计数原理与排列组合讲义-2026届高三数学一轮复习

专题11.1 计数原理与排列组合

 

1. 两个计数原理

2. 排列与组合

3. 排列数与组合数

(1)    排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．

(2)    组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．

【重要结论】

排列数、组合数的公式及性质

 

1. 【人教A版选择性必修三 习题6.1 第3题 P11】如图，电路中共有个电阻与个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有          种

2. 【人教A版选择性必修三 习题6.2 第5题 P26】高一军训结束后，共有人被评为国旗队旗手，其中一班甲、乙人、二班人、三班人．

(1)    在某次训练中，辅导员从中选择人均来自不同班级站一排检验步法，有多少种不同的排法；

(2)    某电影院邀请该名旗手免费观看某场电影，由于学习时间紧，去几个人学生自己决定，但其中甲、乙两人要么都去，要么都不去，一共有多少种去法？

 

 

【方法储备】

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

利用分步乘法计数原理解决问题的策略

(1)    利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)    分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．

【典例精讲】

例1. (2025·天津市·期中考试)如图所示的一圆形花圃，拟在，，，区域种植花苗，现有种不同颜色的花苗，每个区域种植种颜色的花苗，且相邻的块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法种数为(     )
 

A.  B.  C.  D.

例2.(2025·福建省福州市·期中考试)算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有多年的历史．现有一算盘，取其两档如图一，自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字，梁下四珠，上拨一珠记作数字如图二算盘表示整数若拨动图的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为(    )
 

A.  B.        C.  D.

拓展提升

练1-1 (2025·福建省·联考题)项数为的数列满足，当且仅当时其中，规定：，称为“好数列”在项数为且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为          ．

练1-2 (2025·贵州省毕节市·模拟题)在如图的方格中选个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有          种选法用数字作答，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的个数之和的最大值是          ．