数列专题综合测试试卷-2026届高考数学一轮复习

高中数学数列综合测试试卷 数列综合测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝6，a6＝3，则S8＝（　　） A．76 B．72 C．36 D．32 2．（5分）若数列{an}中，，，且，记数列{an}的前n项 积为πn，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 4．（5分）已知递增的等比数列{an}，a1＞0，公比为q，且a1，a3，a4成等差数列，则q的值为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn＝1（n∈N*），则a2024＝（　　） A． B． C． D． 6．（5分）数列{an}满足an+1（an﹣6）3+6，下列说法正确的是（　　） A．若a1＝3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＞M B．若a1＝5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得n＞m时，an＜M C．若a1＝7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得n＞m时，an＞M D．若a1＝9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＜M 7．（5分）定义：在数列{an}中，，其中d为常数，则称数列{an} 为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则（　　） A．1763 B．1935 C．2125 D．2303 8．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n项的“均倒数”，又bn，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 （多选）10．（6分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则（　　） A．a2，a5，a8成等比数列 B．a2，a8，a5成等差数列 C．S2，S5，S8成等比数列 D．S2，S8，S5成等差数列 （多选）11．（6分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，an的前n项和为Sn，则（　　） A．a1＝2 B．数列{an}是等比数列 C．Sn，S2n，S3n构成等差数列 D．数列前100项和为 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝　 　． 13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，若an＞0，a2+a3＝10，且b3b9＝5b7，则的最小值为　 　． 14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．若， 则n的最小值为　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝3，（n+1）2an+1+（2n+1）Sn＝2． （1）求Sn； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 16．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4＝10，S3＝9． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列的前n项和为Tn，求T1011． 17．（15分）设数列{an}满足a1＝3，． （1）证明：{nan}为等差数列； （2）设f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm，求f′（﹣2）． 18．（17分）已知{an}为等差数列，bn，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn． 19．（17分）{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3． （I）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）∀n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+⋯+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，⋯，pn﹣1，pn∈I}． （i）求证：∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1； （ii）求Tn所有元素之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学数列综合测试试卷 数列综合测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝6，a6＝3，则S8＝（　　） A．76 B．72 C．36 D．32 解：Sn为等差数列{an}的前n项和，∵a3＝6，a6＝3，∴． 故选：C． 2．（5分）若数列{an}中，，，且，记数列{an}的前n项 积为πn，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 解：由题意，得，，a5＝4，，，，发现数列{an}是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，所以原式的值为，故选：D． 3．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 解：等比数列{an}中，设公比为q，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠±1， （如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾，如果q＝﹣1，可得﹣1＝﹣5﹣4矛盾），可得5•4，解得q2＝4，即q＝2或q＝﹣2，所以当q＝2时，S415． 当q＝﹣2时，S45．没有选项．故选：C． 4．（5分）已知递增的等比数列{an}，a1＞0，公比为q，且a1，a3，a4成等差数列，则q的值为（　　） A． B． C． D． 解：因为递增的等比数列{an}，a1＞0，则公比为q＞1，因为a1，a3，a4成等差数列，则2a3＝a1+a4，所以2a1q2，即q3﹣2q2+1＝0，所以（q﹣1）（q2﹣q﹣1）＝0，解得q或q＝1（舍）或q（舍）．故选：A． 5．（5分）设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn＝1（n∈N*），则a2024＝（　　） A． B． C． D． 解：因为an+2Tn＝1（n∈N*），所以a1+2T1＝1，即a1+2a1＝1，所以a1，所以2Tn＝1（n≥2，n∈N*），所以2（n≥2，n∈N*），所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以3+2（n﹣1）＝2n+1，即Tn，所以a2024．故选：C． 6．（5分）数列{an}满足an+1（an﹣6）3+6，下列说法正确的是（　　） A．若a1＝3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＞M B．若a1＝5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得n＞m时，an＜M C．若a1＝7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得n＞m时，an＞M D．若a1＝9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＜M 解：对原式进行变形，得an+1﹣an＝[（an﹣6）2﹣1]（an﹣6），当a1＝3，则a2﹣a1＜0，a2＜3，设ak＜3（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＜﹣3，所以{an}是递减数列，当n→+∞，an→﹣∞，A错误，同理可证明D错误，当a1＝5，则a2﹣a1＞0，即a2＞5，又因为（a1﹣6）3＜0，所以5＜a2＜6，假设5＜ak＜6（k∈Z，k≥2），则ak+1﹣ak＞0，即ak+1＞5，又因为（ak﹣6）3＜0，所以5＜ak+1＜6，所以当n→+∞，an→6，B正确，对于C，当a1＝7，代入进去很明显不是递减数列，C错误，故选：B． 7．（5分）定义：在数列{an}中，，其中d为常数，则称数列{an} 为“等比差”数列．已知“等比差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则（　　） A．1763 B．1935 C．2125 D．2303 解：∵数列{an}是“等比差”数列，∴， ∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴，∴，由累加法得， ∴，由累乘法得，∴． 故选：B． 8．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n项的“均倒数”，又bn，则（　　） A． B． C． D． 解：由题意知，，所以a1+a2+…+an＝n（3n+1）， 当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）（3n﹣2），两式相减得，an＝6n﹣2（n≥2）， 当n＝1时，a1＝1•（3+1）＝4，满足上式，所以an＝6n﹣2（n∈N*）， 所以bnn，所以（1）+（）+…+（）＝1．故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　） A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8 解：由已知，S3＝a1+a2+a37，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q（负根舍去），故A正确，a5＝q2，故B错误，S5＝S3+q+q2＝7，故C错误，an＝a3qn﹣3，Sn8，所以an+Sn88，故D正确．故选：AD． （多选）10．（6分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9，S6成等差数列，则（　　） A．a2，a5，a8成等比数列 B．a2，a8，a5成等差数列 C．S2，S5，S8成等比数列 D．S2，S8，S5成等差数列 解：若等比数列{an}公比q＝1，则S6+S3＝9a1，而2S9＝18a1，则S6+S3≠2S9， ∴q≠1，∵S6+S3＝2S9，∴， 整理，得q3+q6﹣2q9＝0，解得q3或q3＝1，∵q≠1，∴q3， 则2a5，，a2a8，即a2，a5，a8成等比数列，A正确； ∴a2+a5＝﹣a5＝2a8，故a2，a8，a5成等差数列，B正确； 又S2，S5，S8， S2S8[（1﹣q2）（1﹣q8）﹣（1﹣q5）2]•q2（2q3﹣q6﹣1）≠0， 即，C错误；∵q2+q5﹣2q8＝q2（1+q3﹣2q6）＝0， 则S2+S5＝2S8，即S2，S8，S5成等差数列，D正确．故选：ABD． （多选）11．（6分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，an的前n项和为Sn，则（　　） A．a1＝2 B．数列{an}是等比数列 C．Sn，S2n，S3n构成等差数列 D．数列前100项和为 解：由a1+2a2+...+2n﹣1an＝n•2n，①取n＝1，可得a1＝2，故A正确； a1+2a2+...+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，② ①﹣②得：2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，则an＝n+1，n≥2， 验证a1＝2适合上式，可得an＝n+1， 则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，故B错误； 则，，， 而Sn+S3n， ，则Sn+S3n≠2Sn，即Sn，S2n，S3n构不成等差数列，故C错误； ， 则数列前100项和为，故D正确． 故选：AD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝ 　﹣7　 ． 解：设等差数列{an}的公差为d，a7+a8+a9＝0，则3a8＝0，解得a8＝0， a7+a10＝a8+a9＝1，则a9＝1，d＝a9﹣a8＝1﹣0＝1， 故a1＝a8﹣7d＝0﹣7＝﹣7．故答案为：﹣7． 13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，若an＞0，a2+a3＝10，且b3b9＝5b7，则的最小值为 　5　 ． 解：设等差数列的公差为d，因为an＞0，可知a1＞0，d≥0， 且a2+a3＝2a3﹣d＝10，则2a3＝10+d≥10，即a3≥5，所以； 又因为{bn}是等比数列，且b3b9＝5b7，则b3b9＝b5b7＝5b7，显然b7≠0，可得b5＝5， 则，所以最小值为5．故答案为：5． 14．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，．若， 则n的最小值为　7　 ． 解：因为， 两式相减得：，即． 两边同除以2n+1可得， 又，得a2＝6，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列{cn}单调递增，因为， 所以当1≤n≤6时，，即； 当n≥7时，， 即．所以n的最小值为7．故答案为：7． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝3，（n+1）2an+1+（2n+1）Sn＝2． （1）求Sn； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）由题设（n+1）2（Sn+1﹣Sn）+（2n+1）Sn＝2， 得，又12×S1＝a1＝3， ∴{n2Sn}是首项为3，公差为2的等差数列， ∴n2Sn＝3+2（n﹣1）＝2n+1， 则； （2）由（1）得， ∴． 16．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4＝10，S3＝9． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列的前n项和为Tn，求T1011． 解：（1）因为{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d， 由题意得：a2+a4＝（a1+d）+（a1+3d）＝2a1+4d＝10， S3＝a1+a2+a3＝3a1+3d＝9， 联立解得：d＝2，a1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1． （2）由上问可知，数列{an}是公差为2的等差数列，通项公式an＝2n﹣1． 所以， 从而可得， 从而可得， ． 17．（15分）设数列{an}满足a1＝3，． （1）证明：{nan}为等差数列； （2）设f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm，求f′（﹣2）． 解：（1）证明：因为， 所以（n+1）an+1＝nan+1，即（n+1）an+1﹣nan＝1， 因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，nan＝3+n﹣1＝n+2， 因为f（x）＝a1x+a2x2+⋯+amxm， 所以3+4x+5x2+...+（m+1）xm﹣2+（m+2）xm﹣1， 所以f′（﹣2）＝3+4×（﹣2）+5×（﹣2）2+...+（m+1）（﹣2）m﹣2+（m+2）（﹣2）m﹣1，① ﹣2f′（﹣2）＝3×（﹣2）+4×（﹣2）2+5×（﹣2）3+...+（m+1）（﹣2）m﹣1+（m+2）（﹣2）m，② ①﹣②得：3f′（﹣2）＝3+（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+...+（﹣2）m﹣1﹣（m+2）（﹣2）m （m+2）（﹣2）m， 所以，m∈N*． 18．（17分）已知{an}为等差数列，bn，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16． （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn． 解：（1）设等差数列{an}的公差为d， Sn，Tn为{an}{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16， 则，即，解得， 故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3； （2）证明：由（1）可知，， ， 当n为偶数时，n＞5， Tn＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6 ， ， 当n为奇数时，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn， Tn﹣Sn， 故原式得证． 19．（17分）{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3． （I）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）∀n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+⋯+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，⋯，pn﹣1，pn∈I}． （i）求证：∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1； （ii）求Tn所有元素之和． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}公比为q（q≠0）， 因为a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3， 所以，解得， 所以； （Ⅱ）（i）证明：由（1）知， 或， 当时， 设Sn＝p1a1b1+p2a2b2+...+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn ＝2×2+5×22+...+（3n﹣4）2n﹣1+（3n﹣1）2n，① 则，② ①﹣②得： 8﹣（3n﹣4）2n+1， 所以，所以为Tn中的最大元素， 此时恒成立， 所以对∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1； （ii）由（i）得，为Tn中的最大元素， 由题可得Tn中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当p1，p2，…，pn﹣1，pn均为1时：此时该系列元素只有，有个； 当p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有一个为0，其余均为1时：此时该系列的元素有Sn﹣a1b1，Sn﹣a2b2，Sn﹣a3b3，…，Sn﹣anbn共有个， 则这n个元素的和为； 当p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为Sn﹣aibi﹣ajbj（i，j∈{1，2，…，n}，i≠j）共有个， 则这n个元素的和为； 当p1，p2，…，pn﹣1，pn中有3个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为Sn﹣aibi﹣ajbj﹣akbk（i，j，k∈{1，2，…，n）}，i≠j≠k）共有个， 则这n个元素的和为；…； 当p1，p2，…，pn﹣1，pn中有n﹣1个为0，1个为1时：此时该系列的元素为a1b1，a2b2，…，anbn共有个， 则这n个元素的和为； 当p1，p2，…，pn﹣1，pn均为0时：此时该系列的元素为，有个， 综上所述，Tn中的所有元素之和为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $