甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025——2026学年度第一学期期末试卷

九年级数学

命题人：牟娟 审题人：王小萍

本卷满分120分，考试时间120分钟。

一.选择题(本题共11小题，每小题3分，共33分)

1.下列各数中，最小的数为()

A. 2 B. - 3 C.0 D. - 2

2.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种无盖米斗，其示意图(不计厚度)如图(2)所示，则其俯视图为()

3. 在菱形ABCD中, ∠ABC=80°, BA=BE, 则∠BAE= (      ) C

A. 70° B. 40° C. 75° D. 30° 第3题图

4.如图，A，B均在方格纸的格点上.在方格纸内另取格点 C，D，连结 CD，交线段AB于点 P.若要使点 P把线段AB分成1：2的两条线段，则()

A.只有方法1对 B.只有方法2对 C. 方法1、2都对 D. 方法1、2都错

5.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是()

A. (1) 处可填∠A=90° B. (2) 处可填 AD=AB

C. (3) 处可填DC=CB D. (4) 处可填∠B=∠D

6.若关于x的一元二次方程.x²-6x+9k=0;有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A. k>1 B. k≥1 C. k≤1 D. k<1

7. 已知点 P₁(x₁, y₁) , P₂(x₂, y₂) 都在反比例函数 的图象上，若 则(     )

A. y₁<y₂<0 B. y₁<0<y₂ C. y₁>y₂>0 D. y₁>0>y₂

8.一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小.如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似.若点A(6,8) , 点B(3, 4), 点C(10, 4), 则点D的坐标是(   )

A. (4, 2) B.(5, 3) C.(5, 2) D.(6, 2)

9.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比均为黄金比(比值为 是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP) . 若AB=4, 则AP=(  )

      

10.著名数学家华罗庆说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.”寥客数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致.如图是二次函数 的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是()

A. a>0 B. a<0 C. a>4 D. 0<a<4

11. 如图, 在矩形ABCD中, AB=3, AD=4, P是AD上不与A和D重合的一个动点, 过点 P分别作 AC和BD的垂线, 垂足为 E, F. 求 PE+PF的值为(  )

B. 2.5

 

 

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二.填空题(本题共4小题，每题3分，共12分)

12. 如图, ∠1=∠2, 添加一个条件                   使得△ADE∽△ABC.

13.抛物线 的顶点坐标是              .

14.已知m是方程 的一个根，则m²-2m+1==             .

15.在Rt△ABD中,∠B=90°, 点C在线段AD上, 过点 C作 CE⊥AB于点 E, CF⊥BD于点 F, 使得四边形 CEBF为正方形, 此时AC=3cm, CD=4cm, 则阴影部分面积为               c㎡.

三.解答题(本题共11小题，共75分)

16.(6分)选择适当的方法解下列方程.

  (2) 3x-6=x(x-2)

17. (6分) (1) 计算:   (2)求 中锐角a的值.

18.(5分)如图，BD是矩形 ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：(1) 利用尺规作△BED, 使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；

(2) 在(1) 的条件下, 若BE交AD于点 F, AB=1, BC=2, 求AF的长.

19.(5分)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元.

(1)根据题意，填表：

	每件利润 (元)	销售量(件)	利润(元)
降价前	44	20	880
降价后	①	②

(2)若每天盈利1600元，则每件应降价多少元?

20.(7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数 的图象相交于

A(1, n) , B两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)当 时，x的取值范围；

(3)点P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点 P的坐标.

 

 

 

21.(7分)如图,点O是菱形 ABCD对角线的交点,分别过点B、点 C作 CO,BO的平行线交于点 E,连接AE交BD于点 H, 交 BC于点 F.

(1) 求证: 四边形OCEB是矩形;

(2) 若BF=1, 求菱形ABCD的周长.

 

 

 

 

22.(7分)爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操.黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿AB走420米到达B点，再沿BC到山顶C点，已知山高CF为360米, BE∥AF, BD⊥AF, CE⊥BE交AD的延长线于点F, ∠1=30°, ∠2=50°. (图中所有点均在同一平面内)

(1)求BD的长;

(2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米?(结果精确到1米).(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64, tan50°≈1.19)

 

 

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23.(7分)酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸(呈酸性)、B硝酸钾溶液(呈中性)、C氢氧化钠溶液(呈碱性)、D氢氧化钙溶液(呈碱性).

(1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是                .

(2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率.

 

24.(7分)抛实心球是中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处.

(1)求y关于x的函数表达式：

(2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.

 

25.(9分)利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下：

第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB 的顶点与原点O重合，角的一边 OB与x轴正方向重合.在平面直角坐标系里，绘制函数 的图象，图象与已知角的另一边OA交于点 P；

第二步：以P为圆心、以20P为半径作弧，交函数 的图象于点R：

第三步：分别过点 P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接 OM，得到∠MOB(如图1)，这时 为什么 呢?小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织问学们进行了研究讨论.

讨论后有以下思路：分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q(如图2)，此时，四边形 PQRM便构成了一个矩形；如果我们能再证明 O，Q，M三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了.研究讨

论后，小静采用代数设点，设 请你和小静一起完成下列问题.

(1)请你写出Q，M的坐标(用含m，n的式子表示)；

(2)请你在第(1)问的基础上证明O，Q，M三点共线；

(3)请证明

 

 

26. (9分)四边形 ABCD是正方形, 点 E是边 AD上一动点(点D除外) , △EFG是直角三角形, EG=EF, 点G在CD的延长线上.

(1)如图1，当点E与点A重合，且点 F在边 BC上时，写出 BF和DG的数量关系，并说明理由；

(2)如图2，当点E与点A不重合，且点 F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点 P，如果 EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.