专题12一次函数与一元二次方程及应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）的数形关系，系统梳理两者互化、解与点对应、交点与方程组解的关联，以及直线位置与解的情况，再延伸至图像法步骤、建模通用流程、分段函数要点及实际应用，构建从概念到方法再到应用的学习支架。 资料通过14种分层题型（基础到拔高压轴）设计，结合行程、阶梯收费等实例，以数形结合培养几何直观（数学眼光），通过建模步骤强化模型意识（数学语言），解题思路与易错点提示提升推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题12一次函数与一元二次方程及应用精讲学案 核心立意 掌握一次函数与二元一次方程（组）的数形对应关系，会用图像法解二元一次方程组；能在实际问题中建立一次函数模型，读懂函数图像信息，利用增减性、交点进行方案优选，落实数形结合与数学建模思想。 互化关系： 二元一次方程 ax+by=c(b≠0) 可变形为一次函数 y=-x+；一次函数 y=kx+b 可化为二元一次方程 kx-y+b=0。 解与点的对应： 一次函数图像上任意一点坐标，都是对应二元一次方程的一组解；二元一次方程所有解对应的点，都在这条直线上。 方程组与两直线交点： 两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；方程组的解，就是两条直线交点坐标。 直线位置和方程组解： 两直线相交⇒方程组唯一解； 两直线平行（k1=k2,b1≠b2）⇒方程组无解； 两直线重合⇒方程组无数组解。 图像法解方程组步骤： ①化成y=kx+b形式； ②画出两条直线； ③读取交点坐标，即为方程组的解。 建模通用步骤： ①审题确定两个变量； ②判定一次函数关系； ③待定系数法求解析式； ④标注自变量实际取值范围； ⑤结合增减性、图像解题，检验结果符合实际。 分段函数要点： 不同自变量区间对应不同解析式；每一段解析式必须附带对应自变量范围，图像多为线段或射线，不是完整直线。  函数图像读图： 分清横、纵坐标实际意义；抓住起点、终点、拐点、交点；交点是两种方案费用/数量相等的临界分界点。 增减性求最优方案： k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；在自变量取值范围内，利用增减性判断最值、优选方案。 常考实际模型：行程问题、阶梯收费、销售利润、费用方案对比。 1. 图像法求出的方程组解多为近似解，求精确解优先用代入/加减消元法； 2. 两直线平行判定，必须同时满足k1=k2且b1≠b2，缺一不可； 3. 一次函数实际应用题，务必写自变量取值范围，人数、物件数量一般取正整数； 4. 分段函数计算，先判断自变量所属区间，再代入对应解析式； 5. 图像交点仅代表函数值相等，不直接等同于最优方案，需要结合增减性再判断。 题型 考察方向 难度 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型二 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型三 利用图象法解一元一次方程 ★★ 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★★★ 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★★ 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★★ 题型七 图象法解二元一次方程组 ★★★ 题型八 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型九 分配方案问题 ★★★★ 题型十 最大利润问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 梯度计价问题 ★★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 一次函数与几何综合 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①明确x轴交点纵坐标为0，y轴交点横坐标为0；②将交点坐标代入y=kx+b，列方程组求k、b；③写出函数解析式，转化对应一元一次方程求解。 1．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 2．如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 3．下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据点在函数图象上的性质，用含的代数式分别表示出和，最后根据已知条件列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点，代入解析式， 则， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， ， 解得， 即的值为． 题型二：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①牢记等价关系：kx+b=0的解x=m；②对应直线y=kx+b与x轴交点坐标为(m,0)；③直接写出交点横坐标与纵坐标。 5．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 7．在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 题型三：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①将一元一次方程整理为kx+b=0形式，对应直线y=kx+b；②画出该一次函数图像；③读取直线与x轴交点的横坐标，即为方程的解；④注意图像法所得多为近似解。 8．如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．    （1）关于x的方程的解为___________． （2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m___________n． 【答案】 【分析】（1）由函数和的图象的交点横坐标为，从而可得答案； （2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为，B的横坐标为，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵函数和的图象的交点横坐标为， ∴关于x的方程的解为为； 故答案为：； （2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B， 由图象可得： A的横坐标为，B的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程的联系，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10．如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】∵直线和直线相交于点， ∴的解是：， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值． 题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 解题思路：①画出一次函数y=kx+b图像，标记与x轴交点；②kx+b>0看图像在x轴上方部分对应的x范围；③kx+b<0看图像在x轴下方部分对应的x范围；④结合k正负验证范围是否正确。 11．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式表示的是一次函数的图象位于轴下方（含交点），结合函数图象即可得． 【详解】解：∵不等式表示的是一次函数的图象位于轴下方（含交点），且直线交轴于点， ∴结合函数图象可知，不等式的解集是． 12．已知一次函数的图象如图，则关于的不等式解集为________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：由图象可知，函数的图象经过，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】根据直线、直线与轴的交点的横坐标分别为、，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． 题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集 解题思路：①找到两条直线交点横坐标，作为分界值；②观察图像，函数图像在上方的对应函数值更大；③以交点横坐标为界，写出满足不等关系的x取值范围；④注意区分不等号是否含等号。 14．如图，直线（k，b是常数，且）经过点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：作直线，再根据函数图像确定不等式的解集即可． 【详解】解：如图：作直线， 由函数图像可知：不等式的解集为． 15．如图，一次函数与的图像交点的横坐标为，则的解集为______． 【答案】 【分析】直接观察图像即可求解． 【详解】解：观察图像得：当时，一次函数的图像在的图像的下方， ∴的解集为． 16．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数与（m，n为常数，）的图象交于点， ∴结合图象可得，关于x的不等式的解集是． 题型六：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线解析式得到二元一次方程组；②两直线交点坐标，就是对应方程组的解；③已知方程组的解，可直接写出两直线交点坐标；④区分相交、平行、重合三种位置对应的解的情况。 17．一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个一次函数的交点和二元一次方程组的解的关系解题． 【详解】解：由题意知，直线和直线的交点坐标为， 即关于，的方程组的解为． 18．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据直线过点求出b的值，得到交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴直线与的交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 即的解为． 19．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2， ∴一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点坐标为， ∴关于、的方程组的解是． 题型七：图象法解二元一次方程组 解题思路：①把方程组内两个方程化为y=kx+b形式；②在同一坐标系画出两条直线；③读出两直线交点坐标，即为方程组的解；④图像法一般只适合求近似解，精确解优先代数消元。 20．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 21．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 22．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 题型八：求直线围成的图形面积 解题思路：①先求直线与坐标轴交点、直线之间交点坐标；②判断围成图形形状（多为三角形）；③以坐标轴上的线段为底，对应交点横坐标/纵坐标为高；④代入面积公式计算，注意坐标正负取线段长度。 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定，，，根据，求解即可． 【详解】解：直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点， 当时，，当时，， 故； 根据题意，得， 解得， 故． 当时，， 解得， 故， ， ． 24．如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键． 根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，解得：， ∴； ，当时，， ，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当点D在线段上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，不符合题意； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 25．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 题型九：分配方案问题 解题思路：①审题，设定自变量，找到总量等量关系；②列出一次函数解析式，写出自变量取值范围；③结合k的正负判断增减性；④在取值范围内取整数，列举可行方案并对比。 26．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 27．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 28．为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共21台．已知甲型号垃圾处理器的单价为16万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买21台垃圾处理器的最少费用． 【答案】(1) (2)购买这21台垃圾处理器的最少费用是380万元 【分析】（1）根据函数图像分别求出当时的解析式和当时的解析式，即为与的函数解析式； （2）设购买x台乙型号垃圾处理器，则购买台甲型号垃圾处理器，根据甲、乙两种处理器数量之间的关系列不等式求出x的取值范围，根据购买处理器的费用与处理器的数量之间的关系可得：，根据x的取值范围求出最小值即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 将点代入解析式，可得：，解得：， ， 当时，设函数解析式为， 将点，代入解析式， 可得：，解得：， ， 综上所述，y关于x的函数解析式为． （2）解：设购买x台乙型号垃圾处理器，则购买台甲型号垃圾处理器， 根据题意可得：，解得：， 设购买21台垃圾处理器的费用为w万元， 依题意得：， ， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最小值，此时万元． 答：购买这21台垃圾处理器的最少费用是380万元． 题型十：最大利润问题 解题思路：①根据利润公式，构建利润关于变量的一次函数；②确定自变量的实际取值范围；③根据k正负判断增减性；④在取值边界上求出最大/最小利润，作答贴合实际。 29．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是______元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为______元．    【答案】 【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可． 【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件， 由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元， 所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元； 设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 将点代人， 解得， 所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为， 当时，， 将时， ∴此时日销售利润为（元）． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答． 30．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（　　） A．94 B．96 C．1600 D．1800 【答案】D 【分析】先由图1求出y与x的函数解析式，再由图2求出x与w的函数解析式，然后把w＝20代入即可． 【详解】解：由图1可设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 把（92，1400）和（98，2000）代入得， 解得：， ∴y与x的函数解析式为：y＝100x﹣7800； 由图2可设x与w的函数解析式为x＝mw+n， 把（18，98）和（24，92）代入得： 解得： ∴x与w的函数解析式为：x＝﹣w+116， 当w＝20时，x＝﹣20+116＝96， y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件）， ∴本星期该滑板车的销量为1800件， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 31．江陵县某超市购进荆州鱼糕和糯米包藕： 商品 进价（元/盒） 售价（元/盒） 鱼糕 30 45 糯米包藕 20 30 (1)若购进两种商品共100盒，用去2600元，求购进鱼糕多少盒？ (2)若计划购进这两种商品共80盒，且鱼糕数量不超过糯米包藕的2倍．设购进鱼糕盒，总利润为元，求与的关系式，并设计获利最大的进货方案． 【答案】(1)购进鱼糕盒 (2)与的关系式为，获利最大的进货方案为购进鱼糕53盒，糯米包藕27盒 【分析】（1）设购进鱼糕盒，则购进糯米包藕盒，根据题意可列出方程，即可求解； （2）设购进鱼糕盒，则购进糯米包藕盒，根据题意可得到，根据一次函数的性质，可得，随的增大而增大，再根据不等关系，得到，即可求解． 【详解】（1）解：设购进鱼糕盒，则购进糯米包藕盒， 根据题意，得， 解得，， 答：购进鱼糕盒； （2）解：设购进鱼糕盒，则购进糯米包藕盒， 由题意可得， ∵鱼糕数量不超过糯米包藕的2倍， ∴，解得， ∵，， ∴随的增大而增大，由题意可知为正整数， ∴当时，获利最大，此时购进糯米包藕盒， 即获利最大的进货方案为购进鱼糕53盒，糯米包藕27盒， 答：与的关系式为，获利最大的进货方案为购进鱼糕53盒，糯米包藕27盒． 题型十一：行程问题 解题思路：①读懂横、纵坐标代表路程、时间；②提取起点、拐点、交点信息，求出一次函数解析式；③利用增减性、交点含义分析相遇、追及等问题；④结果检验是否符合行程实际情景。 32．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总路程与已行驶路程的关系得到函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可得到结果． 【详解】∵汽车平均速度为40千米/时，行驶时间为t时， ∴汽车已行驶的路程为， ∵北京到天津总路程为120千米，汽车距天津的路程为s， ∴， 又∵汽车从北京到天津的总时间为， 结合实际意义可知t非负，且行驶最多3小时就到达天津， ∴自变量t的取值范围是， 即函数关系为． 33．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 34．小明一家驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． (1)小明一家驾车 小时后停车充电． (2)求线段所表示的与之间的函数解析式． (3)若此电动汽车剩余电量不低于的行驶属于“高电量行驶”，求小明一家驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程． 【答案】(1)3 (2) (3)属于“高电量行驶”的总路程为 【分析】（1）根据停车充电时的路程和已知行驶速度，用“时间路程速度”直接计算行驶时长． （2）先确定A、B两点坐标，设一次函数表达式，代入两点列方程组求解系数，再标注自变量取值范围． （3）先分别求出充电前、后电量为对应的路程，从而计算可以得解． 【详解】（1）解：由图象可知，汽车行驶后停车充电，已知行驶速度为， 行驶时间路程速度． （2）解：设线段的函数表达式为， 由图象得：，， ， ， 线段的函数表达式为：． （3）解：①充电前， 设充电前的函数表达式为， 将点代入：， ， ， 令， ， ， 此电动汽车剩余电量超过的路程为； ②充电后：线段的表达式为， 令， ， ， 此电动汽车剩余电量超过的路程为， 属于“高电量行驶”的总路程为：． 题型十二：梯度计价问题 解题思路：①划分不同用量区间，写出每一段对应的函数关系式；②明确各段自变量边界；③根据已知用量，判断所属区间；④代入对应解析式计算费用，理清分段临界点含义。 35．滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据收费标准，总费用由2千米内的起步费和超出2千米部分的额外费用组成，列出关系式化简后即可得到正确结果； 【详解】解：当时，超出千米的行驶里程为千米，超出部分的费用为元， ， 展开化简得：． 36．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 37．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ (3)若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 【答案】(1) (2) 100元 (3) 【分析】（1）根据收费方式，分两种情况，进行讨论求解即可； （2）求出时，对应的函数值即可得出结果； （3）求出时的自变量的值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意， 当时，； 当时，； 综上：， （2）解：∵， ∴将代入得：（元）； 答：此家庭这个月的电费是100元. （3）解：当时，， ∴用电量， ∴将代入得：， 解得； 答：此家庭这个月的用电量是. 题型十三：其他问题 解题思路：①梳理题意，确定两个变量，寻找等量关系；②建立一次函数模型，标注自变量实际范围；③结合增减性求解目标量；④检验结果，保证符合现实意义。 38．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【答案】C 【详解】解：当两家费用相等时，， 移项得， 解得， 即包裹重量为千克时费用相同． 39．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 【答案】 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】由表格数据可知与满足一次函数关系， 设与的函数关系式为， 将，及，代入得 ， 解得， 验证：当时，，与表格数据一致， 与的函数关系式为． 40．近年来，石家庄市对多处老旧公园进行了改造升级，园内设施得到了完善维修，景观品质也得到了显著提升．某公园升级改造项目，需修整的总面积为，由A、B两个工程队共同完成．已知A、B两个工程队平均每天能完成修整的面积分别为和．为保证刚好完成任务，A工程队共工作x天，B工程队共工作y天（已知两个工程队的工作天数之和不超过45天）． (1)求y关于x的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)若该公园需付给A工程队每天修整的费用是0.6万元，B工程队每天修整的费用为0.2万元，如何安排A、B两个工程队的工作天数，才使公园所付总工程款最低？ 【答案】(1) (2)安排A工程队工作15天，B工程队工作30天，才使公园所付总工程款最低 【分析】（1）根据需修整的总面积为，得出，再根据两个工程队的工作总时间不超过45天，列不等式求出自变量的取值范围即可解答； （2）设公园所付总工程款为w万元，根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ∵两个工程队的工作总时间不超过45天， ， ， 解得， 又， ， 即y关于x的函数关系式是； （2）解：设公园所付总工程款为w万元， 根据题意可得， ∴w随x的增大而增大， ， ∴当时，w取得最小值，此时，， 答：安排A工程队工作15天，B工程队工作30天，才使公园所付总工程款最低． 题型十四：一次函数与几何综合 解题思路：①先求一次函数解析式、直线交点、坐标轴交点；②结合几何图形性质（边长、垂直、面积等）转化条件；③把几何条件转化为坐标、方程求解；④分类讨论多解情况，不要漏解。 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F．若，则EF的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先令求出的值，再由可知点的横坐标为，故可得出的长度，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵当时，， 解得：， ∴． ∵， ∴， 当时， ∴， 在Rt中，， 故选：B. 42．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)D点坐标为或 【分析】（1）先利用解析式求出A点和B点坐标，再利用点C为线段的中点确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程求出t，从而得到D点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 当时，， ， ∵点C为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵  ， ∴， 解得或， ∴D点坐标为或． 解答题 1．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 2．已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 【详解】（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在图中描出点A，B并画出这个一次函数的图象； (3)该一次函数的图象与轴交于点，点为轴上的一个动点，若的面积为3．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）先求出点C的坐标，再根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：将点和代入，得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）略； （3）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点为轴上的一个动点，的面积为3， ， ， ， ，， 点的坐标为或． 4．如图，一次函数（、为常数，且）和（为常数）的图象交于点，一次函数（、为常数，）与轴交于点，与轴交于点． (1)关于的不等式的解集是_____； (2)若关于的不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）根据题意得到点的横坐标为，利用待定系数法求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴观察图象可知，不等式的解集是； （2）解：∵一次函数和的图象交于点，且关于的不等式的解集是， ∴点的横坐标为， 又∵、在一次函数的图象上， ∴将点、代入， 得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴点的坐标为． 5．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入求出m的值即可得到一次函数解析式； （2）根据两直线平行的条件得到，解出m=1，从而可确定一次函数解析式． （3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：因为函数的图象与直线平行， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． （3）解：联立方程组得， 解得， ∴两直线的交点为． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）先确定C点坐标，再利用待定系数法求解； （2）令，求出对应的x的值，即可得B点的坐标，再根据的面积求解． 【详解】（1）解：由图可知，点C在y轴的正半轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴的面积． 7．为了学好语言文字，掌握汉字的书写，端正学生的学习态度，某年级组举办“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，一本词典和一支钢笔售价共40元，用110元恰好买得词典3本和钢笔2支． (1)求每本词典和每支钢笔的售价各多少元？ (2)该年级组计划购买10本词典和若干支钢笔对获奖学生进行奖励，商店有两种优惠方案： 方案一：买一本词典赠送一支钢笔； 方案二：按购买金额打八折付款． ①设方案一、方案二付款金额分别为（元），（元），需要钢笔数量支（），试分别写出，关于的函数关系式． ②请你通过计算说明，该年级组选择哪种方案更合算． 【答案】(1)每本词典售价30元，每支钢笔售价10元 (2)①（且为正整数），（且为正整数） ②当需要钢笔数量大于10支且小于20支时，选择方案一更合算；当需要钢笔数量为20支时，两种方案付款金额相同；当需要钢笔数量大于20支时，选择方案二更合算. 【分析】（1）根据题干给出的两组费用等量关系，列二元一次方程组求解单价； （2）① 结合两种优惠方案的付款规则，分别推导付款金额与钢笔数量的函数关系式； ② 通过比较两个函数值的大小，分三种情况讨论最优购买方案. 【详解】（1）解：设每本词典售价为元，每支钢笔售价为元， 由题意得， 解得 答：每本词典售价30元，每支钢笔售价10元； （2）解：①方案一：买10本词典赠送10支钢笔，需额外购买支钢笔； 则（且为正整数） 方案二：按购买总金额打八折付款 则（且为正整数） ② 分三种情况讨论： 当时， 解得， 即当需要钢笔数量为20支时，两种方案付款金额相同； 当时，； 解得， ∴当需要钢笔数量大于20支时，选择方案二更合算； 当时，； 解得， ∵ ∴当需要钢笔数量大于10支且小于20支时，选择方案一更合算； 综上：当需要钢笔数量大于10支且小于20支时，选择方案一更合算；当需要钢笔数量为20支时，两种方案付款金额相同；当需要钢笔数量大于20支时，选择方案二更合算． 8．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】(1)该商城4月份卖出自行车辆 (2)A型车购进40辆，B型车购进10辆利润最大 【分析】（1）根据某运动商城自行车销售量自2021年起逐月增加，设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率为x，由1月份销售自行车数量与3月份销售自行车数量之间的关系建立方程，解出自行车销量月平均增长率x的值，进而求出该商城4月份卖出自行车数量； （2）该商城准备购进A，B两种型号的自行车共50辆，且全部售完使利润最大，则设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元，用含字母a的代数式表示总利润；根据商城投入的资金不超过3万元建立不等式，解出a的取值范围；再根据一次函数图象的增减性找出a值进而确定商城的进货方案． 【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）． （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：， ∵，解得， 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大． 9．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 【答案】(1)1，40 (2) (3)， 【分析】（1）结合题意，观察图象，根据路程、速度、时间的数量关系确定结果； （2）用待定系数法求函数解析式； （3）先求出乙车的函数解析式，再根据甲乙之间距离为50km，列方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵甲车途中休息了0.5h， ∴， 观察图象可知，甲车的行驶速度为：， 当时间时，行驶的路程为：； （2）解：观察图象可知，甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）满足一次函数关系， 设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设， 将、代入得， 解得， ∴； ， 化简得， 解得，． 10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：令，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 在中，当时，， 点的坐标为． ，，， ，，，则， ． ， ， ， 解得，则， 点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一次函数与一元二次方程及应用精讲学案 核心立意 掌握一次函数与二元一次方程（组）的数形对应关系，会用图像法解二元一次方程组；能在实际问题中建立一次函数模型，读懂函数图像信息，利用增减性、交点进行方案优选，落实数形结合与数学建模思想。 互化关系： 二元一次方程 ax+by=c(b≠0) 可变形为一次函数 y=-x+；一次函数 y=kx+b 可化为二元一次方程 kx-y+b=0。 解与点的对应： 一次函数图像上任意一点坐标，都是对应二元一次方程的一组解；二元一次方程所有解对应的点，都在这条直线上。 方程组与两直线交点： 两个一次函数图像的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；方程组的解，就是两条直线交点坐标。 直线位置和方程组解： 两直线相交⇒方程组唯一解； 两直线平行（k1=k2,b1≠b2）⇒方程组无解； 两直线重合⇒方程组无数组解。 图像法解方程组步骤： ①化成y=kx+b形式； ②画出两条直线； ③读取交点坐标，即为方程组的解。 建模通用步骤： ①审题确定两个变量； ②判定一次函数关系； ③待定系数法求解析式； ④标注自变量实际取值范围； ⑤结合增减性、图像解题，检验结果符合实际。 分段函数要点： 不同自变量区间对应不同解析式；每一段解析式必须附带对应自变量范围，图像多为线段或射线，不是完整直线。  函数图像读图： 分清横、纵坐标实际意义；抓住起点、终点、拐点、交点；交点是两种方案费用/数量相等的临界分界点。 增减性求最优方案： k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；在自变量取值范围内，利用增减性判断最值、优选方案。 常考实际模型：行程问题、阶梯收费、销售利润、费用方案对比。 1. 图像法求出的方程组解多为近似解，求精确解优先用代入/加减消元法； 2. 两直线平行判定，必须同时满足k1=k2且b1≠b2，缺一不可； 3. 一次函数实际应用题，务必写自变量取值范围，人数、物件数量一般取正整数； 4. 分段函数计算，先判断自变量所属区间，再代入对应解析式； 5. 图像交点仅代表函数值相等，不直接等同于最优方案，需要结合增减性再判断。 题型 考察方向 难度 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型二 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型三 利用图象法解一元一次方程 ★★ 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★★★ 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★★ 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★★ 题型七 图象法解二元一次方程组 ★★★ 题型八 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型九 分配方案问题 ★★★★ 题型十 最大利润问题 ★★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 梯度计价问题 ★★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 一次函数与几何综合 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①明确x轴交点纵坐标为0，y轴交点横坐标为0；②将交点坐标代入y=kx+b，列方程组求k、b；③写出函数解析式，转化对应一元一次方程求解。 1．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 3．下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与经过点，的直线交于点．若点在直线上，点在直线上，且，则的值为_______________． 题型二：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①牢记等价关系：kx+b=0的解x=m；②对应直线y=kx+b与x轴交点坐标为(m,0)；③直接写出交点横坐标与纵坐标。 5．已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 题型三：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①将一元一次方程整理为kx+b=0形式，对应直线y=kx+b；②画出该一次函数图像；③读取直线与x轴交点的横坐标，即为方程的解；④注意图像法所得多为近似解。 8．如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．    （1）关于x的方程的解为___________． （2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m___________n． 10．如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 解题思路：①画出一次函数y=kx+b图像，标记与x轴交点；②kx+b>0看图像在x轴上方部分对应的x范围；③kx+b<0看图像在x轴下方部分对应的x范围；④结合k正负验证范围是否正确。 11．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 12．已知一次函数的图象如图，则关于的不等式解集为________． 13．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D．无解 题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集 解题思路：①找到两条直线交点横坐标，作为分界值；②观察图像，函数图像在上方的对应函数值更大；③以交点横坐标为界，写出满足不等关系的x取值范围；④注意区分不等号是否含等号。 14．如图，直线（k，b是常数，且）经过点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 15．如图，一次函数与的图像交点的横坐标为，则的解集为______． 16．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 题型六：两直线的交点与二元一次方程组的解 解题思路：①联立两条直线解析式得到二元一次方程组；②两直线交点坐标，就是对应方程组的解；③已知方程组的解，可直接写出两直线交点坐标；④区分相交、平行、重合三种位置对应的解的情况。 17．一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 18．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 19．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型七：图象法解二元一次方程组 解题思路：①把方程组内两个方程化为y=kx+b形式；②在同一坐标系画出两条直线；③读出两直线交点坐标，即为方程组的解；④图像法一般只适合求近似解，精确解优先代数消元。 20．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 21．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 22．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 题型八：求直线围成的图形面积 解题思路：①先求直线与坐标轴交点、直线之间交点坐标；②判断围成图形形状（多为三角形）；③以坐标轴上的线段为底，对应交点横坐标/纵坐标为高；④代入面积公式计算，注意坐标正负取线段长度。 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为___________． 25．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型九：分配方案问题 解题思路：①审题，设定自变量，找到总量等量关系；②列出一次函数解析式，写出自变量取值范围；③结合k的正负判断增减性；④在取值范围内取整数，列举可行方案并对比。 26．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 27．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 28．为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共21台．已知甲型号垃圾处理器的单价为16万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买21台垃圾处理器的最少费用． 题型十：最大利润问题 解题思路：①根据利润公式，构建利润关于变量的一次函数；②确定自变量的实际取值范围；③根据k正负判断增减性；④在取值边界上求出最大/最小利润，作答贴合实际。 29．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是______元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为______元．    30．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（　　） A．94 B．96 C．1600 D．1800 31．江陵县某超市购进荆州鱼糕和糯米包藕： 商品 进价（元/盒） 售价（元/盒） 鱼糕 30 45 糯米包藕 20 30 (1)若购进两种商品共100盒，用去2600元，求购进鱼糕多少盒？ (2)若计划购进这两种商品共80盒，且鱼糕数量不超过糯米包藕的2倍．设购进鱼糕盒，总利润为元，求与的关系式，并设计获利最大的进货方案． 题型十一：行程问题 解题思路：①读懂横、纵坐标代表路程、时间；②提取起点、拐点、交点信息，求出一次函数解析式；③利用增减性、交点含义分析相遇、追及等问题；④结果检验是否符合行程实际情景。 32．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 33．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 34．小明一家驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． (1)小明一家驾车 小时后停车充电． (2)求线段所表示的与之间的函数解析式． (3)若此电动汽车剩余电量不低于的行驶属于“高电量行驶”，求小明一家驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程． 题型十二：梯度计价问题 解题思路：①划分不同用量区间，写出每一段对应的函数关系式；②明确各段自变量边界；③根据已知用量，判断所属区间；④代入对应解析式计算费用，理清分段临界点含义。 35．滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 36．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 37．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ (3)若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 题型十三：其他问题 解题思路：①梳理题意，确定两个变量，寻找等量关系；②建立一次函数模型，标注自变量实际范围；③结合增减性求解目标量；④检验结果，保证符合现实意义。 38．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 39．声音的传播速度与温度的关系如下表： 0 1 2 … 331 331.6 332.2 … 则与的函数关系式为________________． 40．近年来，石家庄市对多处老旧公园进行了改造升级，园内设施得到了完善维修，景观品质也得到了显著提升．某公园升级改造项目，需修整的总面积为，由A、B两个工程队共同完成．已知A、B两个工程队平均每天能完成修整的面积分别为和．为保证刚好完成任务，A工程队共工作x天，B工程队共工作y天（已知两个工程队的工作天数之和不超过45天）． (1)求y关于x的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)若该公园需付给A工程队每天修整的费用是0.6万元，B工程队每天修整的费用为0.2万元，如何安排A、B两个工程队的工作天数，才使公园所付总工程款最低？ 题型十四：一次函数与几何综合 解题思路：①先求一次函数解析式、直线交点、坐标轴交点；②结合几何图形性质（边长、垂直、面积等）转化条件；③把几何条件转化为坐标、方程求解；④分类讨论多解情况，不要漏解。 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F．若，则EF的长为（    ） A．3 B． C． D．5 42．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为___________． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 解答题 1．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 2．已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 3．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在图中描出点A，B并画出这个一次函数的图象； (3)该一次函数的图象与轴交于点，点为轴上的一个动点，若的面积为3．求点的坐标． 4．如图，一次函数（、为常数，且）和（为常数）的图象交于点，一次函数（、为常数，）与轴交于点，与轴交于点． (1)关于的不等式的解集是_____； (2)若关于的不等式的解集是，求点的坐标． 5．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 7．为了学好语言文字，掌握汉字的书写，端正学生的学习态度，某年级组举办“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，一本词典和一支钢笔售价共40元，用110元恰好买得词典3本和钢笔2支． (1)求每本词典和每支钢笔的售价各多少元？ (2)该年级组计划购买10本词典和若干支钢笔对获奖学生进行奖励，商店有两种优惠方案： 方案一：买一本词典赠送一支钢笔； 方案二：按购买金额打八折付款． ①设方案一、方案二付款金额分别为（元），（元），需要钢笔数量支（），试分别写出，关于的函数关系式． ②请你通过计算说明，该年级组选择哪种方案更合算． 8．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 9．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $