精品解析：陕西汉中市某校2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和练号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由方程根的定义，将代入方程即可得代数式的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴代数式的值为5． 故选：B． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从前面看到的图形即为主视图求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：A． 3. 如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据了平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法-直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 故选： 5. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 根据网格特点知：， 设小正方形的边长为1，则，， ∴． 6. 已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出函数图象的交点坐标是解题的关键． 将交点的横坐标代入反比例函数求出纵坐标，再代入一次函数求解． 【详解】解：在反比例函数中，令，则， ∴交点坐标为． 将点代入，得 ，解得． 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得出，则可求出根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∴，， 又的面积为14， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象的对称轴为 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 解得， ∴二次函数解析式为， 由此可得函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线. A，顶点在第四象限，图象经过第四象限，原选项结论错误，不符合题意； B，，，，得，不满足，原选项结论错误，不符合题意； C，开口向上，对称轴为，则时随增大而增大，时随增大而减小，原选项结论错误，不符合题意； D，图象对称轴为直线，结论正确，符合题意． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念，解题的关键是区分两种投影的光源特点． 根据中心投影的定义（由同一点光源发出的光线形成的投影），判断舞台上方灯光（点光源）照射形成的投影类型． 【详解】解：舞台上方的灯光属于点光源，由点光源发出的光线形成的投影是中心投影， 故答案为：中心投影． 10. 一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【答案】 【解析】 【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数． 【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球， ∴摸到“仲”字小球的频率为， 根据大量重复试验的频率可近似代替概率， ∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为， ∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为， ∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为． 11. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 【答案】20 【解析】 【分析】设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 即上升的高度为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 13. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的系数判断函数图象所在象限，再依据各象限内函数的增减性以及点的横坐标正负，比较纵坐标的大小．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵ ∴点在第一象限，点在第三象限 ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，根据正方形的性质，得，又因为点是的中点，，然后将绕点逆时针旋转，得到，运用勾股定理得，结合三角形三边关系，得，当三点共线时，则，此时的最大值为，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点， ∴在中，， 将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 则， 在中，， 即， 当三点共线时，则， 此时的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）． 15. 计算；． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 移项，整理得：， 因式分解得：， 则或， 解得：，. 17. 将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，先理解题意，结合平移规律得新抛物线为，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度得到的新抛物线为， 将点代入中，得， 解得. 18. 如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点E即为所求． 【解析】 【分析】由于，只需要作，即可得到． 【详解】略 19. 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据四边形是正方形，得，，又因为，故，得，即可作答． 【详解】略 20. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为； 【小问2详解】 解：将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种， ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为． 21. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 22. 如图，云云在周末利用所学知识测量了某树的高度（底部不可到达）．测量过程及数据信息如下：云云在地面上的点处用测角仪测得该树顶端的仰角；随后云云从点处沿方向移动10米到达点处（即米），在点处放置一面平面镜，沿方向继续移动到点处时，恰好在平面镜中看到该树顶端的像，云云眼睛到地面的高度为1.6米，米，已知，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据以上信息计算该树的高度．（平面镜的大小和测角仪的高度均忽略不计，参考数据：，，） 【答案】24米 【解析】 【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于反射角及垂直条件，构造，再利用相似三角形的性质：对应边成比例及在中，，建立方程组解方程即可． 【详解】解：，， ， 由平面镜反射原理，得， ， ， ∵米，米，米， ∴(米), ∴．① 在中，，，， ，即，② 联立①②解得米， 该树的高度约为24米． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 华州得天独厚的自然环境造就了华州花椒“色红油重、粒大饱满、麻味醇正、香气浓郁”的优良品质． 素材 某大学生创业团队抓住商机，购进一批花椒，试销期间发现如果每袋盈利10元，月销售量为500袋，若在此基础上每袋每涨价1元，则月销售量就将减少25袋．设这种花椒的售价每袋涨价x元． 问题解决 任务1 （1）这种花椒月销售量为________袋；（用含x的代数式表示） 任务2 （2）现在销售这种花椒月销售利润要达到5600元，且尽可能让顾客得到实惠，那么这种花椒的售价每袋应涨价多少元？ 【答案】 任务1： 任务2：这种花椒的售价每袋应涨价4元 【解析】 【分析】本题主要考查代数式，一元二次方程的运用，正确列式是关键． 任务1：根据题意，运用代数式表示即可； 任务2：根据题意，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：任务1：每袋盈利10元，月销售量为500袋，每袋每涨价1元，则月销售量就将减少25袋，设这种花椒的售价每袋涨价x元， ∴销售量为：袋； 任务2：这种花椒的售价每袋涨价x元，则每袋盈利元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴这种花椒的售价每袋应涨价4元． 24. 如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，又利用，且根据三角形外角性质，所以可推出，进而得到，结论得以论证； （2）根据四边形是菱形，，可得，可得出的度数，过点作于，在中，利用的长度和30度角的性质求出的长度，由四边形是平行四边形，可得，再结合平行四边形面积公式计算面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ∵在中，， 在中，， . 25. 某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 【答案】（1） （2）高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是轴，从而可设抛物线为，又，故求得的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有摄像头、的水平距离为，故可令，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点为，对称轴是轴， 故可设该抛物线的函数表达式为． 又，． ． 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵原有摄像头、的水平距离为， 令，则． 这两个摄像头距地面的高度为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，，点在上，，交于点．求的长； 【问题解决】 （2）如图2，菱形是张大爷承包的一片田地，为入口，为出口，、、是该田地的三条小路，且点、均为、的中点，与的交点处有一口灌溉水井，处有一个仓库，为了节省时间，从向边修了一条与垂直的小路（交的延长线于点）．已知，m，求入口到灌溉水井的距离．（入口、出口、灌溉水井和仓库的大小及小路的宽度均忽略不计）． 【答案】（1）3；（2）m 【解析】 【分析】（1）根据已知条件运用勾股定理得出的长，再证得，进而得出，最后，代入数据计算即可； （2）首先，根据菱形的性质及等边三角形“三线合一”的性质得出，再由在中，，得出、的长，接着，在中，，得出的长，再证得，进而有，得出的长，最后，可得出． 【详解】（1）解：，，， ． ，， ． ， ， ， ； （2）解：如图，连接． 四边形是菱形，，， ，， 和均是等边三角形 ． 点、分别是、的中点， ，，． ，， ，， ∴． 在中，， ，， ． 在中，，，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 入口到灌溉水井的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和练号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2.5 D. 3 7. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象的对称轴为 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 10. 一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 11. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的距离为（即），斜坡的坡度为（即），，则其上升的垂直高度为___________m． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 13. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 14. 如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）． 15. 计算；． 16. 解方程：． 17. 将抛物线（m为常数）向左平移2个单位长度，得到的新抛物线经过点，求m的值． 18. 如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 20. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为__________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率． 21. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 22. 如图，云云在周末利用所学知识测量了某树的高度（底部不可到达）．测量过程及数据信息如下：云云在地面上的点处用测角仪测得该树顶端的仰角；随后云云从点处沿方向移动10米到达点处（即米），在点处放置一面平面镜，沿方向继续移动到点处时，恰好在平面镜中看到该树顶端的像，云云眼睛到地面的高度为1.6米，米，已知，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据以上信息计算该树的高度．（平面镜的大小和测角仪的高度均忽略不计，参考数据：，，） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 华州得天独厚的自然环境造就了华州花椒“色红油重、粒大饱满、麻味醇正、香气浓郁”的优良品质． 素材 某大学生创业团队抓住商机，购进一批花椒，试销期间发现如果每袋盈利10元，月销售量为500袋，若在此基础上每袋每涨价1元，则月销售量就将减少25袋．设这种花椒的售价每袋涨价x元． 问题解决 任务1 （1）这种花椒月销售量为________袋；（用含x的代数式表示） 任务2 （2）现在销售这种花椒月销售利润要达到5600元，且尽可能让顾客得到实惠，那么这种花椒的售价每袋应涨价多少元？ 24. 如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 25. 某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，，点在上，，交于点．求的长； 【问题解决】 （2）如图2，菱形是张大爷承包的一片田地，为入口，为出口，、、是该田地的三条小路，且点、均为、的中点，与的交点处有一口灌溉水井，处有一个仓库，为了节省时间，从向边修了一条与垂直的小路（交的延长线于点）．已知，m，求入口到灌溉水井的距离．（入口、出口、灌溉水井和仓库的大小及小路的宽度均忽略不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $