精品解析：江苏省泰州市泰兴市济川初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

济川初中2025年秋学期九年级阶段学情监测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为；则（ ） A. B. C. D. 3. 有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是_____． 8. 如果两个相似三角形的面积之比是16︰9，那么它们对应的角平分线之比是________． 9. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为_____分． 10. 把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），原抛物线相应的函数表达式是_____________． 11. 在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为_________． 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________． 13. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点，的延长线相交于点F，，．则的度数是_____． 14. 若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为_____ 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为_____． 16. 已知是的直径，，点不与点A、B重合，直线与直线相交于点E，，则_____． 三、解答题（共102分） 17. （1）解方程：； （2）计算： 18. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 19. 有4个型号相同的杯子，其中，优等品3个，合格品1个． （1）随机取出一个杯子，恰好是优等品的概率为 ； （2）随机取出两个杯子，求都是优等品的概率． 20. 某厂家打算从甲乙两家快递公司中选择一家进行合作．厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如图： （1）根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8 ①_____ 1 乙 ②_____ 8 ③_____ （2）如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 21. 如图，，是的两条高，它们相交于点F，连接． （1）求证． （2）下列结论中，所有正确结论的序号是______． ①；②；③；④． 22. 某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x. （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 23. 如图，是的直径，内接于． （1）再从“①，②，③”三个选项中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题，并写出使结论成立的过程．你选择的条件是_____，结论是_____．（填序号） （2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在射线上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 24. 图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点A到地面的距离为该建筑的高度． （1）求该仿古建筑的高度； （2）计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 25. 已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且． （1）求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____ （3）点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 26. 新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． （1）在中，，于点D，则点D_____（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． （2）在中，，，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． （3）如图2，是的内接三角形，于H，连接并延长交于点D． ①求证：点是中边上的“射影点”． ②若的半径为，，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济川初中2025年秋学期九年级阶段学情监测数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中，未知数的次数是1，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为；则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先连接，根据的度数为，以及，得出，又因为点A、B、C、D、E在上，即四边形是圆内接四边形，故，即． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的度数为，且， ∴， ∵点A、B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， 故， ∴， 故选：C 3. 有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率和构成三角形的条件，先列举出所有的取法，再根据构成三角形的条件确定能构成三角形的取法，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能情况有10种：、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、； ∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴只有、、；、、；、、；这三种情况能搭成三角形， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：B． 4. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先利用配方法得到，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 所以C选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 所以A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为位于x轴上方， ∴抛物线与x轴有2个交点， 所以B选项不符合题意． 故选：D． 6. 如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况求解，比较大小后判断即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】过点C作于点H，交于点P， ∵，米，米， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ∵，米，米， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵，， ∴， 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是_____． 【答案】点P在内 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，依据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，的半径为2，点P与圆心O的距离为1， 由于， 则点P在内， 故答案为：点P在内． 8. 如果两个相似三角形的面积之比是16︰9，那么它们对应的角平分线之比是________． 【答案】4︰3 【解析】 【详解】由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得相似比为4︰3，故相似三角形对应的角平分线之比为4︰3． 9. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据权重分配计算最后得分即可． 【详解】解： （分） 故答案为：． 10. 把二次函数y=x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），原抛物线相应的函数表达式是_____________． 【答案】y=x2﹣6x+10． 【解析】 【分析】把点（-2，0）沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后，即可得原抛物线的顶点坐标为（3，1），再根据顶点式写出原抛物线解析式，化为一般式即可. 【详解】把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1）， 即二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1）， 所以原抛物线相应的函数表达式为y=（x﹣3）2+1，即y=x2﹣6x+10． 故答案为：y=x2﹣6x+10． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 11. 在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，坡度为，即． 【易错点分析】如果对株距、坡度、坡道距离不理解，就不能正确画出图形，不能够准确地把实际问题转化为解直角三角形的问题． 12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据弧长求出半径，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意，得：， ∴， ∴扇形的面积为：； 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点，的延长线相交于点F，，．则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可求出的度数，则由三角形内角和定理可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为_____ 【答案】y2＞y3＞y1 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴及二次函数增减性求解. 【详解】由题意可知，二次函数对称轴为直线x= ∵a=-1＜0 ∴当x＜3时，y随x增大而增大，当x＞3时，y随x增大而减小 ∵A（﹣1，y1），B（2，y2）， ∴-1＜2＜3 ∴y2＞y3, 又根据抛物线图像的对称性，可知当x=2或x=4时，函数值相等， 又∵5＞4＞3, ∴y3＞y1． 故答案为y2＞y3＞y. 【点睛】此题正确求出抛物线对称轴，利用函数增减性及数形结合思想比较出A、B、C三点所对应的函数值的大小. 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得： ， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16. 已知是的直径，，点不与点A、B重合，直线与直线相交于点E，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，分是劣弧与优弧两种情况讨论，设，由是的直径得到，则有，再利用角的和差列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，当是劣弧时， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当是优弧时， 设， 同理①可得， ∴， ∴， 解得， 综上所述，或； 故答案为：或． 三、解答题（共102分） 17. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）， ；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、特殊角的三角函数值运算，熟练掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先去括号计算，再利用因式分解进行解方程即可； （2）根据、及进行计算求解即可． 【详解】（1）解： 令或 解得，； （2）解： ． 18. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 19. 有4个型号相同的杯子，其中，优等品3个，合格品1个． （1）随机取出一个杯子，恰好是优等品的概率为 ； （2）随机取出两个杯子，求都是优等品的概率． 【答案】（1） （2）随机取出两个杯子，都是优等品的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及取出两个杯子都是优等品的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，随机取出一个杯子，恰好是优等品的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：将3个优等品分别记为甲、乙、丙，将1个合格品记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出两个杯子都是优等品的结果有：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙，共6种， ∴随机取出两个杯子，都是优等品的概率为． 20. 某厂家打算从甲乙两家快递公司中选择一家进行合作．厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如图： （1）根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8 ①_____ 1 乙 ②_____ 8 ③_____ （2）如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 【答案】（1）①8；②8；③； （2）选择甲公司更好，因为甲乙两公司平均数、中位数一样，但甲公司方差比乙公司小，更稳定，所以选甲公司 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，熟练掌握平均数、中位数、方差的定义是解题的关键． （1）根据折线统计图得到甲、乙公司满意度得分从小到大排列，利用中位数、平均数、方差的定义进行计算即可； （2）根据平均数和方差的比较得到，甲公司更稳定，据此解答即可． 【小问1详解】 解：甲公司满意度得分从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9， 则中位数为， 乙公司满意度得分从小到大排列为：4，6，7，8，8，8，9，10，10，10， 则平均数为， 方差为 故答案为：①8，②8，③； 【小问2详解】 解：选择甲公司更好，理由如下： 因为甲、乙两公司平均数、中位数都相同，但甲公司方差比乙公司小， 所以甲公司更稳定， 因此，选甲公司更好． 21. 如图，，是的两条高，它们相交于点F，连接． （1）求证． （2）下列结论中，所有正确结论的序号是______． ①；②；③；④． 【答案】（1） 证明：∵，是的高， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． （1）根据，证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出，根据即可得出结论； （2）根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，故①正确， ∵，， ∴，故②正确， ∵没有角相等对应边成比例的条件， ∴无法证明，故③错误， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确， ∴所有正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④． 22. 某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x. （1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）； （2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元. 【解析】 【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式； （2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况． 【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568； （2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507 因为-3<0， 所以x=55时，y有最大值为507. 答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图，是的直径，内接于． （1）再从“①，②，③”三个选项中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题，并写出使结论成立的过程．你选择的条件是_____，结论是_____．（填序号） （2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在射线上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）条件：①②，结论：③（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、解直角三角形、尺规作图，熟练掌握圆周角定理的内容及尺规作图的要求是解题的关键． （1）可以选择①和②为条件、③为结论，也可以选择①和③为条件、②为结论，或选择②和③为条件、①为结论，利用圆周角定理及进行证明即可； （2）过点作的垂线，与射线交于点E，根据余角的性质得到，再利用圆周角定理得到． 【小问1详解】 解：组合1、条件：①，②， 结论：③， 证明：连接，是的直径， ， ， ， ， 组合2、条件：①，③， 结论：②， 证明：连接，是的直径， ， 在中，， ， ； 组合3、条件：②，③， 结论：①， 证明：连接，是的直径， ， ， 因此，从三个组合中任选一组即可， 故答案为：条件：①②，结论：③（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图，点E即为所求． 24. 图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点A到地面的距离为该建筑的高度． （1）求该仿古建筑的高度； （2）计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 【答案】（1） （2）变矮了米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，在中，根据进行计算即可； （2）过点A作于点G，设米，在中，，在中，，根据，列方程求出的值，进而求出修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比发生的变化即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 是等腰三角形， 过点A作于点F，如图： ， 在中，， 则该仿古建筑的高度为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，设米， 在中，， 在中，， 则，即， 解得， 即， 则修缮后的仿古建筑高度为， 因此，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比变矮了． 25. 已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且． （1）求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____ （3）点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 【答案】（1）见解析 （2）①②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求得二次函数的顶点为，然后结合当时，，可证得结论； （2）①此时，其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为，当和代入，即可求得 的取值范围；②先求得二次函数与一次函数的两个交点，画图其图象，即可得出结论； （3）由题意可得，，，联立整理后为，接着利用其判别式大于0即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴其顶点为， ∵当时，， ∴二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； 【小问2详解】 解：①当，时，此时二次函数，一次函数， ∵， ∴其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为， 当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； ②当时，， ∴与相交于点， 由（1）可知，二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上， 画图如下： 当时，或， 故答案为：或． 【小问3详解】 解：∵点、分别在二次函数和一次函数图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线上存在两个不同的点， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． （1）在中，，于点D，则点D_____（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． （2）在中，，，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． （3）如图2，是的内接三角形，于H，连接并延长交于点D． ①求证：点是中边上的“射影点”． ②若的半径为，，，请直接写出的值． 【答案】（1）是 （2）5或10 （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意易证得，根据相似三角形的性质得到，即，根据“射影点”的定义进行判断即可； （2）过点A作于点E， 设，则、，，分情况讨论，根据点D是边上的“射影点”得到，列方程，求解线段的长； （3）①根据题意易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，从而得出结论； ②连接、，根据圆周角定理得到是直径，在中，由勾股定理得到 的长，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求得的长， 由①知，进而得到的长，从而得到的值． 【小问1详解】 解：在中，，于点D， 、， ， ， ， ， ， 点D是中边上的“射影点”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：过点A作于点E，由、得： 设，则、， ，即 解得， 、、， 设， 在中，由勾股定理得 分情况讨论： 若点D在点E左侧，如图： 点D是边上的“射影点”， 解得或（舍去）， ； 若点D在点E右侧，如图： 点D是边上的“射影点”， 解得或（舍去）； ， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 ①证明：、， ， ， ， ， ， ， 点是中边上的“射影点”； ②，理由如下： 连接、，如图： 是直径 点是线段的中点 是的中位线 在中，由勾股定理得 由垂径定理得 在中，由勾股定理得 由①知， 即 解得 ， 即． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、“射影点”的定义，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $