湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期数学综合周测14

曾都一中2025学年至2026学年高二数学综合周测14答案和解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A B B C B D C A,D ACD B,C 第12题：【答案】 第13题：【答案】 第14题：【答案】 第8题：【解析】因为,所以, 因为,所以,所以公差, 故当时,,当时,,所以当时,取得最大值,即中最大的项是.故选:C. 第11题：【解析】根据题意,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,对于A,如下图所示: 易知,则, 可得,即当为中点时,与所成角余弦值为,可得A错误; 对于B,易知是边长为的正三角形,故其面积为, 由三棱锥的体积为,可得点到平面的距离为, 即点在与平面平行且距离为的平面内,连接,如下图所示: 由正方体性质可得平面平面,且两平面间的距离等于,所以点平面,又面,平面平面,即可得点的轨迹即是线段,因此点的轨迹长度为,即可得B正确; 对于C,依题意可知即为正方体的中心,如下图所示: , 又因为为球的直径,所以,即可得, 又易知当点为正方体与球的切点时,最小;当点为正方体的顶点时,最大; 即,因此可得的取值范围为,即C正确; 对于 D,易知的中点即为球心,如下图所示: 当与球相切时,与所成的角最大,此时, 显然,结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误,即D错误. 故选:BC. 第14题：【答案】 【详解】如图,设的左焦点为,连接,, , , , ,. 设的半焦距为,则, 由对称性,可得, , , 在中,由余弦定理得, 又,即, 联立两式,得,化简,得,故离心率. 故答案为: 第15题：【解析】【小问1详解】因为数列是等差数列,所以,因为,所以, 所以,所以数列的通项公式为. 【小问2详解】由(1)知,数列的前项和, 因为,所以当或时,有最大值,即.所以数列的最大项为和. 第16题：【详解】(1)设,, 由消掉, 可得, , 由韦达定理可得,, , 弦的长度为. (2)设点, 设点到的距离为, , , 即, , 解得或, 点为或. 第17题：【解析】(1)由,得,则,所以,将点代入椭圆方程得,解得,所以椭圆的标准方程为. (2)依题意直线斜率存在,设直线的方程为,并设点的坐标分别为,. (方法一):联立方程,消去得, 依题意,,∴,且,, 依题意,即,整理得, 从而,∴,解得,,满足. 从而直线的方程为. (方法二):将即代入,得,整理得,, 依题意,,∴,依题意,,解得,满足, 所以的方程为. 第18题：【解析】(1)由题意,四棱锥的底面为矩形,可知,又平面,平面, 所以平面,又为平面与平面的交线,且平面,故 因为底面,平面,所以,又,且,所以平面, 又,所以平面 (2) 由(1)可知,,,两两互相垂直,以为坐标原点,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,,,,,因为点在平面内的上,且,所以可设,,,,设平面的法向量为,则即可取, 设与平面所成角为,则, 因为当且仅当时等号成立 所以,,所以与平面所成角的余弦值的最小值为 第19题：【解析】(1)设的半焦距为.∵的离心率为,即,∴, ∴.设为坐标原点,∵, ∴,∴,∴的方程为. (2)由(1)知,.设直线的方程为,,,联立与的方程,得 消去并整理,得,∴,解得,∴,, ∴,∴,即为定值. (3)过点,,作轴的垂线,垂足分别为,,,则,,,, ∴,.设直线的斜率为,由(2)知,的斜率为, ∴直线的方程为,① 直线的方程为.② ①②联立,解得,∴点的横坐标为. ∵,∴ . 设,则,易知在上单调递增, ∴,∴的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年年高二上数学综合周测14 时间：18:30-20:30 2026.01.06 范围（人教A版选择性必修1，至选择性必修2数列4.2等差数列） 一、单选题（每小题5分，共8小题40分） 1．数列的通项公式可能为( ) A． B． C． D． 2．若抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合,则该抛物线的准线方程为( ) A． B． C． D． 3．已知,均为等差数列,且,,,则( ) A． B． C． D． 4．已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,则是数列的第( )项 A． B． C． D． 5．如图所示,,是双曲线:的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于A,两点.若,则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 6．已知双曲线的虚半轴长为,为双曲线的左焦点,点为双曲线的右支上的动点,点的坐标为,则的最小值为( ) A． B． C． D． 7．古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中,为底面圆的直径,为中点,某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高,底面半径,则该抛物线焦点到准线的距离为( ) A． B． C． D． 8．若是等差数列,表示的前项和,,则中最大的项是( ) A． B． C． D． （第5题图） （第7题图） 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9．下列四个选项中,正确的是( ) A．数列的项可以相等 B．数列可表示为 C．数列的一个通项公式是 D．数列是递减数列 10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点,点是两曲线的一个交点,,分别为,的离心率,则( ) A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 11．已知正方体棱长为为正方体内切球的直径,点为正方体表面上一动点,则下列说法正确的是( ) A．当为中点时,与所成角余弦值为 B．当面，时,点的轨迹长度为 C．的取值范围为 D．与所成角的范围为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12．若等差数列的前三项和为,且,则该等差数列的公差为__________. 13．已知抛物线的焦点为,直线过且依次交抛物线及圆于点,,,四点,则的最小值为__________. 14．已知双曲线的右焦点为,直线与交于两点,若(为坐标原点),且,则的离心率为__________. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分） 15．已知数列是等差数列,为数列的前项和,; (1)求数列的通项公式; (2)求数列的最大项. 16．已知抛物线与直线交于两点. (1)求弦的长度; (2)若点在抛物线上,且的面积为,求点的坐标. 17．已知椭圆()的离心率为,点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点的直线(非轴)交椭圆于两点,以为直径的圆经过原点,求直线的方程. 18．如图,四棱锥的底面为矩形,底面,设平面与平面的交线为. (1)证明:,且平面; (2)已知,为上的点求与平面所成角的余弦值的最小值. 19．已知椭圆()的左、右顶点分别为,,上顶点为,离心率为,,过点作不与轴重合的直线与交于,(在的左侧)两点,,交于点. (1)求的方程; (2)求证:为定值(,分别为,的斜率); (3)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $