精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：吴楠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间 满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动， 两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，的角平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 展开式各项系数之和为 11. 设，则（ ） A. a的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为90 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为_________． 13. 某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有_____种. 14. 已知函数为定义在 上的单调函数，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3） 16. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，． （1）求抛物线的方程； （2）过作直线 与抛物线交于，，求的值． 18. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. 19. 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将 沿翻折到 ，连接 ，得到图②的四棱锥 为中点． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面，求直线与平面 所成角的大小； （3）设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：吴楠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中 为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动， 两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别表示出即可解出答案. 【详解】设，则. 当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度， 即，解得，即. 因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离， 设点在时刻的速度为，即， 所以点的初始速度为. 又 两点同时出发且初始速度相同， 故点的速度，则. 当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得. 同理，当的长度为时，时间为，得. 当时，点走过的距离为， 同理，当时，点走过的距离为， 故， 故选：C. 2. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 3. 已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把 变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围. 【详解】因为， 可得，因此关于轴对称是偶函数， 又， 且恰有4个零点， 因此当 时，恰有2个零点， 当时，恰有2个零点， 当时，， 因为时， 当且时， 即有2个解， 令且 ， 则， 解得或 因此或时，单调递减， 当时，单调递增， 因此函数图象如下： 因此时，有2个交点， 即若恰有4个零点，则. 故选：B. 4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果. 【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5. 在中，的角平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可. 【详解】令，得或 ， 设，或 ，， 则函数，或 ，在上单调递减，在上单调递增， 又为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 7. 若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幸福点的定义求函数的幸福点为 ，再根据充分必要条件判断即可. 【详解】根据函数的幸福点定义， 当时，令，解得； 当 时，令，解得； 所以函数的幸福点为 . 所以“”是“是的幸福点”得充分不必要条件. 故选：B 8. 如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据对角线向量定理，可得角的类别以及线段长度的大小关系，根据向量点乘积的计算公式，可得答案；法二：根据对角线向量定理，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由对角线向量定理得, 故为锐角，设点为的中点， 而，故为钝角， 且. 法一： ，， ，则，即. 法二：因为，， ，故； 所以， 而， 由，则，所以. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，得到在上单调递增，结合零点存在性可得，，，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，， 所以， ，故，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，故，D正确； 故选：ACD 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 展开式各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由题设结合组合数的性质求出n即可判断A；由二项式系数的定义和组合数性质即可求解判断B；由二项式的展开式的通项公式即可求解判断C；由系数定义赋值即可求解判断D. 【详解】由题意得，所以，故A正确； 因为 时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 故选：ABC 11. 设，则（ ） A. a的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为90 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值检验，可判断A；根据基本不等式可得，判断B；利用B的结果可判断C；根据1的妙用，得，利用基本不等式求得最小值，判断D. 【详解】对于A，当时， ，与矛盾，所以A错误. 对于B，因为，所以. 所以，所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以B正确. 对于C，，由B知，所以C错误. 对于D，. 其中，当且仅当，即时，等号成立. 所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】二项式的展开式的第项为： ， 所以第6项的系数为，第7项的系数． 又第6项系数与第7项系数之比为 ，所以， 所以，所以，解得． 故答案为：6 13. 某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一个数字（见下表）. 信号灯状态 正常绿波协调 非正常绿波协调 道路施工临时黄灯 突发事故临时红灯 对应数字 0 1 现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号表示5个时段中有3个时段是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有_____种. 【答案】130 【解析】 【分析】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类，结合计数原理和组合数知识求解. 【详解】按照“非正常绿波协调”的时段个数进行分类， 每类情况均先从个时段中选取“非正常绿波协调”的时段个数，且因 “非正常绿波协调”有两种情况， 则“非正常绿波协调”的时段数1个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数2个的记录有种； “非正常绿波协调”的时段数3个的记录有种； 故 “非正常绿波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有：种； 故答案为： 14. 已知函数为定义在 上的单调函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【小问1详解】 由得， 即，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式可化为， 当时，解得 ； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为 ； 当时，， 当 时，原不等式即为， 因为 ，所以，所以或 . 综上所述，原不等式的解集为： 当 时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 ； 当时，解集为. 16. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项. （2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 17. 已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，． （1）求抛物线的方程； （2）过作直线与抛物线交于，，求的值． 【答案】（1） . （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【小问1详解】 设圆的半径为，以为圆心、 为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得 ， 所以抛物线的方程为： . 【小问2详解】 由（1）知. 设直线的方程为 ，，. 代入抛物线方程 ，整理得 ， ，所以， 所以 ， . 所以的值为2. 18. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系结合角的象限，求出、，再代入两角差的余弦公式计算的值. （2）先由求出，再用二倍角正切公式得，结合两角和的正切公式求，根据角的范围确定的值. 【详解】（1）由题意可知， ， 所以 ； （2）因为，， 所以，， 则，所以， 故， ， 故. 19. 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将 沿翻折到 ，连接 ，得到图②的四棱锥 为中点． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面，求直线与平面 所成角的大小； （3）设 的大小为，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明如下： 取 中点，连接 ，由N为PB中点，得 ， 依题意， ，则 ， 于是四边形 是平行四边形， ，而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取 中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作 平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得 ， 而平面 平面，平面 平面 平面 ， 则 平面， 过作 ，则 平面，又 平面， 于是 ， 在矩形中， ，，则 ， 以点为原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面 的法向量为 ，则，令，得 ， 设直线BC与平面 所成的角为，则， 所以直线BC与平面 所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由 ，得 ，而 ， 则 为 的平面角，即 ， 过点作 平面，以为坐标原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然 平面 ， 平面，则平面 平面， 在平面 内过作 于点，则平面， 设，而 ，则 ， ， ， 即 ， ， 所以 ， 于是， ， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面 的法向量为， 因为， ， 则， 令 ，得， 设平面 和平面 的夹角为， 则 令， ，则 ，即， 则当时， 有最小值， 所以平面 和平面 的夹角余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $