精品解析：吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷

长春经开区2025-2026学年度第一学期期末质量调研 八年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 2. 下列计算结果正确的是（　　） A. a8÷a4=a2 B. a2•a3=a6 C. （a3）2=a6 D. （﹣2a2）3=8a6 3. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 二、多项选择题（每小题3分，共12分） 5. 下列各数是无理数的有（ ） A. B. C. D. 6. 在下列长度的四组线段中，能组成直角三角形的有（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和与交于点．在下列条件中添加一个，能判定有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形可以分为四个部分，面积分别是、、、．根据图中的相关标示，下列语句中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 立方根等于的实数是________． 10. 分解因式：________． 11. 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 12. 某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为________． 13. 如图，数轴上点，分别对应，．于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点．则的长为________． 14. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为________． 四、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 运用平方差公式计算：的值． 17. 化简求值：当时，求的值． 18. 如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 19. 如图，一块硬纸板，测得．求这块硬纸板的面积． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段两端点都落在格点(即小正方形的顶点)上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边长都是无理数； （3）请直接写出符合(2)中条件的等腰三角形的顶点的个数． 21. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，填充至本校图书角，为此，学生会的榕榕同学对部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍类型”问卷调查（每人只选一项，发出的问卷全部收回）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图： 已知最喜欢体育类书籍的学生有6人，结合上图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了________名学生． （2）在调查中，求最喜欢科普类书籍的学生人数． （3）若全校共有4000名学生，请估计该校最喜欢文艺类书籍的学生人数． 22. 某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要　　元钱． 23. 【性质推理】试证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图①，在中，． 求证：． 提示：在上截取，连接，得到，……． 根据“提示”中的思路，在图①中画出相应的点和线，并完成证明． 【性质应用】 已知：如图②，在中，． 图形变换：将折叠，使点C落在斜边上的点处，折痕为． 根据“图形变换”的叙述，在图②中画出相应的点和线，并求出折痕的长． 24. 如图，中，，．点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒个单位长度．过点作，交于点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得点，连接、．设点的运动时间为秒． （1）当时，的长为________． （2）当为等腰三角形时，求的度数． （3）当点在线段的垂直平分线上时，求的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春经开区2025-2026学年度第一学期期末质量调研 八年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根定义． 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为正数3． 【详解】解：，且， 的算术平方根是． 故选：B． 2. 下列计算结果正确的是（　　） A. a8÷a4=a2 B. a2•a3=a6 C. （a3）2=a6 D. （﹣2a2）3=8a6 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、a8÷a4=a4，故A错误； B、a2•a3=a5，故B错误； C、（a3）2=a6，故C正确； D、（﹣2a2）3=﹣8a6，故D错误． 故选：C． 考点：（1）同底数幂的除法；（2）同底数幂的乘法；（3）幂的乘方；（4）积的乘方． 3. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据第1~4组的频数求得第5组的频数，再根据即可得到结论． 【详解】解：第5组的频数为：， ∴第5组的频率为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率求法是解题关键． 4. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可． 【详解】解：（x+1）×（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以a=-2，b=-3， 故选B． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键． 二、多项选择题（每小题3分，共12分） 5. 下列各数是无理数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查无理数，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．A选项为分数，属于有理数；B选项化简后含无理因子；C选项为整数，属于有理数；D选项含无理数π． 【详解】解： A：是分数，属于有理数； B：，其中为无理数，故B为无理数； C：，是整数，属于有理数； D：，其中为无理数，故D为无理数． 故选：． 6. 在下列长度的四组线段中，能组成直角三角形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了运用勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握三边长满足两短边平方和等于最长边平方的三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断是否构成直角三角形即可． 【详解】解：A．三边长为 3、4、5，最长边为 5，，满足勾股定理逆定理，直角三角形，符合题意； B．三边长为，最长边为 4，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C．三边长为最长边为41，，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，符合题意； D．三边长为最长边为，，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，符合题意． 故选：ACD． 7. 如图，和与交于点．在下列条件中添加一个，能判定的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及等角对等边性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 先根据对顶角相等可得，再根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得． 【详解】解：， ， 若选A，得，即，，根据可证明； 若选B，不能证明； 若选C，可证明； 若选D，不能证明； 综上所述，能判定的有A、C． 故答案为：A、C． 8. 如图，长方形可以分为四个部分，面积分别是、、、．根据图中的相关标示，下列语句中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了代数式的应用，整式的加减，正确理解题意是解题的关键．根据面积计算公式分别表示出、、、，再根据整式的加减运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，，， 的值不确定， 无法判断与的大小关系，即无法判断与的大小，故A选项语句错误； ，， ，故B选项语句正确； ，， ， 当时，取最小值，即， 故的值可能为负值，也可能为正值，也可能为，故C选项语句错误； ，故D选项语句一定正确； 故选：BD ． 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 立方根等于的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；因此此题可根据提取公因式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为:． 11. 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】“全等三角形的对应边相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，因而逆命题是：对应边相等的三角形全等．是一个真命题． 故答案是：真 【点睛】考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12. 某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 则， 故答案为： ． 13. 如图，数轴上点，分别对应，．于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点．则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，基本尺规作图，作线段等于已知线段长，根据题意得出的长是解题关键．根据题意可得，，的长，再由勾股定理求出的长，最后结合和即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意可得：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和折叠的性质（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程求出的长度是解题的关键． 由折叠得垂直平分，得，设，则，，由矩形得，利用勾股定理列方程求得长，由即可得出． 【详解】解：由折叠得垂直平分， ∴， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为． 四、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、积的乘方逆用法则、同底数幂乘法、有理数乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂和逆用同底数幂乘法法则变形，再逆用积的乘方和有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 运用平方差公式计算：值． 【答案】9996 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式进行求解． 【详解】解：； 故答案为9996． 17. 化简求值：当时，求的值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，然后根据角平分线的性质即可得证． 【分析】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，一块硬纸板，测得．求这块硬纸板的面积． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： 根据题意，利用勾股定理先求，再由勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴直角三角形，且， ∴． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段的两端点都落在格点(即小正方形的顶点)上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）请直接写出符合(2)中条件的等腰三角形的顶点的个数． 【答案】（1）；（2）见解析图；（3）． 【解析】 【分析】（1）由题意，为直角三角形的斜边，故； （2）此问题分情况讨论，为腰，边为底两种情况； （3）边为腰，在左边有可以找出两点，结合对称性可知，右边有四个，共个． 【详解】解：（1）由勾股定理，得： ； （2）要使为等腰三角形，且另两边长度均为无理数， 若为底边，则顶点在线段的中垂线上，这种情况不成立，故边应为腰； 若为腰，经观察可知有点满足条件，此时，的长度也为无理数，如下图所示， （3）个，见下图， 【点睛】本题考查了对等腰三角形的深刻认识，要求学生具有一定的发散性思维，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质及其应用． 21. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，填充至本校图书角，为此，学生会的榕榕同学对部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍类型”问卷调查（每人只选一项，发出的问卷全部收回）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图： 已知最喜欢体育类书籍的学生有6人，结合上图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了________名学生． （2）在调查中，求最喜欢科普类书籍的学生人数． （3）若全校共有4000名学生，请估计该校最喜欢文艺类书籍的学生人数． 【答案】（1）40 （2）10名 （3）1600名 【解析】 【分析】（1）利用喜欢体育类书籍人数除以所占百分比即可求总人数； （2）根据扇形统计图可知科普类书籍的人数占比，即可算出结果； （3）根据该校最喜欢文艺类书籍的学生数该校学生数喜欢文艺类书籍占比求解即可． 【小问1详解】 解：抽查的全体人数（名） 故一共抽查了40人． 【小问2详解】 解：由题可知，最喜欢科普书籍的学生人数占比为：， 则最喜欢科普类书籍的学生人数（名） 故最喜欢科普类书籍的学生人数为10人． 【小问3详解】 该校最喜欢文艺类书籍的学生数（名） 故最喜欢文艺类书籍的学生人数为1600名． 22. 某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要　　元钱． 【答案】（1）铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米；（3）7575． 【解析】 【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把a＝2，b＝3代入计算即可； （3）计算出需要的地砖的块数，再求出总金额． 【详解】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米； （3）202÷0.22×1.5＝7575（元）， 故答案为：7575． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，准确识图，掌握计算法则是正确计算的前提． 23. 【性质推理】试证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图①，在中，． 求证：． 提示：在上截取，连接，得到，……． 根据“提示”中的思路，在图①中画出相应的点和线，并完成证明． 【性质应用】 已知：如图②，在中，． 图形变换：将折叠，使点C落在斜边上的点处，折痕为． 根据“图形变换”的叙述，在图②中画出相应的点和线，并求出折痕的长． 【答案】见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形、等边三角形、折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理等，解题的关键是相关性质的灵活使用． 性质推理：在上截取，连接，可证为等边三角形，得到，再根据内角和得到，则，进而可证； 性质应用：根据性质得到，再由折叠的性质可得，则，设，则，再由勾股定理得，再解方程即可． 【详解】性质推理，证明：如图①，在上截取，连接， 在中，， ， ， ， ，即为等边三角形， ， ，即， ，即， ， ，即； 性质应用，如图②， 在中，， ， 由折叠可得， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， 解得， ． 24. 如图，中，，．点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒个单位长度．过点作，交于点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得点，连接、．设点的运动时间为秒． （1）当时，的长为________． （2）当为等腰三角形时，求的度数． （3）当点在线段的垂直平分线上时，求的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或或或 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由题意得，将代入即可得出； （2），，得，由旋转角为得，当为等腰三角形时，分四种情况：①当点在上，时，②当点在上，时，③当时，④当时，根据等腰三角形性质即可求的度数； （3）设垂直平分，则和均为等腰直角三角形，设，由勾股定理得，进而由勾股定理得，由列方程可求得长，即可得的值； （4）分类讨论点在、上的位置，分析中钝角可能是、、，结合等腰直角三角形、旋转的性质，即可得出对应的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，以点旋转中心，将点逆时针旋转，得点， ∴， 当为等腰三角形时，有以下四种情况： ①如图，当点在上，时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在上，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； ④如图，当时，； 综上，当为等腰三角形时，的度数为或或或； 【小问3详解】 解：如图，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， ∵以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得点， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴，即当时，点在线段的垂直平分线上； 【小问4详解】 解：①如图，点在上，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得点， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，即当时，为钝角，为钝角三角形； ②如图，当点在上，点落在上时，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， ∵以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得点， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 此时，当点继续运动时，为钝角，当点运动到点处时，、、在同一直线，点继续运动时，为钝角，即当或时，为钝角三角形； 综上，当或或时，为钝角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，分类讨论点在、上的不同位置、等腰 、钝角三角形的不同情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $