空间角与空间距离讲义-2026届高三数学一轮复习

专题9.5 空间角与空间距离

必备知识

1. 异面直线所成的角

⑴定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

⑵范围：.

2. 直线与平面所成的角

(1)  平面的一条与平面交于点,于点,即为直线在平面上的射影，直线与其投影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.

直线与平面平行，所成角为0，直线与平面垂直，所成角为.

⑵范围：.

⑶最小角定理：平面的斜线与其在平面内的投影所成角是这条斜线和这个平     面内任何一条直线所成角中最小的角.

3. 二面角

⑴在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的,叫做二面角的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角.

⑵范围：．

4. 点到平面的距离与直线到平面的距离

⑴点到直线的距离

设是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.

⑵点到平面的距离

若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离，如图所示.

⑶线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常可以相互转化.

 

 

 

1. 【人教A版选择性必修一 1.4.2 例7 P36】（多选）在四边形中如图所示，，，，将四边形沿对角线折成四面体如图所示，使得，，，分别为棱，，的中点，连接，，则下列结论正确的是(    )

 

1. 
2. 直线与所成角的余弦值为
3. ，，，四点共面
4. 四面体外接球的表面积为

2. 【人教A版选择性必修一 习题1.4  第7题 P42】如图，四面体中，，分别为，的中点，，，平面，则点到平面的距离为          ．

 

考点归纳

【方法储备】

1. 求异面直线所成角

⑴直接平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形；

⑵补形平移法：对于一些三棱锥、三棱柱等几何形体可以“补形”后再平移；

⑶向量法：设异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则.

2. 求线面角

⑴常规法：过平面外一点作平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；

⑵向量法：直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则.