足条件的m的最大值． 【详解】解：第一问：∵， ∴千位数字7，百位数字6，十位数字5，个位数字6， 又∵为千位与个位对调、百位与十位对调， ∴， ∴； 第二问：设m的千位、百位、十位、个位数字为a，b，c，d， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴ ， ∵被143除余110， ∴为正整数， ∵的千位数字大于百位数字， ∴， ∵求m的最大值，， ∴可猜测，， ∵， ∴， ∴为正整数， ∴c只能取5， ∴， ∴满足条件的m的最大值为8954． 故答案为：11，8954． 三、解答题（本大题共8小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算线过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）化简求值，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式以及平方差公式计算整式的乘法，然后再合并同类项即可； （2）先对分子和分母能因式分解的部分进行因式分解，然后将除法转化成乘法，约分化简，然后再计算减法，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式 ． 18. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳更是近年来中考体育考试的重要项目之一．某校为了解九年级学生一分钟跳绳情况，现从九年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（组：：组：；组：；组：；组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： I．被抽取的男生跳绳个数在组的数据是：181 187 187 187 187 185 II．被抽取的女生跳绳个数在组的数据是：183 185 185 188 188 188 188 188 III．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 188 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 【答案】（1），， （2）女生成绩更优异 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可计算、，先求出女生组所占百分比，即可求出． （2）根据平均数、中位数、众数判断即可． （3）用1200乘以九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数所占百分比可得． 【小问1详解】 解：男生20名学生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 （个）， 因此中位数是，即， 女生20名学生跳绳个数188共出现5次占总数的，比其他组人数都多，因此女生跳绳个数出现次数最多的是188，中位数是188，即， 女生组所占百分比为，则组所占百分比为， ∴ 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：平均数男女生都一样，但是中位数和众数都是女生更高，故女生成绩更优异； 【小问3详解】 解：女生满分人数为， 男生满分人数为， ∴该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数估计为（人）． 【点睛】本题考查的是频数（率分布直方图和扇形统计图的综合运用，中位数、众数，理解中位数、众数的意义，样本估计总体的思想． 19. 如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2） 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形． 【解析】 【分析】（1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 20. 成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． （1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 【答案】（1）1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元 （2） 【解析】 【分析】（1）设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元，根据题中第一周和第二周的销量情况和总利润，列二元一次方程即可解答； （2）根据两种单肩包的销量一样，列分式方程，即可解答． 【小问1详解】 解：设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元， 由题意可得， 解得， 1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程． 21. 如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） （1）求路线①的长度．（结果精确到个位） （2）由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【答案】（1）1369米 （2）选择路线① 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）过点B作于点M．由题意知，四边形是矩形，，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点D作于点N，由题意，四边形是矩形，，，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形，，， ∴． ∵在中， ∴（米）． ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． 【小问2详解】 解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，，， ∴， 在中，∴米，米， 由（1）知，（米）， 米， ∴米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 解：图象如图所示，即为所求： 函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出；当点P在上时，，此时；当点P在上时，，此时；然后根据三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于H， ∵，，， ∴， 由题意可知，， 当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， ∴； 当时，， 当时，， ∴综上所述：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可得：当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2）3 （3）点E的坐标为或， 解：∵，该抛物线沿射线方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，， ∴平移后的对称轴为直线， ①当E在x轴上方时，如图，过E作轴交于N，过A作轴交于T，交于S， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设，， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②当E在x轴下方时，如图， 同理可求：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述，E的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）过P作轴交于交于F，延长交于G，由题意易得，则有，，然后可得点坐标，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于，则有轴，四边形、、均是矩形，进而可得，最后问题可求解； （3）由题意可分①当E在x轴上方时，②当E在x轴下方时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G， ∴轴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， 当时，取最大值， 此时， ∴， 如图，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图， 当P、K、三点共线时，的值最小，此时， ∴的最小值为3； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 24. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接，求证：； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点F，使得，连接， ∵将绕点M逆时针旋转至， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设，则，利用勾股定理表示出，从而得到a的值，进而求得，然后利用证明，即可解答； （2）延长至点F，使得，连接，得到，求得，证明，得到，，然后证明，得到，，进而得到，即可根据等腰直角三角形的性质即可证的结论； （3）过点B作，过点C作于点Q，以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时，，得到点D的轨迹，然后取的中点O，连接，，得到，从而得到点N的轨迹，可知当且仅当三点共线时，取得最小值，接着过点M作于点H，过点D作于点K，利用勾股定理和，求得，再利用相似三角形和全等三角形求得和，即可解答 【小问1详解】 解：∵，， ∴设，则， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， 在中，， ∴， 如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点B作，过点C作于点Q， 则， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， 以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时， 此时， ∴点D在以Q为圆心，为半径的圆的劣弧上运动， 如上图所示，取的中点O，连接，， 则， ∵点M为上的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的一段弧， 当且仅当三点共线时，取得最小值， 如下图所示，过点M作于点H，过点D作于点K， 此时， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G， ∴，，， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，正确地作出辅助线，得到点N的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $