精品解析：上海市吴淞中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

吴淞中学高二月考数学试卷 一．填空题(共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分) 1. 直线的倾斜角为_____ 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 3. 已知圆锥的侧面积是，母线是3，则圆锥的底面圆半径为_______． 4. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数），若，则实数的值为_____________． 5. 直线与直线的夹角大小为____________． 6. 如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 7. 已知向量，，，若，，共面，则______． 8. 点关于直线的对称点的坐标为________________． 9. 平行直线与间的距离为_____. 10. 已知直线l的方程为，其中求出当m变化时，点到直线l的距离的最大值为________． 11. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 12. 已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________． 二．选择题(共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分) 13. 若，，则直线不经过第象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 15. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两直线平行 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（共78分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 18. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 19. 如图，平行六面体中，已知，且． （1）用、、表示、，并求； （2）求的值，并求异面直线与所成角的大小． 20. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 21. 如图1，在梯形中， ，是线段上的一点，， ，将沿翻折到的位置，使得二面角大小． （1）证明：平面； （2）如图2，若二面角为直二面角，，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，证明：平面，并求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围； （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学高二月考数学试卷 一．填空题(共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分) 1. 直线的倾斜角为_____ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 【答案】 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称， 则两点的横坐标和纵坐标分别相等，竖坐标（坐标）互为相反数， 已知点，则关于平面的对称点为. 3. 已知圆锥的侧面积是，母线是3，则圆锥的底面圆半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先设底面半径为，利用侧面积建立等式求解即可. 【详解】设底面半径为，所以底面周长为，则有 故答案为： 4. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数），若，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的向量关系，列出方程，求解即可. 【详解】由题意，因为，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 又，，所以， 解得. 5. 直线与直线的夹角大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出另一条直线的斜率，得到它与轴夹角的正切值，再利用竖直线与坐标轴垂直的几何关系，转化角度，求出两直线所夹锐角即可. 【详解】设 ，， ，为垂直于轴的直线， 将 化为斜截式：，∴ ， 设两直线夹角为 ，， 与x轴所成锐角 ，满足 ， 因为 竖直，故 ， ∴， . ∴两直线夹角大小为 . 6. 如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定几何体的构成，再由圆柱、圆锥的体积公式求组合体的体积. 【详解】由题意，所得几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为2的圆锥构成的组合体， 所以其体积为. 故答案为： 7. 已知向量，，，若，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面定理得到存在使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，存在使得，即， 故，解得. 故答案为： 8. 点关于直线的对称点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于直线的对称性，列出方程组，求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则的中点为， 根据点关于直线的对称性，可得，解得，， 即点关于直线的对称点的坐标为. 9. 平行直线与间的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 10. 已知直线l的方程为，其中求出当m变化时，点到直线l的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将直线方程化为直线的共点直线系方程的形式，即可确定出直线l恒过两直线的交点，直线外一点到动直线的距离的最大值即为Q到交点的距离. 【详解】将直线的方程化解为：，则由共点直线系方程性质可知，直线恒过的交点，设交点为P解得P（-1，-2），则点到直线的距离的最大值即为的大小，. 故答案为： 【点睛】本题考查了共点直线系方程的性质及点到动直线距离的最值问题，属于基本题型，解题中要能将直线方程的一般式变形为共点直线系方程的形式，根据共点直线系方程的性质判断出点到直线距离的最大值. 11. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α. 【解析】 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确； （2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 12. 已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，根据已知条件可得侧面与球面的交线上任意一点到的距离为 ，即侧面与球面的交线是半圆的弧，再根据圆的周长公式可求得结果. 【详解】 如图所示，取的中点，连接， 由于直四棱柱 的棱长都为 ，， 则 与 均为边长为的等边三角形，得，， 又 ，，所以平面 ， 所以以为球心，为半径的球与侧面 的交线上的任意一点到的距离为，即， 因此球与侧面 的交线为半圆弧，其中半圆弧的半径为， 所以所求的交线长为. 二．选择题(共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分) 13. 若，，则直线不经过第象限（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可. 【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为， 因为，，所以，， 所以直线的斜率为正，纵截距为正， 即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限. 故选：D 14. 在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 15. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断即可求解. 【详解】当平面与A、B、C、D间的连线段的中点相交时， 不妨设平面过，，的中点，，，此时点A、B到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示， 此时B、C、D到平面的距离可能与A、B到平面的距离相同，此时有1个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（2）所示， 此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（3）所示， 此时点到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，过的靠近的四等分点，过靠近点的四等分点，如图（4）所示， 此时点到平面的距离相等，到平面的距离不同， 且和到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 三．解答题（共78分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1） 因为四棱柱为正四棱柱， 所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 因为平面ABCD，所以⊥BD， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直； （2）等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接， 因为正方形的边长为，， 所以，， 由三线合一可得：⊥BD，且， 由勾股定理得：， 所以， 故， 又，平面 故， 由， 故点A到平面的距离为. 18. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】（1）或0 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值； （2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得或0； 【小问2详解】 由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 19. 如图，平行六面体中，已知，且． （1）用、、表示、，并求； （2）求的值，并求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）；；. （2）；. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，及模长公式即可求解； （2）利用向量的数量积的运算，及异面直线夹角的向量法求解即可. 【小问1详解】 由图可得，. 由题意可得， ， . 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. . 设异面直线与所成角为， 则. 所以，即异面直线与所成角为. 20. 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 【答案】（1）；（2）存在，；（3）时 ，时 . 【解析】 【分析】（1）设MN方程为：，与y＝x 和x＝1联立得和，结合图像列可得解； （2）由可得坐标关系可得，从而得解； （3）由S△AMN＝＝，进而由函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∵， ∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 【点睛】本题解题的关键是设MN方程为，进而得和，从而可解范围. 21. 如图1，在梯形中， ，是线段上的一点，， ，将沿翻折到的位置，使得二面角大小． （1）证明：平面； （2）如图2，若二面角为直二面角，，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，证明：平面，并求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围； （3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）在梯形中， ，点是线段上的一点，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形，得， 由于平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面. （2） 如图所示，连接，由于， ，满足，所以， 即 ，，而，是 的中点，所以 ， 又 ，，所以四边形 为平行四边形，故，所以 ， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面； . （3）设四面体的表面积为，内切球的半径为，则， 令与面所成角为 ，则，即， 其中，， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，所以，， 所以， 则，解得. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到四边形是平行四边形，由即可得到线面平行； （2）由题意可得，结合平面平面即可证明平面；建立空间直角坐标系，设，根据，求出的范围，将平面与平面所成锐二面角余弦值表示为 的函数，再求范围； （3）设四面体的表面积为，内切球的半径为，可证和，从而证明结论. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，在平面内作 的垂线作为 轴，所以 轴， 以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系， 因为，，设， 所以，，，，，则，， 所以 ，，，，， 设平面 的法向量 ， 得，取，得， 则，解得， 设平面的法向量 ， 得，取，得 ， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 由于 在 上单调递增，故，故， 所以平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围是 . 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $