数学一模提分卷03（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 D D C D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ABC BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 14.32 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】 【小问1详解】 由题知3an-2Sn=1,① 当n=1时，S,=a1,所以3a-2a1=1,即a=1; 当n≥2时，3an1-2Sn-1=1,② ①-②，得3an-3an-1-2an=0，即an=3an1, 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an=3”.(6分) 【小问2详解】 由(1)得b,=2(n+2)-3m-, 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以T= (6+2n+4)n1-3” 3”1 十 1-3 =n2+5n-2+2 计算{b}的前几项：b=5,b=5,b=1,b=-15,b=67, 由3-1比2n+2)增长快，可知当n≥4时，bn<0, 所以Tn的最大值为工=11.(13分) 16.(15分) 【解析】 【小间1详解】 f(x)=Ix-xe2+x-In2.f(x)=-(x+D)e*2+1. 则/2=h2-2+2-lh2=0.f2=号3+1-} 2 所以切线方程为y-0=-2),即3x+2y-6=0.(4分》 【小问2详解】 校8国=f)=(+le+lx>0.则g()=-+21e<0,>0. 2 根据零点存在定理可知g(x)在区间(L,2)上存在唯一零点，即f'(x)的零点个数为1.(9分) 【小问3详解】 由(2)可知f'(x)(0,+0)上单调递减，且存在唯一零点x。∈1,2)，使得f'(x)=0, 当0<x<x,时，∫'(x)>0,则f(x)在区间(0，x)上单调递增： 当x>时，∫'(x)<0,f(x)在(x,+o)上单调递减： 所以f(x)的最大值为∫(x) 因为f(x=1-(x+1e2+1=0,即(x+1e2=1+1=+1 可得e2=,即无-2=h=-nx xo 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 f(x)=Inxo-xe*-2+xo-In2=2-x-xx+x-In2=1-In2. Xo 故f(x)的最大值为1-ln2,没有最小值.(15分) 17.(15分) 【解析】 【小问1详解】 依题意可得精到的4个数字互不相同的将车P一营分-器：(3分) 【小问2详解】 (i)依题意X的可能取值为m+1,m+2,,m+n(meN,neN), 且P(X=m+i)= 1(1si≤n且ieN), 所以E(X)=[m+1）+(m+2)+…+(m+m】 n -wtaa+-a+a+0 1 2 依题意x2的可能取值为m+1)2,(m+2)2，，(m+n)(meN,neN) 且P(X2=(m+'）=月1≤i≤n且ieN, 所以E(X2)=-[(m+1)2+(0m+2)2++(m+m)2] =n:m2+2m+2m+…+nm)+2+2+…+n2）] =n:m2+mn+-m+n+12n+0 n 6 =m+ma+)+后n+2n+):(8分) (i)依题意样本数据3,8，S,12为期望（平均数）为43+8+9+12)=8， 则S,64,81,144为期望（平均数）为(9+64+81+144)=74.5， E(X)=m+-(n+1)=8 所以 E(x2）=m2+mn+1+2m+1D2n+1)=74.5 3/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 消去m得 --t8--a+哈a-2a+y-45 整理得n2=127,解得n=√127（负值己舍去)， 又112=121,122=144，所以n≈11.(15分) 18.(17分) 【解析】 【小问1详解】 由意释2如=4，》=1解利646 故「的方程为 -+y2=1;(3分) 4 【小问2详解】 ①设点P(0,且0<<2,0<%<1，+=1， 4 +2,飞五1 由题意得，A-2,0),B(0,-1,故k=为 则直线AP:y=,)x+2,直线BP:y=么+'x 2x-1, x,+2 2yo 则飞=-七+2、 2y(%+1 xo(xo+2) y%+1 则6，=卢2中，6，=6+ x0+2x0 无+2，故k6=6: (9分) ()记PAB的面积为S,则=S8=及-1， SSS 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PAPa,sin∠aPB 因 PA PB x0+2.yo+1 S.PCPD-in 2AP8 PC PD x o 再令x=2os0,y=sn0.0c0引 S2cos0 +2.sin +11+sin0+cos0+1 则 S 2cos0 sin0 sin0 cos0 令f(y=sinx+cosx+1 sinxcosx oo. (cosx-sinx)sinxcosx-(cos2x-sin2x)(sinx+cosx+1) 则f'(x)= (sinxcosx)2 (cosx-sinx)sinxcosx-(cosx+sinx)(sinx+cosx+1) (sinxcosx)2 (sinx-cosx)(sin2x+cos2x+sinx cosx+sinx+cosx) (sinxcosx)2 sin2 x+cos2x+sin x cosx+sin x+cosx>0, 则f到>0得晋<r<受：f到<0得0<x<晋 , 上单调递增， S 则f(x)的最小值为f 4 =2W5+2,故3的最小值为25+3， 故的最小值为2V2+2, 故子的最大值为 1V2-1 17分) 2W2+22 19.(17分) 【解析】 【小问1详解】 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当n=2时，集合M中的元素为1,2,3,4，样本空间总数为N=4×4=16 列举满足条件y≤x2的数对(c,y):当x=1时，x2=1,则y=1,共1种；当x=2,3,4时，x2≥4， 而y的最大值为4，故y可取1,2,3,4，共3×4=12种 符合条件的样本总数为1+12=13，故乃= .5分) 1 【小问2详解】 样本空间总数为n2×n2=n4,记满足条件的样本数为A. 当1≤x≤n-1时，因x2<n2,对于确定的x,y有X2种取法，此部分总数为 S-r=a-2n-山 i=l 当n≤x≤n2时，因x2≥n2,对于确定的x,y可取M中任意值，此部分x共有n2-n+1个，故总数为 S2=(n2-n+1n2 则P=S+S=1-2+1+1 n -3n+2m+6m' 记无效码的生成概率为2，则0。=1-B-3n2m6m 211 因为n≥2，故-，1-1 2560,故0，<即无效码的生成概率小于2 2,得证.(11分) 3 【小问3详解】 记连续10次独立生成有效码为事件E,则P(E)=(P,)°=(1-Q)” 根据二项式定理有 (1-g.）°=1-10g.+(Cg2-C3g）+(C2-Ci2）++C18g°， 设s=ce-ce=45g:-12og=4sgl1-0j】 由@当m≥2时，0<品写改0.号1，从面1-号0.>0，即8>0 21 下面证明C26Q24-C6g4+>0. 由于2为正数，只需证明C6-C62n>0,即证2，< 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2k+1)10-2k-1) ,且(m+1)!=(m+1)n,即 Ci 2k+1 而 (2k):10-2k)！ 2kH-10-2k 10 对于代数式2+1，随若k的塔大，分子增大且分母减小，该比值单调递增，故当k=1时，右侧取得最 10-2k 小值3，且易知Q.<s2+,则CQ-CQ:">0,即C5Q*>C"g:,则 8-10-2k 1-9°>1-10g. 要使原不等式成立，只需令其下界满足条件，即1-102，≥0.99，整理得102，≤0.01，由(2)中的结论 Qn< 2,只需满足10×2≤0.01，解得n≥667.故取整数n=667,综上，一个满足条件的n值为67.(17 3 3n 分) 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为，，，，，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 221 B. 232 C. 233 D. 234 2. 已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 3 5. 我们称正弦函数图象上取得最大值处的点为峰点，取得最小值处的点为谷点.设函数，若曲线相邻峰点与谷点的距离为5，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A. 圆心为，半径为1的圆 B. 圆心为，半径为1的圆 C. 过点且斜率为的直线 D. 过点且斜率为的直线 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 11. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数 是偶函数，则 _____. 13.某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______. 14. 若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知为数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的表达式及最大值． 16．（15分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数； （3）探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 17．（15分） 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 18．（17分） 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 19．（17分） 在某数据加密系统中，需要生成一对整数校验码.预先设定确定的参数且.从集合中，有放回地随机逐一抽取两个数，分别记为和.若这一对数满足，则称该组校验码为有效码.记生成一组有效码的概率为. （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，并证明：无效码的生成概率小于； （3）现要求连续10次独立生成有效码的概率不低于，且为了保证系统稳定性，的位数应尽可能小，请给出一个满足条件的值并证明. 参考公式：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为，，，，，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 221 B. 232 C. 233 D. 234 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，然后计算百分位数的位置，确定第60百分位数. 【详解】，将数据从小到大排序为 故这组数据第60百分位数为从小到大第三个与第四个数的平均值，即. 故选：D 2. 已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差. 【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，（） 则圆台母线长为， 设圆台上、下底面圆半径分别为，（）， 则，，∴， 圆台上下底面圆周长之差的绝对值为. 故选：A. 3. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 5. 我们称正弦函数图象上取得最大值处的点为峰点，取得最小值处的点为谷点.设函数，若曲线相邻峰点与谷点的距离为5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线相邻峰点与谷点的距离为5，由求得的值，进而求解的值. 【详解】由题意得，即， 解得， 所以， 则， . 故选：D. 6. 已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A. 圆心为，半径为1的圆 B. 圆心为，半径为1的圆 C. 过点且斜率为的直线 D. 过点且斜率为的直线 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题意结合共轭复数和模长求，代入整理可得，即可判断动点的轨迹方程. 【详解】设，，，则，， 因为，即， 则 由实部与虚部对应相等得， 可得，解得，可得， 则，可得， 可得构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆. 故选：A. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 8. 记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程的根转化为两个函数与有两个不同的交点问题，再对实数a的取值分四类讨论可得结果. 【详解】因为奇函数且时，. 所以当，. 令. 当时，； 当时，； 当时，；图象如下： 又因为，， 要使方程在上恰有两个不同实数根，所以与有两个不同的交点. ①当时，，所以与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ②当时，，如图： 所以与在仅区间上有一个交点，故不符合题意. ③当时，，此时与在区间各一个交点，如图： 故方程有两个不同的实数. ④当时，，， 此时与在区间有一个交点，如图，故不符合题意. 综上可知，方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据独立事件的概念判断B；根据条件概率公式计算判断C；根据古典概型概率公式计算判断D. 【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 11. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分类求解含参函数的单调性，判断选项A，结合选项A中单调性即可直接判断选项BC，根据等量关系直接求解，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，， 当时，，单调递增，无极值点； 当时，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时有两个极值点，故A选项错误； 对于B选项，当，时， 由上述知，在上单调递增，在上单调递减， 则，故B选项正确； 对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，若有个零点， 则由单调性可知必然有，解得. 而当时，，， 在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 等价于或，，故D选项正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数 是偶函数，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列出方程，求出参数即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 当函数 是偶函数时，， 即，化简得， 化简得， 即，即. 故答案为：. 13.某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，首先设出基本事件，根据题意利用古典概型求出对应的概率，1班未抽到“黄金赛道”，即1班在除第③道和第④道外的其余6道，3班抽到“黄金赛道”，即需要讨论它前面抽签的2班的赛道，最后由条件概率公式求解. 【详解】记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”， 3班抽到“黄金赛道”，则需要讨论它前面抽签的2班的赛道，2班未抽到“黄金赛道”和2班抽到“黄金赛道”的情况， 由题意知,， 所以. 故答案为：. 14. 若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 详解】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知为数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的表达式及最大值． 【答案】（1） （2），最大值为11 【解析】 【分析】（1）根据与的关系结合题设可得，，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）先求出，再利用分组求和求出，再分析数列的前几项结合指数函数与一次函数的增长性，即可求解. 【小问1详解】 由题知，① 当时，，所以，即； 当时，，② ①②，得，即， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 计算的前几项：，，，，，…， 由比增长快，可知当时，， 所以的最大值为． 16．（15分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数； （3）探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）零点个数为1 （3）存在，最大值为，没有最小值 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设，利用导数判断的单调性和零点，即可得的零点个数； （3）根据（2）分析的符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换运算求解即可. 【小问1详解】 因，， 则，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 设，则， 可知在上单调递减，且，， 根据零点存在定理可知在区间上存在唯一零点，即的零点个数为1. 【小问3详解】 由（2）可知上单调递减，且存在唯一零点，使得， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为. 因为，即， 可得，即， 则， 故的最大值为，没有最小值. 17．（15分） 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 依题意可得抽到的个数字互不相同的概率； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 且（且）， 所以 ， 依题意的可能取值为，，， 且（且）， 所以 ； （ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为， 则，，，为期望（平均数）为， 所以， 消去得， 整理得，解得（负值已舍去）， 又，，所以. 18．