椭圆（基础版）讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦椭圆这一高考核心考点，系统梳理定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆位置关系等内容，按“定义—方程—性质—应用”逻辑层次构建知识网络。通过知识梳理夯实基础，典型例题精讲方法，高考真题（如2024新课标Ⅱ卷、2025全国二卷改编题）训练提升，配合巩固练习分层突破，帮助学生建立完整知识体系与解题思路。 资料突出实战导向与素养培养，采用“问题情境—数学抽象—逻辑推理”教学模式，如轨迹问题（例8、例9）引导学生用数学眼光发现定义应用，弦长计算（例4）强化数学语言表达。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，融入高考真题变式，培养学生运算能力与推理意识，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高效解题与应考能力。

第5讲：椭圆 【知识梳理】 一、椭圆的定义 平面内一个动点P到两个定点F、F的距离之和 (PF,PF,=2a FF3) 这个动点P的轨迹叫 这两个定点F,F叫椭圆的 两焦点的距离 (EF|)叫作椭圆的 说明： 若(PF+PF2=|EFD,P的轨迹为 若(PF+PF2kEF,P的轨迹 二、椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2 y2 a+6 =1(a>b>0) a+ -=1(a>b>0) 图象 D M M F F F 焦点坐标 F(-c,0),F,(c,0) F(0,-c）,F(0,c) a,b,c的关 系 三、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y B2 图形 A FO F A: B y2 x2 标准方程 a+1 (a>b>0) (a>b>0) 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a A(-a,0),A(a,0), 顶点 A(0,-a)A,(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B(-b,0)B,(b,0) 轴长 短轴长= 长轴长= 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 FF,|=2c 对称性 对称轴：x轴、y轴对称中心：原点 离心率 。 e∈(0,1) 四、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程y=:+b与椭圆的方程 y2 =1(a>b>0)联立成方程组，消元转化为关 于x或y的一元二次方程，其判别式为△ ①△>0一直线和椭圆相交台直线和椭圆有 ②△=0台直线和椭圆相切台直线和椭圆有」 ③△<0台直线和椭圆相离台直线和椭圆 2、直线与椭圆的相交弦 弦长公式：若直线1：y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则： (1)AB=Vx,-x2)2+0y-y2)2=Vx-x)2+(G1-2)2=V1+k2x-x 【典型例题】 例1：阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的 面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,则椭圆的面积公式为S=πab,若椭 圆的离心率为竞，面积为2√3π，则椭圆的标准方程为() A.号+y2=1或+x2=1 B.号+号=1或号+等-1 c.号+号=1或若+号=1 D.器+号=1或号+若=1 例2：已知F1(一1,0)，F2(1,0)是椭圆c的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、 B两点，且AB=3,则C的方程为() A.号+y2=1B.号+号=1C.等+号=1 D.晋+=1 例3：设椭圆等+号=1的左右两个焦点分别为P1,F2,若点P在椭圆上，且PR1PP2 (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率； (2)求△F1PF2的面积； 例4：2025全国二卷高考真题)已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的离心率为，长轴 长为4. (1)求C的方程： (2过点(0，-2)的直线1交C于AB两点，0为坐标原点若△OAB的面积为y2,求AB卧. 例5：已知动点P到定点F(c,0)的距离和P到定直线1：x=的距离的比是常数 (0<c<a),求点P的轨迹方程. 例6：已知点A(一6,0)，B(6,0),直线PA与PB的斜率之积为-寺.记点P的轨迹为曲 线C (1)求曲线C的方程，并指出曲线C是什么曲线； (2)若D(4,2)是直线1被曲线C所截得的线段MN的中点，求直线1的方程. 例7：(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题改编)己知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上 任意一点P向x轴作垂线段PP',P为垂足，求线段PP的中点M的轨迹方程。 例8：在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),点P为圆C:(x+1)+y2=16上任意一点， 线段PA的垂直平分线！交半径PC于点Q,当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)若点P(-1,4),试判断直线1与W的位置关系，并说明理由； 例9：已知定圆A:(x+1)+y2=16,动圆M过点B(1,0),且和圆A相切.求动圆圆心M 的轨迹E的方程： 【巩固练习】 一、单选题 1.设P是椭圆詈+号=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为(） A.22 B.25 c.2v5 D.42 2.已知椭圆等+器=1(m>0)的左焦点为BR1(-4,0),则m=（) A.9 B.4 C.3 D.2 3.若方程x2+y2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是() A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 4.若焦点在x轴上的椭圆号+器=1的离心率为克，则m=（) A.V3 B. c. D.号 5.设FF2为椭圆C:号+y2=1的两个焦点，点P在C上，若P序·PF2=0,则 |PF1·PF2=() A.1 B.2 C.4 D.5 6.椭圆x2+y2=1的一个焦点是(0,2)，那么k=（) A.1 B.-1 c.5 D.-V5 7.已知F,F2是椭圆C:号+=1的两个焦点，点M在C上，则MF1MF2的最大 值为() A.13 B.12 C.9 D.6 8.设O为坐标原点，FF2为椭圆C:等+号=1的两个焦点，点P在C上， cos∠F1PF2=,则0P=() A.9 c.号 D. 二、填空题 9.已知F、R为椭圆亡+ =1的两个焦点，过F,的直线交椭圆于A、B两点，若| 259 FA|+|FBI=12,则|AB|= 10.已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆号+若=1总有公共点，则b的取值花围 是 11.(2005上海高考真题)若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是2√15,0， 则椭圆的标准方程是 12.动点P(x,y)满足方程x-3)+y2+Nx+3)2+y2=10,则动点P的轨迹 是 其轨迹方程是 三、解答题 13.(24-25高二上江苏宿迁：期中)设m为实数，已知方程品十品=1表示椭圆。 2 (1)求m的取值范围； (2)若m=1,过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于AB两点，求AB的长. 14.(2009宁夏·高考真题)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在×轴上，它 的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程； 15.椭圆器+导=1(a>b>0)经过点(0，V3),离心率为克，左、右焦点分别为 F(-c,0),Fc,0) (1)求椭圆的方程 (2)斜率为-的直线1与椭圆交于4，B两点，当1AB1=區时，求直线！的方程 16。已知中心在原点，焦点在y轴上的梢圆C离心率为号 短轴长为2V5 (1)求C的方程： (2)若直线：y=x-1与C交于M,N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积. 17.如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且 IMDI=PDI. y个 M D (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.