第2章 一元二次函数、方程和不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

第2章　一元二次函数、方程和不等式 2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第一册 第一部分 近三年考情分析 2 一、考情总体定位 2 二、近三年真题考点统计 2 三、高频考点与考查频次 3 四、命题趋势与备考策略 3 第二部分 本章知识体系 4 一、本章知识网络总览 4 二、不等式的性质与比较大小 5 三、基本不等式 5 四、二次函数与一元二次方程、不等式 6 五、本章知识整合与记忆 7 第三部分 高考真题突破 8 考点一 不等式的性质与比较大小 8 考点二 基本不等式及其应用 10 考点三 一元二次不等式与分式不等式 12 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 13 第四部分 单元方法总结 14 一、运算技巧 14 二、图象应用 15 三、模型应用 15 四、易错提醒 15 第五部分 变式训练 16 学业质量水平说明 水平一（基础达标）：理解不等式的性质，掌握比较实数大小的方法；掌握基本不等式及其几何解释，能利用基本不等式求最值；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法。 水平二（综合应用）：能灵活运用不等式的性质与基本不等式进行推理、证明与最值求解；能解含参一元二次不等式并对参数进行分类讨论；能运用数形结合、分类讨论、转化化归等方法解决恒成立问题与实际应用问题。 核心素养导向 数学抽象：从现实情境（面积用料、调配问题、最优化）中抽象出不等关系、函数与方程模型，理解“三个二次”统一关系的本质。 逻辑推理：依据不等式的性质与基本不等式进行大小比较、不等式证明与最值推导；掌握分类讨论、反证法等推理方法。 数学运算：熟练进行作差（商）变形、配方、因式分解与解不等式（组）的运算，提升运算的准确性与技巧性。 直观想象：借助二次函数图象理解“三个二次”的关系，数形结合解决不等式解集、恒成立与参数范围问题。 数学建模：建立不等式模型与目标函数模型解决实际最优化问题，体会不等式作为数学工具的实用价值。 数据分析：从试题给定数据中提取数量关系与不等关系，结合图象与运算作出判断。 1 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 近三年考情分析 一、考情总体定位 一元二次函数、方程和不等式是高中数学的基础工具模块，是研究函数、数列、导数等核心内容的必备基础。本章内容在高考中常以选择题、填空题形式出现，考查不等式的性质、基本不等式求最值与一元二次不等式的解法，也常与函数单调性、方程根、恒成立问题结合，难度以基础题和中档题为主，是高考的必得分点。 二、近三年真题考点统计 年份 卷型 题号 核心考点 2026 北京卷 1 不等式的性质、比较大小 2026 天津卷 2 基本不等式求和的最小值 2026 上海卷 9 条件等式求最值 2026 上海市春季招生统一文化考试 4 不等式的性质判断 2025 新课标新课标全国Ⅱ卷 6 分式不等式 2025 北京卷 5 基本不等式比较大小 2024 上海卷 15 一元二次不等式 2024 上海市春季招生统一文化考试 7 不等式的可加性 三、高频考点与考查频次 高频考点 考查频次 典型年份与卷型 难度定位 不等式的性质与比较大小 3年5考 2026北京、2026上海春、2024上海春 基础 基本不等式求最值 3年6考 2026天津、2026上海、2025上海秋 基础·综合 一元二次不等式（含分式） 3年5考 2025全国Ⅱ、2026上海春、2024上海秋 基础 二次函数与方程、不等式 3年3考 2026上海春 综合 恒成立与含参讨论 3年2考 多与函数、导数结合 综合 四、命题趋势与备考策略 基础运算常态化：不等式性质判断、比较大小、一元二次不等式解法是高考基础题常客，常与集合、函数定义域结合考查。复习时应以“作差（商）比较＋性质逐条核对”为纲，练熟配方与因式分解。 基本不等式热点化：和定积最大、积定和最小、“1”的妙用年年出现，命题角度从“直接套公式”升级为“变形构造定值”。备考关键是牢记“一正二定三相等”，并检验取等条件。 三个二次一体化：“二次函数—一元二次方程—一元二次不等式”的关系是高频载体，解不等式务必先化标准型、求根、画图，与函数零点、图象位置互化。 含参讨论综合化：含参一元二次不等式、恒成立与存在性问题常与函数、导数、数列结合，是压轴题的重要素材，需按二次项系数、判别式、根的大小逐层分类。 应用情境真实化：面积用料、调配运输、最优化等真实情境频繁入题，本质仍是“读懂模型—建立不等关系—求解验证”。 第二部分 本章知识体系 本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第二章的知识按“不等关系—性质—基本不等式—三个二次—应用”的内在逻辑组织成完整的知识体系，不按考点罗列，重在呈现知识的发生过程与相互联系。每块知识均含概念定义、性质结论、记忆技巧，核心概念红色加粗，公式用 Word 公式（OMML）规范呈现。 一、本章知识网络总览 （一）知识发生主线 本章以“不等关系”为逻辑起点，沿“比较大小→不等式性质→基本不等式（最值工具）→三个二次关系（方程、函数、不等式）→实际应用”的链条展开：先由实数大小比较的基本事实建立不等式的性质，再借助基本不等式获得“和定积最大、积定和最小”的最值工具，最后通过二次函数图象把一元二次方程、不等式与函数统一起来，形成“数形结合”的解题通法。 （二）知识网络一览 知识板块 核心对象 一句话记忆 不等式性质 作差比较、性质链 作差定号最可靠，性质逐条核对 基本不等式 (a+b) 一正二定三相等 最值定理 和定积最大、积定和最小 定值条件找“和”或“积” 三个二次 二次函数、方程、不等式 大于取两边、小于取中间 实际应用 最优化问题 先建模、再求最值、后检验 （三）核心概念与性质的联系 联系类型 具体内容 不等关系↔实数大小 a-b>0⇔a>b；a-b<0⇔a<b，作差（商）是判定大小的通法 基本不等式↔最值 和定积最大、积定和最小，取等条件是 a=b 二次函数↔方程 函数零点即对应方程的根：+bx+c=0 的根 方程↔不等式 两根把数轴分段：图象在 x 轴上方（下方）对应 >0（<0） 二、不等式的性质与比较大小 （1）实数大小比较的基本事实：a－b＞0 ⇔ a＞b；a－b＝0 ⇔ a＝b；a－b＜0 ⇔ a＜b。作差比较：作差→变形（因式分解、配方、通分）→定号。 （2）不等式的性质：对称性 a＞b ⇔ b＜a；传递性 a＞b，b＞c ⇒ a＞c；可加性 a＞b ⇒ a＋c＞b＋c；同向可加 a＞b，c＞d ⇒ a＋c＞b＋d；可乘性 a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc，c＜0 ⇒ ac＜bc；同向同正可乘 a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd；乘方 a＞b＞0 ⇒ ＞（n∈N*）；开方 a＞b＞0 ⇒ a 的 n 次方根＞b 的 n 次方根（n∈N*，n≥2）。 （3）比较大小常用方法：作差法（变形定号，最常用）；作商法（两数均为正时与 1 比较）；特值排除法（选择题用特殊值排除选项）。 记忆技巧：比较大小“作差定号最可靠，作商只对正数用”；性质“加同数不减号、乘负必须变号、同向同正才可乘”。 三、基本不等式 （1）基本不等式：（a＞0，b＞0），当且仅当 a＝b 时等号成立。其中 (a+b) 叫算术平均数， 叫几何平均数。 （2）最值定理：若 x＞0，y＞0：和 x＋y 为定值 S 时，积 xy 有最大值 当且仅当 x＝y 取等）；积 xy 为定值 P 时，和 x＋y 有最小值 2（当且仅当 x＝y 取等）。“一正、二定、三相等”缺一不可。 （3）常见变形：由 ≥0 得 ＋≥2ab；两边加 2ab 配方即得基本不等式；“1”的妙用：在求 1＋4 型最值时，乘以“x＋y＝1”展开后用基本不等式。 图1　基本不等式(a＋b)的几何解释 四、二次函数与一元二次方程、不等式 （1）二次函数的零点：使 ＋bx＋c＝0 成立的实数 x 叫做二次函数 y＝＋bx＋c 的零点。零点即对应方程的根，即函数图象与 x 轴交点的横坐标。 （2）“三个二次”的关系：一元二次不等式 ＋bx＋c＞0（a＞0）的解集＝对应二次函数图象位于 x 轴上方部分对应的 x 的范围；＋bx＋c＜0（a＞0）的解集对应图象位于 x 轴下方的部分。判别式 Δ＝－4ac 决定根的情况：Δ＞0 两根、Δ＝0 一重根、Δ＜0 无实根。 图2　二次函数y＝－12x＋20的图象与零点 （3）一元二次不等式的解法（a＞0）：先化标准型 ＋bx＋c＞0（或＜0）且 a＞0，再求对应方程的根，最后“大于取两边、小于取中间”：＋bx＋c＞0 解集为两根之外，＋bx＋c＜0 解集为两根之间；Δ＝0 时，＞0 解集为 x≠－b，＜0 解集为空集；Δ＜0 时，＞0 解集为全体实数，＜0 解集为空集。 记忆技巧：解二次不等式“先化正、再求根、后画图”；“大于取两边、小于取中间”；Δ＝0 记“大于取不等于、小于取空集”。 五、本章知识整合与记忆 （一）知识网络整合 回顾全章，一条主线贯穿始终：不等关系（作差比较）→ 不等式的性质（推理工具）→ 基本不等式（最值工具）→ 三个二次（数形结合解不等式）→ 实际应用（建模求最值）。性质保证比较与证明的合法性，基本不等式提供最值通道，二次函数图象把方程、不等式与函数统一在“数形结合”的框架之下。 （二）核心结论速记 内容 核心结论 记忆要点 不等式性质 a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc；c＜0 ⇒ ac＜bc 乘负必变号 基本不等式 ≤ (a＋b)＞0，b＞0） 一正二定三相等 最值定理 和定积最大、积定和最小 取等 a＝b 三个二次关系 方程根⇔零点⇔解集分界点 大于取两边、小于取中间 分式不等式 移项通分化整式，分母不为 0 不直接去分母 恒成立问题 f(x)＞0 恒成立 ⇔ f(x)最小值＞0 转最值、分离参数 （三）思想方法渗透 数形结合：二次函数图象是解一元二次不等式、判断恒成立问题的“眼睛”，图象与 x 轴的位置关系直接给出解集；分类讨论：含参不等式按二次项系数、判别式、根的大小分类，做到不重不漏；转化与化归：分式不等式移项通分化为整式不等式、恒成立问题转化为最值问题。 第三部分 高考真题突破 本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现”的结构组织，覆盖本章全部核心考点。 考点一 不等式的性质与比较大小 【考点解读】本考点是高考的必考点，主要考查不等式的性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等）与实数大小比较，常以选择题形式出现，多与函数单调性、代数式变形结合。破解关键是“作差定号”与“性质逐条核对”，注意可乘性需区分乘数为正、负。 【2026年高考北京卷数学真题】（水平一·基础） 为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 解题步骤： ①由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ②∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ③∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 【答案】B 【知识点睛】考点定位：不等式性质的实际应用；解题方法：设元建立不等关系，用同向可加性整体相加化简；易错提醒：多个不等关系须整体相加，不能逐项断言。 【核心素养体现】数学建模与逻辑推理——从研学调配情境建立不等关系，用不等式性质推理。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 解题步骤： ①对于A,取，则故，所以A错误， ②对于B，取则，此时，故B错误， ③对于C，由于，故，因此，C正确， 【答案】C 【知识点睛】考点定位：不等式性质的判断；解题方法：举反例排除，用传递性证明；易错提醒：乘负数要变号，取特殊值要覆盖各种符号。 【核心素养体现】逻辑推理——特值排除与性质证明结合。 【2024年上海市春季招生统一文化考试练习数学试题】（水平一·基础） ，，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． 　　B． 　　C． 　　D． 解题步骤： ①对于A，若，则，选项不成立，故A错误； ②对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； ③对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 【答案】B 【知识点睛】考点定位：不等式可加性的应用；解题方法：逐项验证，用可加性直接判断；易错提醒：同向相加可加性成立，相减不可直接相减。 【核心素养体现】逻辑推理——由不等式的可加性判断不等式是否恒成立。 考点二 基本不等式及其应用 【考点解读】本考点是高考的核心得分点，主要考查基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）及“1”的妙用、条件等式求最值，常以选择、填空题形式出现，难度基础到综合。破解关键是“一正二定三相等”：先看正数条件，再构造定值，最后检验取等。 【2026年高考天津卷数学真题】（水平一·基础） 的最小值为（     ） A．10 　　B．9 　　C．8 　　D．6 解题步骤： ①因为， ②当且仅当，即，时，等号成立, ③所以的最小值为9. 【答案】B 【知识点睛】考点定位：基本不等式求和的最小值；解题方法：直接套用基本不等式，构造定积；易错提醒：注意“一正二定三相等”，取等条件要能取到。 【核心素养体现】数学运算——基本不等式求最值，考查取等条件的检验。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平二·综合） 若，，且，则的最大值是______． 解题步骤： ①∵，， ②∴ ③∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 【答案】2 【知识点睛】考点定位：条件等式求最值；解题方法：由定积条件用基本不等式求最大值，再定取等条件；易错提醒：两个等号要能同时成立。 【核心素养体现】数学运算与逻辑推理——条件等式下求最值，等号成立条件的联立验证。 【2025年高考上海卷数学真题】（水平二·综合） 设，则的最小值为_________． 解题步骤： ①易知， ②当且仅当，即时取得最小值. 【答案】4 【知识点睛】考点定位：基本不等式“1”的妙用求最值；解题方法：乘以“1”展开，凑出定积再用基本不等式；易错提醒：取等时比例相等，须回代验证。 【核心素养体现】数学运算—— “1”的妙用构造基本不等式条件。 考点三 一元二次不等式与分式不等式 【考点解读】本考点考查一元二次不等式与分式不等式的解法，常以选择、填空题形式出现，属于基础必得分。破解关键是“移项通分化为整式不等式（分母不为 0）”，解一元二次不等式先化标准型（二次项系数为正），再求根，最后“大于取两边、小于取中间”。 【2025年高考全国Ⅱ卷数学真题】（水平一·基础） 不等式的解集是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 解题步骤： ①即为即，故， ②故解集为. 【答案】C 【知识点睛】考点定位：分式不等式的解法；解题方法：移项通分化为整式不等式（分母不为 0），再解一元二次不等式；易错提醒：勿直接去分母，注意分母符号。 【核心素养体现】数学运算——分式不等式的等价转化。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 关于的不等式的解集为____________. 解题步骤： ①由可得:， ②解得:， ③所以不等式的解集为. 【答案】{x|−2<x<3} 【知识点睛】考点定位：分式不等式的解法；解题方法：移项通分，化为整式不等式组求解；易错提醒：解集用集合表示，端点需检验分母。 【核心素养体现】数学运算——分式不等式转化为整式不等式。 【2024年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知则不等式的解集为______． 解题步骤： ①方程的解为或， ②故不等式的解集为， 【答案】{x|−1<x<3} 【知识点睛】考点定位：一元二次不等式的解法；解题方法：先求对应方程根，再“大于取两边”定解集；易错提醒：二次项系数为正时方可直接定解集。 【核心素养体现】数学运算——一元二次不等式的求解与解集表示。 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 【考点解读】本考点以二次函数图象为载体，考查“三个二次”关系的综合运用，包括二次函数图象与性质、方程根与不等式解集的互化，常以选择、填空题形式出现，难度综合。破解关键是“先画图象、再看交点、后定解集”，把抽象不等式转化为图象位置关系。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平二·综合） 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   　　B．  　　C．   D．   解题步骤： ①按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， ②则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； ③ 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 【答案】A 【知识点睛】考点定位：二次函数图象与性质、新定义（平移对称法）；解题方法：取特殊点计算线段中点纵坐标，确定平移量，逐项排除；易错提醒：严格按新定义操作，勿凭直觉。 【核心素养体现】直观想象与数学抽象——从新定义理解图象变换，数形结合判断。 第四部分 单元方法总结 一、运算技巧 作差（商）比较法：作差→变形（因式分解、配方、通分）→定号；作商需两数同正且与 1 比较。 配方法与判别式法：二次函数求最值用配方，恒成立问题用判别式 Δ 定参数范围。 “1”的代换：基本不等式求最值时，乘以“和为定值”的等式展开，凑出定值再用不等式。 二、图象应用 数轴标根法：解一元二次（分式）不等式，在数轴上标根，“大于取两边、小于取中间”。 二次函数图象定解集：画开口、判 Δ、找交点，图象在 x 轴上方对应“＞0”、下方对应“＜0”。 恒成立问题转最值：分离参数后转化为函数最值问题，用图象定位临界值。 三、模型应用 最值模型：和定积最大、积定和最小；实际优化（面积、用料、利润）先建立目标函数再求最值。 恒成立模型：对任意 x∈D，f(x)＞0 ⇔ f(x) 在 D 上的最小值＞0；存在 x∈D，f(x)＞0 ⇔ f(x) 最大值＞0。 含参不等式模型：按二次项系数正负、判别式符号、根的大小顺序分类讨论，不重不漏。 四、易错提醒 （1）可乘性条件：不等式两边同乘负数必须变号；同向同正才可相乘，乘 0 或负数会改变不等号方向。 （2）基本不等式取等：求最值必须“一正二定三相等”，取等条件（x＝y）要能取到，否则改用其他方法。 （3）分式不等式：移项通分化为整式不等式再解，勿直接去分母；注意分母不为 0。 （4）二次项系数：解二次不等式先化二次项系数为正（两边乘－1 要变号），再求根定解集。 （5）含参讨论顺序：按二次项系数→判别式→根的大小逐层分类，防止漏类重根。 第五部分 变式训练 考点一 不等式的性质与比较大小 变式1：已知 a＞b＞0，则 ____，a＋b____2b（填“＞”“＜”）。 变式2：设 a＞b＞0，则下列不等式不恒成立的是（　　） A．＞　　B．ab＞　　C．－a＜－b　　D．a＋b＞2a 考点二 基本不等式及其应用 变式3（2024年上海市春季招生统一文化考试练习数学试题）：已知，的最小值为______． 变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝6，则 xy 的最大值为（　　） A．6　　B．9　　C．12　　D．18 考点三 一元二次不等式与分式不等式 变式5（2025年高考上海卷数学真题）：不等式的解集为_________． 变式6：解不等式 －5x＋6＞0，并写出其解集。 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 变式7：已知二次函数 y＝－2x－3，则其零点为______；不等式 －2x－3＞0 的解集为______。 变式8：若关于 x 的不等式 －ax＋1＞0 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $第2章　一元二次函数、方程和不等式 2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第一册 第一部分 近三年考情分析 2 一、考情总体定位 2 二、近三年真题考点统计 2 三、高频考点与考查频次 3 四、命题趋势与备考策略 3 第二部分 本章知识体系 4 一、本章知识网络总览 4 二、不等式的性质与比较大小 5 三、基本不等式 5 四、二次函数与一元二次方程、不等式 6 五、本章知识整合与记忆 7 第三部分 高考真题突破 8 考点一 不等式的性质与比较大小 8 考点二 基本不等式及其应用 10 考点三 一元二次不等式与分式不等式 12 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 13 第四部分 单元方法总结 14 一、运算技巧 14 二、图象应用 15 三、模型应用 15 四、易错提醒 15 第五部分 变式训练 16 第六部分 变式训练参考答案及解析 17 学业质量水平说明 水平一（基础达标）：理解不等式的性质，掌握比较实数大小的方法；掌握基本不等式及其几何解释，能利用基本不等式求最值；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法。 水平二（综合应用）：能灵活运用不等式的性质与基本不等式进行推理、证明与最值求解；能解含参一元二次不等式并对参数进行分类讨论；能运用数形结合、分类讨论、转化化归等方法解决恒成立问题与实际应用问题。 核心素养导向 数学抽象：从现实情境（面积用料、调配问题、最优化）中抽象出不等关系、函数与方程模型，理解“三个二次”统一关系的本质。 逻辑推理：依据不等式的性质与基本不等式进行大小比较、不等式证明与最值推导；掌握分类讨论、反证法等推理方法。 数学运算：熟练进行作差（商）变形、配方、因式分解与解不等式（组）的运算，提升运算的准确性与技巧性。 直观想象：借助二次函数图象理解“三个二次”的关系，数形结合解决不等式解集、恒成立与参数范围问题。 数学建模：建立不等式模型与目标函数模型解决实际最优化问题，体会不等式作为数学工具的实用价值。 数据分析：从试题给定数据中提取数量关系与不等关系，结合图象与运算作出判断。 1 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 近三年考情分析 一、考情总体定位 一元二次函数、方程和不等式是高中数学的基础工具模块，是研究函数、数列、导数等核心内容的必备基础。本章内容在高考中常以选择题、填空题形式出现，考查不等式的性质、基本不等式求最值与一元二次不等式的解法，也常与函数单调性、方程根、恒成立问题结合，难度以基础题和中档题为主，是高考的必得分点。 二、近三年真题考点统计 年份 卷型 题号 核心考点 2026 北京卷 1 不等式的性质、比较大小 2026 天津卷 2 基本不等式求和的最小值 2026 上海卷 9 条件等式求最值 2026 上海市春季招生统一文化考试 4 不等式的性质判断 2025 新课标新课标全国Ⅱ卷 6 分式不等式 2025 北京卷 5 基本不等式比较大小 2024 上海卷 15 一元二次不等式 2024 上海市春季招生统一文化考试 7 不等式的可加性 三、高频考点与考查频次 高频考点 考查频次 典型年份与卷型 难度定位 不等式的性质与比较大小 3年5考 2026北京、2026上海春、2024上海春 基础 基本不等式求最值 3年6考 2026天津、2026上海、2025上海秋 基础·综合 一元二次不等式（含分式） 3年5考 2025全国Ⅱ、2026上海春、2024上海秋 基础 二次函数与方程、不等式 3年3考 2026上海春 综合 恒成立与含参讨论 3年2考 多与函数、导数结合 综合 四、命题趋势与备考策略 基础运算常态化：不等式性质判断、比较大小、一元二次不等式解法是高考基础题常客，常与集合、函数定义域结合考查。复习时应以“作差（商）比较＋性质逐条核对”为纲，练熟配方与因式分解。 基本不等式热点化：和定积最大、积定和最小、“1”的妙用年年出现，命题角度从“直接套公式”升级为“变形构造定值”。备考关键是牢记“一正二定三相等”，并检验取等条件。 三个二次一体化：“二次函数—一元二次方程—一元二次不等式”的关系是高频载体，解不等式务必先化标准型、求根、画图，与函数零点、图象位置互化。 含参讨论综合化：含参一元二次不等式、恒成立与存在性问题常与函数、导数、数列结合，是压轴题的重要素材，需按二次项系数、判别式、根的大小逐层分类。 应用情境真实化：面积用料、调配运输、最优化等真实情境频繁入题，本质仍是“读懂模型—建立不等关系—求解验证”。 第二部分 本章知识体系 本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第二章的知识按“不等关系—性质—基本不等式—三个二次—应用”的内在逻辑组织成完整的知识体系，不按考点罗列，重在呈现知识的发生过程与相互联系。每块知识均含概念定义、性质结论、记忆技巧，核心概念红色加粗，公式用 Word 公式（OMML）规范呈现。 一、本章知识网络总览 （一）知识发生主线 本章以“不等关系”为逻辑起点，沿“比较大小→不等式性质→基本不等式（最值工具）→三个二次关系（方程、函数、不等式）→实际应用”的链条展开：先由实数大小比较的基本事实建立不等式的性质，再借助基本不等式获得“和定积最大、积定和最小”的最值工具，最后通过二次函数图象把一元二次方程、不等式与函数统一起来，形成“数形结合”的解题通法。 （二）知识网络一览 知识板块 核心对象 一句话记忆 不等式性质 作差比较、性质链 作差定号最可靠，性质逐条核对 基本不等式 (a+b) 一正二定三相等 最值定理 和定积最大、积定和最小 定值条件找“和”或“积” 三个二次 二次函数、方程、不等式 大于取两边、小于取中间 实际应用 最优化问题 先建模、再求最值、后检验 （三）核心概念与性质的联系 联系类型 具体内容 不等关系↔实数大小 a-b>0⇔a>b；a-b<0⇔a<b，作差（商）是判定大小的通法 基本不等式↔最值 和定积最大、积定和最小，取等条件是 a=b 二次函数↔方程 函数零点即对应方程的根：+bx+c=0 的根 方程↔不等式 两根把数轴分段：图象在 x 轴上方（下方）对应 >0（<0） 二、不等式的性质与比较大小 （1）实数大小比较的基本事实：a－b＞0 ⇔ a＞b；a－b＝0 ⇔ a＝b；a－b＜0 ⇔ a＜b。作差比较：作差→变形（因式分解、配方、通分）→定号。 （2）不等式的性质：对称性 a＞b ⇔ b＜a；传递性 a＞b，b＞c ⇒ a＞c；可加性 a＞b ⇒ a＋c＞b＋c；同向可加 a＞b，c＞d ⇒ a＋c＞b＋d；可乘性 a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc，c＜0 ⇒ ac＜bc；同向同正可乘 a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd；乘方 a＞b＞0 ⇒ ＞（n∈N*）；开方 a＞b＞0 ⇒ a 的 n 次方根＞b 的 n 次方根（n∈N*，n≥2）。 （3）比较大小常用方法：作差法（变形定号，最常用）；作商法（两数均为正时与 1 比较）；特值排除法（选择题用特殊值排除选项）。 记忆技巧：比较大小“作差定号最可靠，作商只对正数用”；性质“加同数不减号、乘负必须变号、同向同正才可乘”。 三、基本不等式 （1）基本不等式：（a＞0，b＞0），当且仅当 a＝b 时等号成立。其中 (a+b) 叫算术平均数， 叫几何平均数。 （2）最值定理：若 x＞0，y＞0：和 x＋y 为定值 S 时，积 xy 有最大值 当且仅当 x＝y 取等）；积 xy 为定值 P 时，和 x＋y 有最小值 2（当且仅当 x＝y 取等）。“一正、二定、三相等”缺一不可。 （3）常见变形：由 ≥0 得 ＋≥2ab；两边加 2ab 配方即得基本不等式；“1”的妙用：在求 1＋4 型最值时，乘以“x＋y＝1”展开后用基本不等式。 图1　基本不等式(a＋b)的几何解释 四、二次函数与一元二次方程、不等式 （1）二次函数的零点：使 ＋bx＋c＝0 成立的实数 x 叫做二次函数 y＝＋bx＋c 的零点。零点即对应方程的根，即函数图象与 x 轴交点的横坐标。 （2）“三个二次”的关系：一元二次不等式 ＋bx＋c＞0（a＞0）的解集＝对应二次函数图象位于 x 轴上方部分对应的 x 的范围；＋bx＋c＜0（a＞0）的解集对应图象位于 x 轴下方的部分。判别式 Δ＝－4ac 决定根的情况：Δ＞0 两根、Δ＝0 一重根、Δ＜0 无实根。 图2　二次函数y＝－12x＋20的图象与零点 （3）一元二次不等式的解法（a＞0）：先化标准型 ＋bx＋c＞0（或＜0）且 a＞0，再求对应方程的根，最后“大于取两边、小于取中间”：＋bx＋c＞0 解集为两根之外，＋bx＋c＜0 解集为两根之间；Δ＝0 时，＞0 解集为 x≠－b，＜0 解集为空集；Δ＜0 时，＞0 解集为全体实数，＜0 解集为空集。 记忆技巧：解二次不等式“先化正、再求根、后画图”；“大于取两边、小于取中间”；Δ＝0 记“大于取不等于、小于取空集”。 五、本章知识整合与记忆 （一）知识网络整合 回顾全章，一条主线贯穿始终：不等关系（作差比较）→ 不等式的性质（推理工具）→ 基本不等式（最值工具）→ 三个二次（数形结合解不等式）→ 实际应用（建模求最值）。性质保证比较与证明的合法性，基本不等式提供最值通道，二次函数图象把方程、不等式与函数统一在“数形结合”的框架之下。 （二）核心结论速记 内容 核心结论 记忆要点 不等式性质 a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc；c＜0 ⇒ ac＜bc 乘负必变号 基本不等式 ≤ (a＋b)＞0，b＞0） 一正二定三相等 最值定理 和定积最大、积定和最小 取等 a＝b 三个二次关系 方程根⇔零点⇔解集分界点 大于取两边、小于取中间 分式不等式 移项通分化整式，分母不为 0 不直接去分母 恒成立问题 f(x)＞0 恒成立 ⇔ f(x)最小值＞0 转最值、分离参数 （三）思想方法渗透 数形结合：二次函数图象是解一元二次不等式、判断恒成立问题的“眼睛”，图象与 x 轴的位置关系直接给出解集；分类讨论：含参不等式按二次项系数、判别式、根的大小分类，做到不重不漏；转化与化归：分式不等式移项通分化为整式不等式、恒成立问题转化为最值问题。 第三部分 高考真题突破 本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现”的结构组织，覆盖本章全部核心考点。 考点一 不等式的性质与比较大小 【考点解读】本考点是高考的必考点，主要考查不等式的性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等）与实数大小比较，常以选择题形式出现，多与函数单调性、代数式变形结合。破解关键是“作差定号”与“性质逐条核对”，注意可乘性需区分乘数为正、负。 【2026年高考北京卷数学真题】（水平一·基础） 为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 解题步骤： ①由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ②∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ③∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 【答案】B 【知识点睛】考点定位：不等式性质的实际应用；解题方法：设元建立不等关系，用同向可加性整体相加化简；易错提醒：多个不等关系须整体相加，不能逐项断言。 【核心素养体现】数学建模与逻辑推理——从研学调配情境建立不等关系，用不等式性质推理。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 解题步骤： ①对于A,取，则故，所以A错误， ②对于B，取则，此时，故B错误， ③对于C，由于，故，因此，C正确， 【答案】C 【知识点睛】考点定位：不等式性质的判断；解题方法：举反例排除，用传递性证明；易错提醒：乘负数要变号，取特殊值要覆盖各种符号。 【核心素养体现】逻辑推理——特值排除与性质证明结合。 【2024年上海市春季招生统一文化考试练习数学试题】（水平一·基础） ，，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． 　　B． 　　C． 　　D． 解题步骤： ①对于A，若，则，选项不成立，故A错误； ②对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； ③对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 【答案】B 【知识点睛】考点定位：不等式可加性的应用；解题方法：逐项验证，用可加性直接判断；易错提醒：同向相加可加性成立，相减不可直接相减。 【核心素养体现】逻辑推理——由不等式的可加性判断不等式是否恒成立。 考点二 基本不等式及其应用 【考点解读】本考点是高考的核心得分点，主要考查基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）及“1”的妙用、条件等式求最值，常以选择、填空题形式出现，难度基础到综合。破解关键是“一正二定三相等”：先看正数条件，再构造定值，最后检验取等。 【2026年高考天津卷数学真题】（水平一·基础） 的最小值为（     ） A．10 　　B．9 　　C．8 　　D．6 解题步骤： ①因为， ②当且仅当，即，时，等号成立, ③所以的最小值为9. 【答案】B 【知识点睛】考点定位：基本不等式求和的最小值；解题方法：直接套用基本不等式，构造定积；易错提醒：注意“一正二定三相等”，取等条件要能取到。 【核心素养体现】数学运算——基本不等式求最值，考查取等条件的检验。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平二·综合） 若，，且，则的最大值是______． 解题步骤： ①∵，， ②∴ ③∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 【答案】2 【知识点睛】考点定位：条件等式求最值；解题方法：由定积条件用基本不等式求最大值，再定取等条件；易错提醒：两个等号要能同时成立。 【核心素养体现】数学运算与逻辑推理——条件等式下求最值，等号成立条件的联立验证。 【2025年高考上海卷数学真题】（水平二·综合） 设，则的最小值为_________． 解题步骤： ①易知， ②当且仅当，即时取得最小值. 【答案】4 【知识点睛】考点定位：基本不等式“1”的妙用求最值；解题方法：乘以“1”展开，凑出定积再用基本不等式；易错提醒：取等时比例相等，须回代验证。 【核心素养体现】数学运算—— “1”的妙用构造基本不等式条件。 考点三 一元二次不等式与分式不等式 【考点解读】本考点考查一元二次不等式与分式不等式的解法，常以选择、填空题形式出现，属于基础必得分。破解关键是“移项通分化为整式不等式（分母不为 0）”，解一元二次不等式先化标准型（二次项系数为正），再求根，最后“大于取两边、小于取中间”。 【2025年高考全国Ⅱ卷数学真题】（水平一·基础） 不等式的解集是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 解题步骤： ①即为即，故， ②故解集为. 【答案】C 【知识点睛】考点定位：分式不等式的解法；解题方法：移项通分化为整式不等式（分母不为 0），再解一元二次不等式；易错提醒：勿直接去分母，注意分母符号。 【核心素养体现】数学运算——分式不等式的等价转化。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 关于的不等式的解集为____________. 解题步骤： ①由可得:， ②解得:， ③所以不等式的解集为. 【答案】{x|−2<x<3} 【知识点睛】考点定位：分式不等式的解法；解题方法：移项通分，化为整式不等式组求解；易错提醒：解集用集合表示，端点需检验分母。 【核心素养体现】数学运算——分式不等式转化为整式不等式。 【2024年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知则不等式的解集为______． 解题步骤： ①方程的解为或， ②故不等式的解集为， 【答案】{x|−1<x<3} 【知识点睛】考点定位：一元二次不等式的解法；解题方法：先求对应方程根，再“大于取两边”定解集；易错提醒：二次项系数为正时方可直接定解集。 【核心素养体现】数学运算——一元二次不等式的求解与解集表示。 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 【考点解读】本考点以二次函数图象为载体，考查“三个二次”关系的综合运用，包括二次函数图象与性质、方程根与不等式解集的互化，常以选择、填空题形式出现，难度综合。破解关键是“先画图象、再看交点、后定解集”，把抽象不等式转化为图象位置关系。 【2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平二·综合） 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   　　B．  　　C．   D．   解题步骤： ①按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， ②则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； ③ 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 【答案】A 【知识点睛】考点定位：二次函数图象与性质、新定义（平移对称法）；解题方法：取特殊点计算线段中点纵坐标，确定平移量，逐项排除；易错提醒：严格按新定义操作，勿凭直觉。 【核心素养体现】直观想象与数学抽象——从新定义理解图象变换，数形结合判断。 第四部分 单元方法总结 一、运算技巧 作差（商）比较法：作差→变形（因式分解、配方、通分）→定号；作商需两数同正且与 1 比较。 配方法与判别式法：二次函数求最值用配方，恒成立问题用判别式 Δ 定参数范围。 “1”的代换：基本不等式求最值时，乘以“和为定值”的等式展开，凑出定值再用不等式。 二、图象应用 数轴标根法：解一元二次（分式）不等式，在数轴上标根，“大于取两边、小于取中间”。 二次函数图象定解集：画开口、判 Δ、找交点，图象在 x 轴上方对应“＞0”、下方对应“＜0”。 恒成立问题转最值：分离参数后转化为函数最值问题，用图象定位临界值。 三、模型应用 最值模型：和定积最大、积定和最小；实际优化（面积、用料、利润）先建立目标函数再求最值。 恒成立模型：对任意 x∈D，f(x)＞0 ⇔ f(x) 在 D 上的最小值＞0；存在 x∈D，f(x)＞0 ⇔ f(x) 最大值＞0。 含参不等式模型：按二次项系数正负、判别式符号、根的大小顺序分类讨论，不重不漏。 四、易错提醒 （1）可乘性条件：不等式两边同乘负数必须变号；同向同正才可相乘，乘 0 或负数会改变不等号方向。 （2）基本不等式取等：求最值必须“一正二定三相等”，取等条件（x＝y）要能取到，否则改用其他方法。 （3）分式不等式：移项通分化为整式不等式再解，勿直接去分母；注意分母不为 0。 （4）二次项系数：解二次不等式先化二次项系数为正（两边乘－1 要变号），再求根定解集。 （5）含参讨论顺序：按二次项系数→判别式→根的大小逐层分类，防止漏类重根。 第五部分 变式训练 考点一 不等式的性质与比较大小 变式1：已知 a＞b＞0，则 ____，a＋b____2b（填“＞”“＜”）。 变式2：设 a＞b＞0，则下列不等式不恒成立的是（　　） A．＞　　B．ab＞　　C．－a＜－b　　D．a＋b＞2a 考点二 基本不等式及其应用 变式3（2024年上海市春季招生统一文化考试练习数学试题）：已知，的最小值为______． 变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝6，则 xy 的最大值为（　　） A．6　　B．9　　C．12　　D．18 考点三 一元二次不等式与分式不等式 变式5（2025年高考上海卷数学真题）：不等式的解集为_________． 变式6：解不等式 －5x＋6＞0，并写出其解集。 考点四 二次函数与一元二次方程、不等式（选讲） 变式7：已知二次函数 y＝－2x－3，则其零点为______；不等式 －2x－3＞0 的解集为______。 变式8：若关于 x 的不等式 －ax＋1＞0 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。 第六部分 变式训练参考答案及解析 变式1　【答案】＞，＞ 解题步骤： ① 作差：－＝(a＋b)(a－b)＞0（a＞b＞0），故 ＞ ② 作差：a＋b－2b＝a－b＞0，故 a＋b＞2b。 【知识点睛】考点定位：不等式性质与比较大小；解题方法：作差变形定号；易错提醒：同向相乘须两数同正。 变式2　【答案】D 解题步骤： ① 由 a＞b＞0 及不等式性质（同向同正可乘）知 ＞、ab＞ 恒成立 ② 由 a＞b 两边乘－1 得－a＜－b，C 恒成立 ③ a＋b＞2a ⇔ b＞a，与 a＞b 矛盾，故 D 不恒成立。 【知识点睛】考点定位：不等式性质的应用；解题方法：逐项用性质验证，排除恒成立项；易错提醒：乘负数要变号，勿凭直觉判断。 变式3　【答案】12 解题步骤： ①, ② 当且仅当,即或时,等号成立, ③ 故的最小值为12. 【知识点睛】考点定位：基本不等式求最小值；解题方法：利用不等式直接求解；易错提醒：取等条件需验证等号能否成立。 变式4　【答案】B 解题步骤： ① 由基本不等式：xy ≤ ((x＋y) ② x＋y＝6，故 xy ≤ 9 ③ 当且仅当 x＝y＝3 时取等，故 xy 的最大值为 9，选 B。 【知识点睛】考点定位：基本不等式求积的最大值；解题方法：和定积最大，直接套用最值定理；易错提醒：取等条件 x＝y 必须能取到。 变式5　【答案】（1，3） 解题步骤： ① 原不等式转化为，解得， ② 则其解集为. 【知识点睛】考点定位：分式不等式与一元二次不等式的解法；解题方法：移项通分转化为整式不等式；易错提醒：注意分母不为 0。 变式6　【答案】{x|x＜2 或 x＞3} 解题步骤： ① 因式分解：－5x＋6＝(x－2)(x－3) ② 对应方程两根为 x＝2，x＝3 ③ 二次项系数为正，“大于取两边”，解集为 {x|x＜2 或 x＞3}。 【知识点睛】考点定位：一元二次不等式的解法；解题方法：因式分解求根，大于取两边；易错提醒：解集用集合或区间表示，两端点不取。 变式7　【答案】－1，3；{x|x＜－1 或 x＞3} 解题步骤： ① 解方程 －2x－3＝0，得 x＝－1 或 x＝3，即零点为－1，3 ② 抛物线开口向上，图象在 x 轴上方对应两根之外 ③ 不等式 －2x－3＞0 的解集为 {x|x＜－1 或 x＞3}。 【知识点睛】考点定位：三个二次的关系；解题方法：由方程根定零点，由图象定解集；易错提醒：零点即方程根，解集端点不取。 变式8　【答案】－2＜a＜2 解题步骤： ① 二次函数 y＝－ax＋1 开口向上，对任意实数 x 恒大于 0，等价于其图象与 x 轴无交点 ② 判别式 Δ＝－4＜0 ③ 解得－2＜a＜2。 【知识点睛】考点定位：二次不等式恒成立问题；解题方法：开口向上恒大于 0 ⇔ Δ＜0；易错提醒：a＝±2 时 Δ＝0，存在零点使函数值为 0，不满足“恒大于 0”。 学科网（北京）股份有限公司 $