第9章 第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第五节　椭圆 第1课时　椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质 课标解读 考向预测 1．理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．掌握椭圆的简单应用． 近三年高考中，以选择题、填空题、解答题的形式考查了椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，难度中档．预计2026年高考会保持不变，继续考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 必备知识—强基础 1．椭圆的定义 (1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数． 注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆． 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ． (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|． (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ． (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 题组一　走出误区——判一判 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) (3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案：D 解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝．故选D． (2)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T5改编)已知点P为椭圆＋＝1上的一点，B1，B2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB1B2的面积为6，则满足条件的点P的个数为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 答案：C 解析：在椭圆＋＝1中，a＝4，b＝3，则短轴长|B1B2|＝2b＝6，设椭圆上点P的坐标为(m，n)，由△PB1B2的面积为6，得|B1B2|·|m|＝6，解得m＝±2，将m＝±2代入椭圆方程，得n＝±，所以符合题意的点P的坐标为或或或，共4个满足条件的点P．故选C． (3)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T1改编)已知点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝8，则点M的轨迹方程为________________． 答案：＋＝1 解析：因为＋＝8>4，所以点M的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得2a＝8，即a＝4，则b2＝a2－c2＝12，所以点M的轨迹方程为＋＝1． (4)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T4改编)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则椭圆C的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)． 答案：＋＝1(答案不唯一) 解析：因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a>b>0，因为离心率为，所以＝，所以＝＝，则＝．所以椭圆C的方程可以为＋＝1(答案不唯一)． 考点探究—提素养 　椭圆的定义及其应用(多考向探究) 考向1　利用椭圆的定义求轨迹方程 (2025·河北衡水中学高三模拟)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹方程为________． 答案：＋＝1 解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|．又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|．由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，故动点P的轨迹方程为＋＝1． 　在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程． 　1．△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) 答案：A 解析：由题意，知点C到A，B两点的距离之和为10，故顶点C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16．其方程为＋＝1．又A，B，C三点不能共线，所以＋＝1(y≠0)．故选A． 考向2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 　(1)如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点F在BC边上，则△ABC的周长是________． 答案：4 解析：因为a2＝3，所以a＝．△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF|＋|AB|＋|BF|＝2a＋2a＝4a＝4． (2)设P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 答案： 解析：解法一：由题意，知c＝．∵∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°＝4a2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－16，∴|PF1|·|PF2|＝，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝××＝． 解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝． 　将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题． 　2．已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：解法一：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|·|PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|PO|＝||＝|＋|＝ ＝＝．故选B． 解法二：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝＝＝，解得tanθ＝．由椭圆的方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3，所以x＝9×＝，因此|PO|＝＝＝．故选B． 解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，又|F1F2|＝2，解得|PO|＝．故选B． 　椭圆的标准方程 　(1)(2025·山西太原模拟)已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆C的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：B 解析：依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由P(4，3)在C上，得＋＝1，显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，而S△PF1F2＝(2a＋2c)×1＝a＋c，又S△PF1F2＝×2c×3＝3c，于是a＝2c，b2＝a2－c2＝a2，因此＋＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以椭圆C的标准方程是＋＝1． (2)(2025·山西大同模拟)过点(2，－)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________． 答案：＋＝1或＋＝1 解析：椭圆＋＝1的离心率是e＝，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)，∴解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∴解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1． 　 1．求椭圆方程的常用方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量． 2．椭圆标准方程的两个应用 (1)椭圆＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便． 　3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，若P在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的标准方程为________________． 答案：＋＝1 解析：由|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，解得a＝2．又P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1，解得b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1． 4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(，1)，P2(－，－)两点，则该椭圆的标准方程为________________． 答案：＋＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1． 　椭圆的简单几何性质(多考向探究) 考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距 　已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定(　　) A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 答案：B 解析：由椭圆＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8．在椭圆＋＝1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝，b1＝，c1＝4，所以其长轴长是2，短轴长是2，焦距是8．所以两椭圆有相等的焦距．故选B． 　求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系． 　5．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为(　　) A．2 B．2 C． D．4 答案：C 解析：因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以b＝c，故＝＝＝，所以长轴长与短轴长之比为．故选C． 6．焦点在x轴上的椭圆＋＝1的长轴长为4，则其焦距为________． 答案：6 解析：由题意，得2a＝4，所以a2＝12，c2＝a2－b2＝12－3＝9，解得c＝3，故焦距2c＝6． 考向2　椭圆的离心率 　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________． 答案： 解析：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为A，B．因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，又AD⊥F1B，所以|AF1|＝|AB|，又|AF1|＝|BF1|，则△AF1B为等边三角形． 解法一：由|F1F2|＝|AF2|，可知2c＝×，即b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，即e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)． 解法二：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝a，又|AF1|sin60°＝|F1F2|，所以a×＝2c，解得＝，即e＝． 解法三：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AB|＝|AF1|＝|BF1|＝a，即＝a，即2a2＝3b2，所以e＝＝＝． 　求椭圆离心率的方法 方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解 方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解 方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式． 　7．(2025·河北邢台高三期末)已知椭圆的两个焦点为(0，)，(0，－)，点(－1，)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意，设F1(0，－)，F2(0，)，P(－1，)，则|F1F2|＝2c＝2，|PF1|＝＝3，|PF2|＝＝1，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，则e＝＝＝，所以椭圆的离心率为．故选A． 8．(2025·广西桂平高三摸底)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图所示，根据题意，可知|PF1|＝|F1F2|＝2c，由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a－2c，又Q为PF2的中点，可得|PQ|＝a－c，因为|F1Q|＝b，由勾股定理可得|F1Q|2＋|PQ|2＝|PF1|2，即b2＋(a－c)2＝(2c)2，结合b2＋c2＝a2，整理，得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选C． 考向3　与椭圆几何性质有关的最值问题 　(2025·河北唐山模拟)设M是椭圆C：＋＝1上的动点，N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________． 答案： 解析：由题意知，圆E的圆心为E(1，0)，半径为1．因为直线MN与圆E相切于点N，所以NE⊥MN，且|NE|＝1．又E(1，0)为椭圆C的右焦点，所以2≤|ME|≤4，所以当|ME|＝2时，|MN|取得最小值，又|MN|＝，所以|MN|min＝＝． 　与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略 　9．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________． 答案：4 解析：由题意，知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1．设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤．因为F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4． 课时作业 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 椭圆的定义及其应用 椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的定义及其应用 椭圆的定义及其应用 椭圆的定义及其应用 椭圆的定义及其应用 椭圆的标准方程 考点 利用椭圆的定义求轨迹方程 椭圆的长轴、短轴、焦距；椭圆的离心率 待定系数法求椭圆的标准方程 利用椭圆的离心率求参数的取值范围 利用椭圆的定义求轨迹方程 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 利用椭圆的定义求最值 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 椭圆方程的辨析 关联点 圆与圆的位置关系 平面向量的数量积 平面向量的有关概念 充分、必要条件的判断 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 椭圆的定义及其应用；直线与椭圆的综合问题 椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的定义及其应用；椭圆的简单几何性质；点与椭圆的位置关系 椭圆的定义及其应用；椭圆的简单几何性质 椭圆的定义及其应用；椭圆的简单几何性质 椭圆的定义及其应用 考点 利用椭圆的定义求最值；特殊直线与椭圆的简单计算 椭圆的长轴、短轴、焦距 利用几何性质求椭圆的标准方程 椭圆的离心率 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 利用椭圆的定义求最值；椭圆的长轴、短轴、焦距；椭圆的离心率 利用椭圆的定义求最值；与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题；椭圆的离心率 利用椭圆的几何性质求椭圆的方程；利用椭圆的定义求最值 关联点 平面向量的数量积、三角形的面积计算 平面向量的数量积 余弦定理；基本不等式 不等式、正方形的对称性 一、单项选择题 1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋x2＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1．故选D． 2．(2025·广东揭阳模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设该椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，由题意得a＝b，则e＝＝＝． 3．(2025·河南信阳模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：B 解析：由9x2＋4y2＝36，可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1． 4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，3) B． C．(0，3)∪ D．(0，2) 答案：C 解析：当k>4时，c＝，由条件，知<<1，解得k>；当0<k<4时，c＝，由条件，知<<1，解得0<k<3．故选C． 5．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9．动圆M在圆C1内部，且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r．因为|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1．故选D． 6．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案：B 解析：解法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 解法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 7．设椭圆＋＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为(　　) A．4＋ B．6 C．2＋2 D．8 答案：D 解析：设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8． 8．(2025·山东临沂模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设||＝m，||＝n，则有m2＋n2＝4c2，m＋n＝2a＝2×c＝c，则(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝c2，即2mn＝c2－4c2＝c2，则(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝4c2－c2＝c2，即m－n＝c，即m＝＝c，n＝＝c，则||＝λ||＝λm＝λc，由||＝||，则有＝＋，整理得8λ＝5，即λ＝． 二、多项选择题 9．对于曲线C：＋＝1，下列说法中正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2．5”的充要条件 答案：CD 解析：对于A，当1＜k＜4且k≠2．5时，曲线C是椭圆，A错误；对于B，当k＝2．5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2．5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2．5，D正确．故选CD． 10．(2025·福建泉州模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 答案：ACD 解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6，为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF周长的取值范围是(6，12)，B错误；将y＝与椭圆方程联立，解得A，B，又F(，0)，∴·＝＋＝0，∴AF⊥BF，∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选ACD． 三、填空题 11．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________． 答案： 解析：将原方程变形为x2＋＝1．由题意知a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，所以＝2，m＝． 12．(2025·江西南昌模拟)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________． 答案：＋＝1 解析：椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，可得解得从而a2＝8，b2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1． 13．(2025·广东广州模拟)已知A，B，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为________． 答案： 解析：由已知可得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，线段AF的垂直平分线方程为x＝，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，所以圆心坐标为，圆的半径为，所以过A，B，F三点的圆的方程为＋(y－b)2＝，A(a，0)在圆上，所以＋(0－b)2＝，整理得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，化为e2＋e－1＝0，由0<e<1，解得e＝． 14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为，若点P为椭圆上任意一点，则＋的取值范围是________． 答案：[1，4] 解析：由已知，得2b＝2，故b＝1．∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝，∴＋＝＝＝ ．又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4，即＋的取值范围为[1，4]． 15．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则下列说法正确的是(　　) A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋ 答案：ACD 解析：由题意知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以b＞1，2b＞2，所以B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以＋＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0(a>1)，解得a2＞或a2＜(舍去)，则椭圆C的离心率e＝＜＝＝，又0<e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围为，所以C正确；由＝可得，F1为PQ的中点，而P(1，1)，F1(－1，0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝＋＝＋＝2a，所以D正确．故选ACD． 16．(多选)(2024·安徽合肥一检)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(　　) A．存在点M，使∠AMB＝120° B．·＝2· C．·的最小值为－ D．△FMN周长的最大值为8 答案：BCD 解析：对于A，设椭圆的上顶点为E，则Rt△BOE中，tan∠OEB＝＝＝<，则∠OEB<，所以∠AEB<，故A错误；对于B，设M(m，n)，则T(m，0)，N(m，－n)，且＋＝1，即4－m2＝2n2，又A(－2，0)，B(2，0)，则·＝(－2－m，0)·(2－m，0)＝－(2＋m)(2－m)＝－(4－m2)＝－2n2，又2·＝－2n2，故·＝2·，故B正确； 对于C，F(－，0)，·＝(m＋，n)·(m＋，－n)＝(m＋)2－n2＝(m＋)2－＝＋2m＝－，－2<m<2，则当m＝－时，·取得最小值，为－，故C正确；对于D，设椭圆的右焦点为F′，△FMN的周长为|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|MF′|－|MN|)≤8，当且仅当M，N，F′三点共线时，等号成立，故D正确．故选BCD． 17．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°． (1)求椭圆的离心率的取值范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解：(1)不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c． 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos60°＝ ＝， 即＝， 所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2， 所以3|PF1|·|PF2|＝4b2， 所以|PF1|·|PF2|＝． 又因为|PF1|·|PF2|≤＝a2， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，所以3a2≥4(a2－c2)，所以≥，所以e≥． 又因为0<e<1，所以椭圆的离心率的取值范围是． (2)证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝×b2×＝b2， 所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 18．(2025·广东五校高三开学联考)我们把各边与椭圆E：＋＝1(a>b>0)的对称轴垂直或平行的E的内接四边形叫做E的内接矩形．如图，已知四边形PQRS是E的一个边长为1的内接正方形，PS，QR分别与x轴交于F1，F2，且F1，F2为E的两个焦点． (1)求E的标准方程； (2)设Ai(i＝1，2，…，100)是四边形PQRS内部的100个不同的点，线段PQ，RS与y轴分别交于E1，E2，记dk＝|EkAi|，其中k＝1，2，证明：d1，d2中至少有一个小于25(1＋)． 解：(1)依题意，得|PF1|＝，焦距2c＝|F1F2|＝|PQ|＝1，所以c＝， 连接PF2，则|PF2|＝＝， 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝， 所以a＝，所以b2＝a2－c2＝－＝， 所以E的标准方程为＋＝1， 即＋＝1． (2)证明：连接F1Ai并延长与E交于点Bi，连接F2Bi(为了便于理解，解析图中只做了两条，其他类似)，则|AiF1|＋|AiF2|<|AiF1|＋|AiBi|＋|BiF2|＝|BiF1|＋|BiF2|＝2a＝，所以由正方形的对称性，d1＋d2＝|E1Ai|＋|E2Ai|＝|F1Ai|＋|F2Ai|<100×＝50(1＋)，所以d1＋d2<50(1＋)，若d1，d2均不小于25(1＋)，则d1＋d2≥50(1＋)，与d1＋d2<50(1＋)矛盾，所以d1，d2中至少有一个小于25(1＋)． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$