（17分） 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设点，求出，再求出直线的方程，得出点坐标，再计算即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过导函数研究其最值即可求出. 【小问1详解】 由题意得，，，解得， 故的方程为； 【小问2详解】 （i）设点，且， 由题意得，，故，，， 则直线，直线， 则，则， 则，，故； （ii）记的面积为，则， 因 再令， 则， 令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故的最大值为. 19．（17分） 在某数据加密系统中，需要生成一对整数校验码.预先设定确定的参数且.从集合中，有放回地随机逐一抽取两个数，分别记为和.若这一对数满足，则称该组校验码为有效码.记生成一组有效码的概率为. （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，并证明：无效码的生成概率小于； （3）现要求连续10次独立生成有效码的概率不低于，且为了保证系统稳定性，的位数应尽可能小，请给出一个满足条件的值并证明. 参考公式：. 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）667，证明见解析 【解析】 【分析】（1）确定集合M中的元素及样本空间总数，利用古典概型求解； （2）样本空间总数为，分、两种情况分别求出满足条件的样本总数，利用数列求和公式及古典概型即可求出的表达式，无效码的生成概率为，由即可证明； （3）定义事件及求出相应概率表达式，利用二项式定理对所求概率进行展开，再由（2）的结论证明、，从而得出，利用放缩式推导的范围，最后再次结合第（2）问的结论求n. 【小问1详解】 当时，集合中的元素为，，，，样本空间总数为. 列举满足条件的数对：当时，，则，共1种；当，，时，，而的最大值为4，故可取，，，，共种. 符合条件的样本总数为，故. 【小问2详解】 样本空间总数为，记满足条件的样本数为. 当时，因，对于确定的，有种取法，此部分总数为. 当时，因，对于确定的，可取中任意值，此部分共有个，故总数为. 则， 记无效码的生成概率为，则. 因为，故，故，即无效码的生成概率小于，得证. 【小问3详解】 记连续10次独立生成有效码为事件，则. 根据二项式定理有 ， 设， 由（2）知，当时，，故，从而，即. 下面证明. 由于为正数，只需证明，即证， 而，且，即. 对于代数式，随着的增大，分子增大且分母减小，该比值单调递增，故当时，右侧取得最小值，且易知，则，即，则. 要使原不等式成立，只需令其下界满足条件，即，整理得，由（2）中的结论，只需满足，解得.故取整数.综上，一个满足条件的值为667. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为，，，，，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 221 B. 232 C. 233 D. 234 2. 已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 3 5. 我们称正弦函数图象上取得最大值处的点为峰点，取得最小值处的点为谷点.设函数，若曲线相邻峰点与谷点的距离为5，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A. 圆心为，半径为1的圆 B. 圆心为，半径为1的圆 C. 过点且斜率为的直线 D. 过点且斜率为的直线 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 记表示不小于的最小整数，例如，.奇函数满足当时，.若关于的方程在上恰有两个不同实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 11. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数 是偶函数，则 _____. 13.某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______. 14. 若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知为数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的表达式及最大值． 16．（15分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数； （3）探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 17．（15分） 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 18．（17分） 已知椭圆的左顶点为，下顶点为，长轴长为4，且过点. （1）求的方程； （2）点为椭圆在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）若四条直线，，，的斜率分别记为，，，，证明：； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 19．（17分） 在某数据加密系统中，需要生成一对整数校验码.预先设定确定的参数且.从集合中，有放回地随机逐一抽取两个数，分别记为和.若这一对数满足，则称该组校验码为有效码.记生成一组有效码的概率为. （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，并证明：无效码的生成概率小于； （3）现要求连续10次独立生成有效码的概率不低于，且为了保证系统稳定性，的位数应尽可能小，请给出一个满足条件的值并证明. 参考公式：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $