第9章 第5节 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 课标解读 考向预测 1．理解直线与椭圆位置关系的判断方法． 2．掌握直线被椭圆所截的弦长的计算公式． 3．了解直线与椭圆相交的综合问题． 近三年高考中，直线与椭圆的位置关系以解答题的形式出现，主要考查考生的运算求解能力．预计2026年高考仍会以解答题的形式出现，难度较大． 必备知识—强基础 1．点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1． 2．直线与椭圆位置关系的判断 已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 若该一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0⇔有两个交点⇔相交； Δ＝0⇔有一个交点⇔相切； Δ<0⇔无交点⇔相离． 3．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝， k为直线的斜率且k≠0． 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)： (1)通径的长度为． (2)A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－． (3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－． (4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－． (5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1． 题组一　走出误区——判一判 (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　) (2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　　) (3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T14改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案：A 解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． (2)(人教A选择性必修第一册3．1．1例3改编)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率为－，则直线PM的斜率为(　　) A． B．3 C．－ D．－3 答案：B 解析：∵椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，∴点M的坐标为(－2，0)，点N的坐标为(2，0)，又直线PN的斜率为－，∴直线PN的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2－4x－44＝0，设点P的坐标为(x，y)，则x＋2＝，解得x＝－，y＝，故直线PM的斜率k＝＝3．故选B． (3)(人教B选择性必修第一册第二章复习题A组T17改编)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________． 答案：＋x2＝1 解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆的方程为＋x2＝1． (4)(人教A选择性必修第一册习题3．1 T13改编)已知椭圆C1：＋＝1，过点P(2，2)作椭圆C1的切线，则切线方程为________________． 答案：x－8y＋14＝0或x＝2 解析：因为＋>1，所以点P在C1外部，当斜率不存在时，易知x＝2为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x－2)，代入C1中，并整理得(3＋4k2)x2＋16(k－k2)x＋16k2－32k＋4＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝[16(k－k2)]2－4(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0，解得k＝，此时切线方程为x－8y＋14＝0，所以切线方程为x－8y＋14＝0或x＝2． 考点探究—提素养 　直线与椭圆的位置关系 　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 消去y并整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144． (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 　(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点． 　1．(多选)(2025·山西长治模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 答案：BCD 解析：联立消去y，得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2)．令Δ＝12(8－m2)≥0，则有－2≤m≤2，A错误；令Δ＝12(8－m2)>0，则有|m|<2，B正确；令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，因此，C上到l的距离为5的点只有1个，C正确；如图，直线y＝x－与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD． 　弦长问题 　(2025·安徽蚌埠模拟)已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． 解：由题意，可知a＝，b＝2，c＝＝1，因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，且斜率为k＝2， 则直线l的方程为y＝2(x－1)，且直线l与椭圆必相交． 解法一：解方程组 解得或 不妨令A(0，－2)，B， 所以|AB|＝＝＝． 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y，得3x2－5x＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝＝＝． 解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x，得3y2＋2y－8＝0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝＝＝． 　求弦长的方法 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0． 提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n． 　2．(2025·黑龙江哈尔滨期末)直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值是________． 答案： 解析：直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，设另外一个交点为(x，y)，所以＋y2＝1，则x2＝4－4y2，弦长为＝＝＝ ，当y＝－时，弦长最大，为． 3．(2025·江西赣州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，|FA|＝3，|FB|＝1，则直线y＝x＋被椭圆C截得的弦长为________． 答案： 解析：设椭圆的半焦距为c，由|FA|＝3，|FB|＝1，可得a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b＝＝＝，则椭圆的方程为＋＝1，联立直线方程y＝x＋和椭圆方程3x2＋4y2＝12，可得7x2＋4x－11＝0，设被椭圆C截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，可得弦长为×＝×＝． 　中点弦问题 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________________． 答案：x＋2y－3＝0 解析：解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，显然Δ>0，∴x1＋x2＝，又x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－．经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其斜率为k，弦所在的直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1　①，＋＝1　②，由①－②，得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，又x1－x2≠0，∴k＝＝－．经检验，k＝－满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 　解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 　4．已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________________． 答案：x＋y－2＝0 解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k＜0，m＞0，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝－，即M，N(0，m)，所以E，所以k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0． 　直线与椭圆的综合问题 　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求直线l的方程． 解：(1)由题意，得解得 所以e＝＝＝． (2)解法一：因为直线AP的斜率kAP＝＝－， 所以直线AP的方程为y＝－x＋3， 即x＋2y－6＝0， |AP|＝＝， 由(1)知椭圆C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d， 则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位，所得直线与椭圆的交点即为点B， 设该直线的方程为x＋2y＋m＝0， 则＝， 解得m＝6或m＝－18， 当m＝6时，联立 解得或 即B(0，－3)或B， 当B(0，－3)时，kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B时，kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当m＝－18时， 联立 得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． 综上所述，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0． 解法二：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，B，|PB|＝3，点A到直线PB的距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件． 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－3)＋， 设直线l与y轴的交点为Q，令x＝0， 则Q， 联立 则(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0， Δ＝64k2－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)>0，且k≠－， 则3xB＝，xB＝， 则S△ABP＝|AQ|·|xP－xB|＝·＝9，解得k＝或k＝，经代入判别式验证均满足题意． 则直线l的方程为y＝x或y＝x－3， 即x－2y＝0或3x－2y－6＝0． 　(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法． (2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论． 　5．(2024·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 解：(1)由题意，得b＝c＝＝， 所以a＝＝2， 所以椭圆E的方程为＋＝1，离心率为e＝＝． (2)显然直线AB的斜率存在，否则B，D重合，与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设直线AB：y＝kx＋t(t>)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 化简并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0， 则Δ＝16k2t2－8(1＋2k2)(t2－2)＝8(4k2＋2－t2)>0，即k，t应满足4k2＋2－t2>0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 因为直线BD的斜率为0， 所以由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)， 所以直线AD：y＝(x－x1)＋y1， 在直线AD的方程中，令x＝0， 得yC＝＝ ＝＝＋t＝＝1， 所以t＝2． 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 考点 直线与椭圆的位置关系 弦长问题 弦长问题 中点弦问题 直线与椭圆的综合问题 直线与椭圆的综合问题；椭圆的标准方程 切线问题 直线与椭圆的综合问题 直线与椭圆的位置关系 中点弦问题；弦长问题 关联点 平面向量的数量积 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考点 弦长问题 中点弦问题 切线问题 切线问题 中点弦问题 直线与椭圆的综合问题 直线与椭圆的综合问题 中点弦问题；弦长问题 直线与椭圆的综合问题 切线问题；直线与椭圆的综合问题 关联点 平面向量的数量积 一、单项选择题 1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) 答案：B 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0．由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3．故选B． 2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：直线AB的方程为y＝x－1，联立椭圆方程＋＝1，整理得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝．故选A． 3．(2025·云南昆明一中高三月考)已知直线l过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与C交于M，N两点，若当l垂直于x轴时，|MN|＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图，不妨设直线l经过椭圆的右焦点F，因为l垂直于x轴，由图形的对称性知，椭圆经过点M，代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，整理得16b2c2＋a4＝16a2b2，把b2＝a2－c2代入，整理得16c4－32a2c2＋15a4＝0，两边同时除以a4，得16e4－32e2＋15＝0，解得e2＝或e2＝，因为0<e<1，所以e＝．故选C． 4．(2025·江苏南通如皋中学高三期初考试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1，2)，则△CF1F2的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案：B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＝－，由题意可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，即＝，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，所以S△CF1F2＝×2c×2＝4．故选B． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：将直线与椭圆的方程联立得消去y，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2．设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C． 6．(2025·河南安阳模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为－，则椭圆E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性可得D(－x2，－y2)，则＋＝1，＋＝1，所以两式相减可得＝－，因为直线AB与AD的斜率之积为－，所以·＝－，即＝－，所以＝．设椭圆E的半焦距为c，因为椭圆E的焦距为4，所以2c＝4，所以c＝2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝4，a2＝8，所以椭圆E的标准方程为＋＝1．故选A． 7．若点(m，n)在椭圆9x2＋y2＝9上，则的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：D 解析：由题知椭圆的方程为x2＋＝1，如图，求的最小值即求点(m，n)与点(3，0)连线斜率的最小值，设过点(m，n)和点(3，0)的直线方程为y＝k(x－3)，联立得(9＋k2)x2－6k2x＋9(k2－1)＝0．由题意，知当Δ＝0时，直线的斜率取得最小值，则由Δ＝(－6k2)2－4(9＋k2)[9(k2－1)]＝0，得k2＝，故k＝－，为斜率的最小值，即的最小值为－．故选D． 8．(2025·江苏徐州模拟)已知过椭圆C：x2＋＝1的上焦点F且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线y＝2相交于M，N两点．若∠MON为锐角，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B． C．∪ D．(－∞，－1)∪∪(1，＋∞) 答案：D 解析：由题意可知，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C：x2＋＝1的上焦点为F(0，1)，则直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝．由题设知，OA所在直线的方程为y＝x．因为直线OA与直线y＝2相交于点M，所以M，同理可得N．所以＝，＝．因为∠MON为锐角，所以·＞0，所以·＝＋4＝＋4＝＋4＝＋4＝＋4＝，即＞0，解得k2＜或k2＞1，所以－＜k＜或k＞1或k＜－1．故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪∪(1，＋∞)．故选D． 二、多项选择题 9．直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点 答案：AB 解析：直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交，也可能相切．故选AB． 10．设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 答案：BD 解析：对于A，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，得kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，可得2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理，得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝×＝，所以D正确．故选BD． 三、填空题 11．(2025·安徽合肥模拟)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝________． 答案： 解析：由题意，得c2＝a2－b2＝4－3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直，所以设A(－1，y1)，B(1，－y1)，则|AB|＝＝．又点A在椭圆E上，所以＋＝1，得y＝，则|AB|＝＝． 12．已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为，则k＝________． 答案：± 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ>0，x1＋x2＝，所以＝＝，即k2＝，所以k＝±． 13．(2025·陕西西安模拟)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________． 答案： 解析：因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>1)，联立消去y，得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简，得a4－6a2＋5＝0，解得a2＝5或a2＝1(舍去)，则a＝．又c＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝． 14．已知点M是椭圆＋＝1上任意一点，则点M到直线x＋y－7＝0的距离的最大值为________． 答案：6 解析：设与直线x＋y－7＝0平行的直线x＋y＝m与椭圆＋＝1相切，联立得25x2－18mx＋9m2－144＝0，则Δ＝(18m)2－4×25×(9m2－144)＝0，解得m＝5或m＝－5，由椭圆与x＋y－7＝0的位置关系，取离直线x＋y－7＝0远的切线x＋y＝－5，此时切点M是椭圆＋＝1上到直线x＋y－7＝0的距离最大的点，最大距离等于两条平行直线间的距离d＝＝6． 四、解答题 15．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为6． (1)求椭圆E的方程； (2)若点M(4，2)是直线l被椭圆E所截得的线段的中点，求直线l的方程． 解：(1)由已知，得2c＝6，e＝＝， 所以c＝3，a＝6， 所以b2＝a2－c2＝62－(3)2＝9， 所以椭圆E的方程为＋＝1． (2)设直线l与椭圆E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则＋＝1且＋＝1， 两式相减并化简得＝－， 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以＝－，即kl＝－， 所以直线l的方程为x＋2y－8＝0． 16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程． 解：(1)由题意，得解得 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)由题意，知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 消去x并整理，得(m2＋4)y2＋2my－3＝0， Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 故|y1－y2|＝ ＝＝， 因为△ABO的面积为，所以|OP||y1－y2|＝×1×＝＝， 设t＝≥，则＝， 整理，得(3t－1)(t－3)＝0， 解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±． 故直线l的方程为x＝±y＋1， 即x±y－1＝0． 17．(多选)(2025·江西南昌模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(　　) A．四边形AF1BF2为平行四边形 B．∠F1PF2＜90° C．直线BE的斜率为k D．S四边形AF1BF2∈(0，4] 答案：ABC 解析：对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四边形AF1BF2为平行四边形，故A正确；对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|＝b＝＝c．此时∠F1PF2＝90°．由题意可知P不可能在上、下顶点，故∠F1PF2＜90°，故B正确；对于C，如图，不妨设B在第一象限，BD⊥x轴，垂足为D，则直线BE的斜率为＝＝k，故C正确；对于D，S四边形AF1BF2＝2S△BF1F2＝|F1F2|·|BD|＝2|BD|．又0＜|BD|＜，故S四边形AF1BF2∈(0，4)，故D错误．故选ABC． 18．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆C交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A．△ABF2的周长为4a B．若O为坐标原点，AB的中点为M，则kOM·k＝ C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝ 答案：AC 解析：由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kOM＝，k＝，所以kOM·k＝·＝，由及①－②，得＋＝0，所以＝－，则kOM·k＝＝－，所以B错误；因为＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，所以·＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝∈，所以C正确；由过焦点的弦中通径最短，得|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝＝，所以D错误．故选AC． 19．(2025·安徽六校教育研究会高三开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，R是椭圆C上异于A，B的动点，满足kRA·kRB＝－，当R为上顶点时，△ABR的面积为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(－6，－2)的直线与椭圆C交于不同的两点D，E(D，E与A，B不重合)，直线AD，AE分别与直线x＝－6交于P，Q两点，求|MP|·|MQ|的值． 解：(1)不妨设椭圆的上顶点为R0(0，b)，此时kR0A·kR0B＝·＝＝－， 因为△ABR0的面积为8，所以×2ab＝8， 联立解得a＝4，b＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1． (2)依题意，直线DE的斜率存在，设斜率为k，则直线DE的方程为y＝k(x＋6)－2， 由消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋(48k2－16k)x＋144k2－96k＝0， 设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 直线AD的方程为y＝(x＋4)， 令x＝－6，得点P的纵坐标yP＝， 则|MP|＝＝， 同理得|MQ|＝， 所以|MP|·|MQ| ＝ ＝(2k－2)2· ＝(2k－2)2· ＝(2k－2)2·＝9． 20．(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)． (1)求C的方程； (2)已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 解：(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以c＝1， 又椭圆C的离心率为，所以a＝2， 所以b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1． (2)证明：由M0(1，4)，F1(－1，0)， 得直线F1M0的斜率为k＝2，F1M0的中点坐标为(0，2)， 所以线段F1M0的垂直平分线方程为y＝－x＋2， 联立方程得x2－2x＋1＝0， Δ＝4－4＝0， 所以直线与椭圆C相切，即线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点． (3)解法一：设M(x0，y0)， 当y0＝0时，F1M的垂直平分线方程为x＝， 此时＝±2，x0＝5或－3； 当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为 y＝－＋＝－x＋， 联立 得3x2＋4＝12， 即x2－x＋－12＝0， 因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点， 所以Δ＝－4·＝0， 即－12－＝0， 则y＋(2x－14)y＋x－18x－32x0－15＝0， 即y＋(2x－14)y＋(x0＋1)2(x0＋3)(x0－5)＝0， y＋(2x－14)y＋(x＋2x0＋1)(x－2x0－15)＝0， 即(y＋x＋2x0＋1)(y＋x－2x0－15)＝0， 因为x＋y＋2x0＋1＝(x0＋1)2＋y>0， 所以x＋y－2x0－15＝0， 而(5，0)，(－3，0)也满足该式， 故点M的轨迹为圆，该圆的方程为x2＋y2－2x－15＝0， 即(x－1)2＋y2＝16． 解法二：设线段F1M的中点为E，其垂直平分线l与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在椭圆的长轴上时，线段F1M的垂直平分线l即为点P处的切线， 也为∠F1PM的角平分线， 作∠F1PF2的角平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l， 所以∠F1PE＋∠F1PH＝90°， 则∠F2PH＋∠EPM＝90°， 故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°， 所以M，P，F2三点共线， 所以|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4， 所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆，除去与x轴相交的两点； 当点P在椭圆的长轴上时，点M的坐标为(5，0)或(－3，0)，也满足|MF2|＝4， 故点M的轨迹为圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2＝16． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$